Twierdzenie o funktorze dokładnym Landwebera

W matematyce twierdzenie o funktorze dokładnym Landwebera , nazwane na cześć Petera Landwebera , jest twierdzeniem w topologii algebraicznej . Wiadomo, że złożona orientacja teorii homologii prowadzi do formalnego prawa grupowego . Twierdzenie o funktorze dokładnym Landwebera (lub w skrócie LEWY) może być postrzegane jako metoda odwrócenia tego procesu: konstruuje teorię homologii z formalnego prawa grupowego.

Oświadczenie

Pierścień współczynnika złożonego kobordyzmu to ${\ Displaystyle MU_ {*} (*) = MU_ {*} \ cong \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ kropki ]}$ , gdzie stopień wynosi x $\ displaystyle x_ {i}}$ ${\ displaystyle 2i}$ . Jest to izomorficzne ze stopniowanym pierścieniem Lazarda ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} L_ {*}}$ . Oznacza to, że podanie formalnego prawa grupowego F (stopnia $stopniowanym$ ${\ styl wyświetlania L_{*}\do R_{*}}$ jest $∗$ nadaniem stopniowanego morfizmu pierścienia . Mnożenie przez liczbę całkowitą jest definiowane indukcyjnie jako szereg potęgowy przez ${\ displaystyle n> }$

{\ Displaystyle [n + 1] ^ {F} x = F (x, [n] ^ {F} x)}

i

{\ Displaystyle [1] ^ {F} x = x.}

Niech teraz F będzie formalnym prawem grupowym na pierścieniu ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} R_ {*}}$ . Zdefiniuj dla przestrzeni topologicznej X

{\ Displaystyle E_ {*} (X) = MU_ {*} (X) \ czasami _ {MU_ {*}} R_ {*}}

Tutaj $otrzymuje$ swoją poprzez F. Pytanie brzmi: czy E $teorią$ Jest to oczywiście niezmienny funktor homotopii, który spełnia wycięcie. Problem polega na tym, że tensorowanie ogólnie nie zachowuje dokładnych sekwencji. Można by żądać, $był$ płaski nad , ale w byłoby $to$ Peter Landweber znalazł inne kryterium:

Twierdzenie )

Landwebera

istnieją elementy że mamy co następuje: Załóżmy, że

{*}}

stopniowanym

MU_

i sekwencją

{\ Displaystyle (p, v_ {1}, v_ {2}, \ kropki, v_ {n})}

jest regularne dla

{\ Displaystyle M}

dla każdego p i n . mi

*} (X) \ czasami _ {MU_ {*}} M_ {*} }

jest teorią homologii na CW-kompleksach .

$ponieważ$ na pierścieniu daje moduł na ${\ Displaystyle {\ mathcal {}} MU_ {*}},$ otrzymujemy przez F morfizm pierścienia ${\ Displaystyle MU_ {*} \ do R}$ .

Uwagi

Istnieje również wersja dla kohomologii Browna-Petersona BP. Widmo ${$ bezpośrednią sumą ze współczynnikami $)$ _ . Stwierdzenie LEWEGO pozostaje prawdziwe, jeśli ustalimy liczbę pierwszą p i podstawimy BP na MU.
Klasyczny dowód LEWEGO wykorzystuje niezmienne twierdzenie idealne Landwebera-Moravy: jedyne ideały pierwsze z ${\ Displaystyle BP_ {*}}$ , które są niezmienne przy współpracy ${\ Displaystyle BP_ {*} BP }$ są ${\ Displaystyle I_ {n} = (p, v_ {1}, \ kropki, v_ {n})}$ . Pozwala to sprawdzić płaskość tylko względem ${\ Displaystyle BP_ {*} / I_ {n}}$ (patrz Landweber, 1976).
LEWY można wzmocnić w następujący sposób: niech będzie kategorią (homotopii) dokładnych modułów Landweber $i E$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {$ ${E}}}$ $mathcal$ kategoria widm modułu MU M taka, że dokładna dla Landwebera. Wtedy funktor ${\ Displaystyle \ pi _ {*} \ okrężnica {\ mathcal {E}} \ do {\ mathcal {E}} _ {*}}$ jest równoważnością kategorii. Funktor odwrotny (podany przez LEWĄ) przyjmuje $)$ widm algebry MU (patrz Hovey, Strickland, 1999, Thm 2.7)

Przykłady

Archetypowym i pierwszym znanym (nietrywialnym) przykładem jest złożona teoria K . Złożona teoria K jest zorientowana na kompleksy i ma jako formalne prawo grupowe ${\ displaystyle x + y + xy}$ . Odpowiedni morfizm $_$ Todda _ Mamy wtedy izomorfizm

{\ Displaystyle K_ {*} (X) = MU_ {*} (X) \ czasami _ {MU_ {*}} K_ {*} ,}

zwany izomorfizmem Connera-Floyda .

Podczas gdy złożona teoria K została skonstruowana wcześniej za pomocą środków geometrycznych, wiele teorii homologii zostało najpierw skonstruowanych za pomocą twierdzenia o funktorze dokładnym Landwebera. Obejmuje $Johnsona$ homologię , $teorie$ – Wilsona i Lubina

Podczas gdy homologia ze współczynnikami wymiernymi $dla Landwebera, homologia$ $.$ współczynnikami całkowitymi jest dokładna dla Landwebera Ponadto K(n) Morava K-teoria nie jest dokładna Landwebera.

Nowoczesne przeformułowanie

Moduł M na ${*}}$ $\$ jest tym samym, co quasi-spójny snop nad $text{Spec }}L}$ ${\ Displaystyle {$ , gdzie L to pierścień Lazarda. M ${\ Displaystyle M = {\ mathcal {}} MU_ {*} (X)}$ to M ma dodatkowy układ odniesienia za ${\ Displaystyle {\ mathcal {} }MU_{*}MU}$ współpraca. Koakcja na poziomie pierścienia odpowiada temu, że $snopem ekwiwariantnym w odniesieniu do działania schematu grupy$ ${\ Displaystyle G \ cong \ mathbb {Z} [b_ {1}, b_ {2}, \ kropki]}$ G. Jest to twierdzenie Quillena , że i przypisuje każdemu pierścieniowi R grupę szeregów potęgowych

{\ Displaystyle g (t) = t + b_ {1} t ^ {2} + b_ {2} t ^{3}+\cdots \in R[[t]]}

.

Działa na zbiorze formalnych praw grupowych ${\ Displaystyle {\ tekst {Spec}} L (R)}$ przez

{\ Displaystyle F (x, y) \ mapsto gF (g ^ {- 1} x, g ^ {- 1} y)}

.

Są to tylko zmiany współrzędnych formalnych praw grupowych. Dlatego można zidentyfikować iloraz stosu Spec $\ displaystyle {\ tekst {Spec}} L // G}$ ze stosem (1-wymiarowych) grup formalnych ${\ displaystyle {\ mathcal {M }} _ {fg}}$ i ${\ Displaystyle M = MU_ {*} (X)}$ definiuje quasi-spójny snop nad tym stosem. Teraz dość łatwo zauważyć, że wystarczy, że M definiuje quasi-spójny snop, $Displaystyle$ jest płaski nad $}$ ${\ mathcal {M}} _ {fg$ $_$ takim _ Twierdzenie Landwebera o dokładności można zatem interpretować jako kryterium płaskości dla ${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} _ {fg}}$ (patrz Lurie 2010).

Udoskonalenia widm -pierścieni mi $_ {\ infty}}$

$, że$ ) widma pierścieniowe z , o bardziej delikatną kwestią jest zrozumienie, kiedy te widma są w rzeczywistości ${\ displaystyle E_{\infty}}$ -ring widma . Od 2010 roku największe postępy poczynił Jacob Lurie . Jeśli X jest stosem algebraicznym i ${\ Displaystyle X \ do {\ mathcal {M}} _ {fg}}$ $($ stosów, powyższa dyskusja pokazuje, że otrzymujemy presnop widm (homotopii) pierścieni na X. Jeśli ta mapa 1 -wymiarowe p-podzielne grupy wysokości $n$ etale to ten presnop można udoskonalić $E_ {\infty}$ widma pierścieniowe (patrz Goerss). Twierdzenie to jest ważne przy konstruowaniu topologicznych form modułowych .