Wielomian Bernsteina-Sato

W matematyce wielomian Bernsteina -Sato jest wielomianem związanym z operatorami różniczkowymi , wprowadzonym niezależnie przez Josepha Bernsteina ( 1971 ) oraz Mikio Sato i Takuro Shintaniego ( 1972 , 1974 ), Sato (1990) . Jest również znany jako funkcja b , wielomian b i wielomian Bernsteina , chociaż nie jest powiązany z wielomianami Bernsteina używanymi w teorii aproksymacji . Ma zastosowanie w teorii osobliwości , teorii monodromii i kwantowej teorii pola .

Severino Coutinho ( 1995 ) przedstawia elementarne wprowadzenie, podczas gdy Armand Borel ( 1987 ) i Masaki Kashiwara ( 2003 ) przedstawiają bardziej zaawansowane relacje.

Definicja i właściwości

fa ${\ Displaystyle f (x)}$${\ displaystyle P(s)}$ wielomianem w kilku zmiennych, to istnieje niezerowy wielomian ${\ Displaystyle b (s)}$ i operator różniczkowy ze współczynnikami wielomianu takimi, że

${\ Displaystyle P (s) f (x) ^ {s + 1} = b (s) f (x) ^ {s}.}$

Wielomian Bernsteina – Sato jest wielomianem monicznym najmniejszego stopnia wśród takich wielomianów. ${\ Displaystyle b (s)}$ . Jego istnienie można wykazać za pomocą pojęcia D-modułów holonomicznych .

Kashiwara (1976) udowodnił, że wszystkie pierwiastki wielomianu Bernsteina-Sato są ujemnymi liczbami wymiernymi .

Wielomian Bernsteina – Sato można również zdefiniować dla iloczynów potęg kilku wielomianów ( Sabbah 1987 ). W tym przypadku jest to iloczyn czynników liniowych z wymiernymi współczynnikami.

Nero Budur, Mircea Mustață i Morihiko Saito ( 2006 ) uogólnili wielomian Bernsteina-Sato na dowolne rozmaitości.

Zauważ, że wielomian Bernsteina – Sato można obliczyć algorytmicznie. Jednak takie obliczenia są ogólnie trudne. Istnieją implementacje powiązanych algorytmów w systemach algebry komputerowej RISA/Asir, Macaulay2 i SINGULAR .

Daniel Andres, Viktor Levandovskyy i Jorge Martín-Morales ( 2009 ) przedstawili algorytmy obliczania wielomianu Bernsteina-Sato o rozmaitości afinicznej wraz z implementacją w systemie algebry komputerowej SINGULAR .

Christine Berkesch i Anton Leykin ( 2010 ) opisali niektóre algorytmy obliczania wielomianów Bernsteina – Sato za pomocą komputera.

Przykłady

• Jeśli ${\ Displaystyle f (x) = x_ {1} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \,}$ to

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ częściowe _ {i }^{2}f(x)^{s+1}=4(s+1)\left(s+{\frac {n}{2}}\right)f(x)^{s}}$

więc Wielomian Bernsteina-Sato to

${\ Displaystyle b (s) = (s + 1) \ lewo (s + {\ Frac {n} {2}} \ prawo).}$

• Jeśli ${\ Displaystyle f (x) = x_ {1} ^ {n_ {1}} x_ {2} ^ {n_ {2}} \ cdots x_ {r} ^ {n_ {r}}}$ wtedy

${\ Displaystyle \ prod _ {j = 1} ^ { r}\częściowa _{x_{j}}^{n_{j}}\quad f(x)^{s+1}=\prod _{j=1}^{r}\prod _{i=1 }^{n_{j}}(n_{j}s+i)\quad f(x)^{s}}$

więc

${\ Displaystyle b (s) = \ prod _ {j = 1} ^ {r} \ prod _ {i = 1} ^ {n_ {j}} \ lewo (s + {\ Frac {i} {n_ {j} }}\right).}$

• Wielomian Bernsteina-Sato funkcji x ² + y ³ to

${\ Displaystyle (s + 1) \ lewo (s + {\ Frac {5} {6}} \ prawo) \ lewo (s + {\ Frac {7} {6}} \ prawo).}$

• Jeśli t _ij są n ² zmienne, to wielomian Bernsteina-Sato det ( t _ij ) jest dany przez

${\ Displaystyle (s + 1) (s + 2) \ cdots (s + n)},$

co wynika z

${\ Displaystyle \ Omega (\ det ( t_{ij})^{s})=s(s+1)\cdots (s+n-1)\det(t_{ij})^{s-1}} gdzie Ω to proces omega Cayleya$

, który w kolej wynika z tożsamości Capellego .

Aplikacje

• Jeśli jest nieujemnym wielomianem, to $,$$)}$ zdefiniowany dla z nieujemną częścią rzeczywistą, może być analitycznie kontynuowane do funkcji s o wartościach rozkładu meromorficznego przez wielokrotne stosowanie równania funkcjonalnego

${\ Displaystyle f (x) ^ {s} = {1 \ ponad b (s)} P (s) f (x) ^ {s + 1}.} Może mieć bieguny, gdy b$

( s + n ) wynosi zero dla nieujemnej liczby całkowitej n .

• Jeśli f ( x ) jest wielomianem, a nie identycznym zerem, to ma odwrotność g , która jest rozkładem; innymi słowy, f g = 1 jako rozkłady. Jeśli f ( x ) jest nieujemne, odwrotność można skonstruować za pomocą wielomianu Bernsteina – Sato, przyjmując stały wyraz rozwinięcia Laurenta f ( x ) s ^przy s = −1. Dla dowolnego fa ( x ) po prostu weź ${\ Displaystyle {\ bar {f}} (x)}$ razy odwrotność ${\ displaystyle {\ bar {f}} (x) f (x).} Twierdzenie$

• Malgrange'a -Ehrenpreisa stwierdza, że ​​każdy operator różniczkowy o stałych współczynnikach ma funkcję Greena . Biorąc transformaty Fouriera wynika to z faktu, że każdy wielomian ma odwrotność rozkładu, co zostało udowodnione w powyższym akapicie.

• Pavel Etingof ( 1999 ) pokazał, jak użyć wielomianu Bernsteina do ścisłego zdefiniowania regularyzacji wymiarów w masywnym przypadku euklidesowym.

• Równanie funkcyjne Bernsteina-Sato jest wykorzystywane w obliczeniach niektórych bardziej złożonych rodzajów całek osobliwych występujących w kwantowej teorii pola Fiodora Tkaczowa ( 1997 ). Takie obliczenia są potrzebne do precyzyjnych pomiarów w fizyce cząstek elementarnych, praktykowanych na przykład w CERN (patrz cytowane artykuły ( Tkachov 1997 )). Jednak najciekawsze przypadki wymagają prostego uogólnienia równania funkcyjnego Bernsteina-Sato na iloczyn dwóch wielomianów ${\ Displaystyle (f_ {1} ( x))^{s_{1}}(f_{2}(x))^{s_{2}}}$ , gdzie x ma 2-6 składowych skalarnych, a para wielomianów ma rzędy 2 i 3. Niestety, brutalne określenie odpowiednich operatorów różniczkowych i ${\ Displaystyle$${\ Displaystyle P ($ dla takich przypadków okazała się jak dotąd zbyt kłopotliwa. Opracowanie sposobów na ominięcie kombinatorycznej eksplozji algorytmu brutalnej siły miałoby wielką wartość w takich zastosowaniach.

Notatki

•    Andrzej, Daniel; Lewandowski, Wiktor; Martín-Morales, Jorge (2009), „Główne przecięcie i wielomian Bernsteina-Sato o rozmaitości afinicznej”, Proc. ISSAC 2009 , Association for Computing Machinery : 231, arXiv : 1002.3644 , doi : 10.1145/1576702.1576735 , ISBN 9781605586090 , S2CID 2747775

• Berkesch, Christine; Leykin, Anton (2010). „Algorytmy dla wielomianów Bernsteina-Sato i ideałów mnożnika”. proc. ISSAC 2010 . ar Xiv : 1002.1475 . Bibcode : 2010arXiv1002.1475B .

•    Bernstein, Józef (1971). „Moduły na pierścieniu operatorów różniczkowych. Badanie podstawowych rozwiązań równań o stałych współczynnikach”. Analiza funkcjonalna i jej zastosowania . 5 (2): 89–101. doi : 10.1007/BF01076413 . MR 0290097 . S2CID 124605141 .

•    Budur, Nero; Mustață, Mircea ; Saito, Morihiko (2006). „Wielomiany Bernsteina-Sato o dowolnych rozmaitościach”. Compositio Mathematica . 142 (3): 779–797. arXiv : matematyka/0408408 . Bibcode : 2004math......8408B . doi : 10.1112/S0010437X06002193 . MR 2231202 . S2CID 6955564 .

•   Borel, Armand (1987). Algebraiczne D-moduły . Perspektywy w matematyce . Tom. 2. Boston, MA: Prasa akademicka . ISBN 0-12-117740-8 .

•   Coutinho, Severino C. (1995). Elementarz algebraicznych D-modułów . Teksty studenckie London Mathematical Society. Tom. 33. Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press . ISBN 0-521-55908-1 .

•    Etingof, Paweł (1999). „Uwaga dotycząca regularyzacji wymiarowej”. Pola i struny kwantowe: kurs dla matematyków . Tom. 1. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. s. 597–607. ISBN 978-0-8218-2012-4 . MR 1701608 . (Princeton, NJ, 1996/1997)

•    Kashiwara, Masaki (1976). „Funkcje B i systemy holonomiczne. Racjonalność pierwiastków funkcji B”. Inventiones Mathematicae . 38 (1): 33–53. Bibcode : 1976InMat..38...33K . doi : 10.1007/BF01390168 . MR 0430304 . S2CID 17103403 .

•    Kashiwara, Masaki (2003). D-moduły i rachunek mikrolokalny . Tłumaczenia monografii matematycznych. Tom. 217. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . ISBN 978-0-8218-2766-6 . MR 1943036 .

•   Sabbah, Claude (1987). „Proximité évanescente. I. La structure polaire d'un D-module” . Compositio Mathematica . 62 (3): 283–328. MR 0901394 .

•      Sato, Mikio ; Shintani, Takuro (1972). „O funkcjach zeta związanych z przedjednorodnymi przestrzeniami wektorowymi” . Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . 69 (5): 1081–1082. Bibcode : 1972PNAS...69.1081S . doi : 10.1073/pnas.69.5.1081 . JSTOR 61638 . MR 0296079 . PMC 426633 . PMID 16591979 .

•    Sato, Mikio ; Shintani, Takuro (1974). „O funkcjach zeta związanych z przedjednorodnymi przestrzeniami wektorowymi”. Roczniki matematyki . Druga seria. 100 (1): 131–170. doi : 10.2307/1970844 . JSTOR 1970844 . MR 0344230 .

•   Sato, Mikio (1990) [1970]. „Teoria przedjednorodnych przestrzeni wektorowych (część algebraiczna)” . Dziennik matematyczny z Nagoi . 120 : 1–34. doi : 10.1017/s0027763000003214 . MR 1086566 . angielskie tłumaczenie wykładu Sato z notatki Shintaniego

•   Tkachov, Fiodor V. (1997). „Algorytmy algebraiczne do obliczeń wielopętlowych. Pierwsze 15 lat. Co dalej?”. jądrowy Instrument. Metody A. 389 (1–2): 309–313. arXiv : hep-ph/9609429 . Bibcode : 1997NIMPA.389..309T . doi : 10.1016/S0168-9002(97)00110-1 . S2CID 37109930 .