optyka Fouriera

Optyka Fouriera to badanie optyki klasycznej za pomocą transformat Fouriera (FT), w których rozważany kształt fali jest uważany za złożony z kombinacji lub superpozycji fal płaskich. Ma pewne podobieństwa do zasady Huygensa-Fresnela , w którym uważa się, że czoło fali składa się z kombinacji sferycznych czoła fali (zwanych także czołami fazowymi), których suma jest badanym czołom fali. Kluczową różnicą jest to, że optyka Fouriera uważa fale płaskie za naturalne mody ośrodka propagacyjnego, w przeciwieństwie do optyki Huygensa-Fresnela, gdzie fale sferyczne pochodzą z ośrodka fizycznego.

Zakrzywione czoło fazowe można zsyntetyzować z nieskończonej liczby tych „naturalnych modów”, tj. z czołowych fazowych fal płaskich zorientowanych w różnych kierunkach w przestrzeni. Daleko od swoich źródeł rozszerzająca się fala sferyczna jest lokalnie styczna do płaskiego czoła fazowego (pojedyncza fala płaska z nieskończonego widma), która jest poprzeczna do promieniowego kierunku propagacji. W tym przypadku dyfrakcyjny Fraunhofera , który pochodzi z pojedynczego sferycznego środka fazowego fali. W polu bliskim nie istnieje żadne dobrze zdefiniowane centrum fazowe fali sferycznej, więc czoło fali nie jest lokalnie styczne do sferycznej kuli. w tym przypadku Powstałby obraz dyfrakcyjny Fresnela , który emanuje z rozszerzonego źródła, składającego się z rozmieszczenia (fizycznie identyfikowalnych) kulistych źródeł fal w przestrzeni. W polu bliskim pełne widmo fal płaskich jest niezbędne do reprezentowania fali bliskiego pola Fresnela, nawet lokalnie . „Szeroka” fala poruszająca się do przodu (jak rozszerzająca się fala oceaniczna zbliżająca się do brzegu) może być traktowana jako nieskończona liczba „ fali płaskich” ", z których wszystkie mogą (gdy zderzają się z czymś na drodze) rozpraszać się niezależnie od siebie. Te matematyczne uproszczenia i obliczenia są domeną analizy i syntezy Fouriera - razem mogą opisać, co się dzieje, gdy światło przechodzi przez różne szczeliny, soczewki lub zwierciadła zakrzywione w jedną lub drugą stronę lub całkowicie lub częściowo odbijane.

Optyka Fouriera stanowi znaczną część teorii stojącej za technikami przetwarzania obrazu , a także znajduje zastosowania, w których informacje muszą być wydobywane ze źródeł optycznych, takich jak optyka kwantowa . Ujmując to w nieco bardziej złożony sposób, podobnie jak koncepcja częstotliwości i czasu stosowana w tradycyjnej teorii transformaty Fouriera , optyka Fouriera wykorzystuje dziedzinę częstotliwości przestrzennej ( k _x , k _y ) jako koniugat przestrzennej ( x , k y , y ) domena. Powszechnie używane są terminy i pojęcia, takie jak teoria transformacji, widmo, szerokość pasma, funkcje okien i próbkowanie z jednowymiarowego przetwarzania sygnału .

Rozchodzenie się światła w jednorodnych ośrodkach bez źródła

Światło można opisać jako kształt fali rozchodzący się w wolnej przestrzeni (próżni) lub ośrodku materialnym (takim jak powietrze lub szkło). Z matematycznego punktu widzenia składowa pola wektorowego opisująca falę o wartości rzeczywistej jest reprezentowana przez skalarną funkcję falową u , która zależy zarówno od przestrzeni, jak i czasu:

$${\ Displaystyle u = u (\ mathbf {r}, t)}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ mathbf {r} = (x, y, z)}$$

reprezentuje pozycję w przestrzeni trójwymiarowej ( tutaj w kartezjańskim układzie współrzędnych ), a t reprezentuje czas.

Równanie falowe

Optyka Fouriera zaczyna się od jednorodnego, skalarnego równania falowego (obowiązuje w regionach bez źródła):

$${\ Displaystyle \ lewo (\ nabla ^ {2} - {\ Frac {1} {c ^ {2}}}} \frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r},t)=0.}$$

gdzie jest $prędkością$ światła , a u ( r , t ) jest składową kartezjańską o wartościach rzeczywistych fali elektromagnetycznej rozchodzącej się w wolnej przestrzeni (np. ( r , t ) = mi _ja ( r , t ) dla i = x , y lub z gdzie E _i jest i -osiowa składowa pola elektrycznego E w kartezjańskim układzie współrzędnych ).

Sinusoidalny stan ustalony

Jeśli przyjmie się światło o stałej częstotliwości w czasie / długości fali / kolorze (jak z lasera jednomodowego), to w oparciu o inżynierską konwencję czasu, która zakłada, że ​​mi ja $displaystyle e ^ {i \ omega t }}$$}$ w rozwiązaniach falowych przy częstotliwości kątowej ${\ Displaystyle \ omega =$ 2 gdzie ${\ Displaystyle \ tau}$ to okres fal, harmoniczna w czasie postać pola optycznego jest podana jako

$${\ Displaystyle u (\ mathbf {r}, t) = \ nazwa operatora {Re} \ lewo \ {\ psi (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t} \ prawo \}.}$$

gdzie ${\ displaystyle i}$ jest jednostką urojoną , ${\ Displaystyle \ operatorname {Re} \ lewo \ {x \ prawo \}}$ jest operatorem biorącym rzeczywistą część ${\ displaystyle x} , ja {\ displaystyle i$ }

$${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$$

jest częstotliwością kątową (w radianach na jednostkę czasu) fal świetlnych, oraz

$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = a (\ mathbf {r}) e ^ {i \ phi (\ mathbf {r})} }$$

$jest$$na$ ogół wielkością zespoloną , z oddzielną amplitudą nieujemnej liczbie rzeczywistej i .

Równanie Helmholtza

Podstawienie tego wyrażenia do skalarnego równania falowego powyżej daje niezależną od czasu postać równania falowego,

$${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Re} \ lewo \ {\ lewo (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ prawej) \ psi (\ mathbf {r} )\right\}=0}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle k = {\ omega \ nad c} = {2 \ pi \ nad \ lambda}}$$

z długością fali $próżni$ jest liczbą falową (zwaną także stałą propagacji), $\ lambda}$ przestrzenną częścią o wartościach zespolonych λ Składowa kartezjańska fali elektromagnetycznej. Należy zauważyć $jednorodnych$$.$ propagacji i częstotliwość kątowa są ze sobą liniowo powiązane, co jest typową cechą poprzecznych fal elektromagnetycznych (TEM) w ośrodkach

${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) e ^ {i \ omega t}}$ pierwotnie pożądane rozwiązanie skalarnego równania falowego o wartościach rzeczywistych $można$ po prostu , rozwiązanie następującego równania, znanego jako równanie Helmholtza , dotyczy głównie traktowania funkcji o wartościach zespolonych jest często znacznie łatwiejsze niż traktowanie odpowiadającą jej funkcję o wartościach rzeczywistych.

$${\ Displaystyle \ lewo (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ prawej) \ psi (\ mathbf {r}) = 0.}$$

Rozwiązywanie równania Helmholtza

Rozwiązania równania Helmholtza w kartezjańskim układzie współrzędnych można łatwo znaleźć za pomocą zasady separacji zmiennych dla równań różniczkowych cząstkowych . Zasada ta mówi, że w rozłącznych współrzędnych ortogonalnych , elementarne rozwiązanie tego równania falowego może mieć następującą postać:

$${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = f_ {x} (x) f_ {y}$$

tj. jako iloczyn funkcji x , razy funkcja y , razy funkcja z . Jeśli to elementarne rozwiązanie iloczynu zostanie podstawione do równania falowego przy użyciu skalarnego Laplace'a w kartezjańskim układzie współrzędnych

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ psi = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} \ psi} {\częściowy x^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}\psi}}{\częściowy ^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{2}\psi}}} częściowe z^{2}}},}$$

wtedy otrzymamy następujące równanie dla 3 poszczególnych funkcji $f_{x}''(x)f_{y}(y)f_{z}(z)+f_{x} (x)f_{y}''(y)f_{z}(z)+f_{x}(x)f_{y}(y)f_{z}''(z)+k^{2}f_ {x}(x)f_{y}(y)f_{z}(z)=0,$ które można łatwo przełożyć do postaci:

$${\ Displaystyle {\ Frac {f_ {x} ''(x)}{f_{x}(x)}}+{\frac {f_{y}''(y)}{f_{y}(y)}}+{\frac {f_{z} ''(z)}{f_{z}(z)}}+k^{2}=0}$$

Można teraz argumentować, że każdy iloraz w powyższym równaniu musi z konieczności być stały. Aby to uzasadnić, powiedzmy, że pierwszy iloraz nie jest stałą i jest funkcją x . Ponieważ żaden z pozostałych wyrazów w równaniu nie jest zależny od zmiennej x , więc pierwszy wyraz również nie może wykazywać żadnej zależności x ; musi to być stała. (Jeśli pierwszy wyraz jest funkcją x , to nie ma sposobu, aby lewa strona tego równania była równa zeru.) Ta stała jest oznaczana jako - k _x ² . Rozumując w podobny sposób dla y i z , otrzymujemy trzy równania różniczkowe zwyczajne dla f _x , f _y i f _z wraz z jednym warunkiem separacji :

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} f_ { x}(x)+k_{x}^{2}f_{x}(x)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}f_{y }(y)+k_{y}^{2}f_{y}(y)&=0\\[1pt]{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}f_{z} (z)+k_{z}^{2}f_{z}(z)&=0\\[3pt]k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^ {2}&=k^{2}\end{wyrównane}}}$$

Każde z tych 3 równań różniczkowych ma tę samą postać rozwiązania: sinusy, cosinusy lub zespolone wykładniki. Pójdziemy $_$ _ W rezultacie elementarnym rozwiązaniem produktu jest ${\ Displaystyle \ psi (x, y, z)}$

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ psi (x, y, z) i = Ae ^ {ik_ {x} x} e ^ {ik_ {y}y}e^{ik_{z}z}\\&=Ae^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ik_{z}z}\\&=Ae ^{i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2} }}}\end{wyrównane}}}$$

z ogólnie liczbą zespoloną ${\ displaystyle A}$ . $lub$ rozwiązanie jest przestrzenną częścią składnika kartezjańskiego o wartościach zespolonych np. , ${\ displaystyle E_ {y}}$ jako mi $displaystyle E_ {z}}$ \ składowa pola elektrycznego wzdłuż każdej osi w kartezjańskim układzie współrzędnych ) rozchodzącej się fali płaskiej. ${\ Displaystyle k_ {i}}$ ( ${\ displaystyle i = x}$ , ${\ displaystyle y}$ lub ${\ displaystyle z}$ ) jest tutaj liczbą rzeczywistą, ponieważ przyjęto fale w ośrodku wolnym od źródła, więc każda płaska fala nie jest zanikana ani wzmacniana, ponieważ propaguje się w medium. Znak ujemny ${\ displaystyle k_ {i}}$ ( ${\ displaystyle i = x}$ , ${\ displaystyle y}$ lub ${\ displaystyle z}$ ) w wektorze falowym ${\ Displaystyle \ mathbf {k} = k_ {x} {\ kapelusz {\ mathbf {x}}} + k_ {y} {\ kapelusz {\ mathbf {y}} } + k_ {z} {\ kapelusz {\ mathbf {z}}}}$ (gdzie ${\ textstyle \ lewo | \ mathbf {k} \ prawo | = k = { \ omega \ over c} = {2 \ pi \ over \ lambda}} )$ oznacza, że ​​wektor kierunku propagacji fali ma dodatni ${\ displaystyle i}$ ( ${\ Displaystyle i = x}$ , ${\ Displaystyle y}$ lub ${\ Displaystyle Z}$ ) - składnik, podczas gdy znak dodatni ${\ Displaystyle k_ {i}}$ oznacza ujemny ${\ Displaystyle i }$ ( ${\ Displaystyle i = x}$ , ${\ Displaystyle y}$ lub ${\ Displaystyle z}$ ) - składowa tego wektora.

Rozwiązania produktowe równania Helmholtza są również łatwo uzyskiwane we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych , dając harmoniczne cylindryczne i sferyczne (przy czym pozostałe rozdzielne układy współrzędnych są używane znacznie rzadziej).

Kompletne rozwiązanie: całka superpozycji

Ogólne rozwiązanie równania jednorodnej fali elektromagnetycznej przy ustalonej częstotliwości czasowej w kartezjańskim układzie współrzędnych można utworzyć jako ważoną superpozycję wszystkich możliwych elementarnych rozwiązań fali płaskiej jako fa { $displaystyle f}$

$${\ Displaystyle \ psi (x, y, z) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ psi _ { 0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~e^{\pm iz{\sqrt {k^{2}-k_ {x}^{2}-k_{y}^{2}}}}~dk_{x}dk_{y}}$$

 

 

 

 

()

k ${x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$ , każdy $liczba$ rzeczywista i $2 \ pi \ ponad \ lambda}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi f}$ . W tej superpozycji ${\ Displaystyle (k_ {x}, k_ {y}, k_ {z})}$$współczynnikiem$ składowej fali gdzie ${\ Displaystyle k_ {z}}$ jest określone na podstawie ${\ Displaystyle k_{x}}$ i ${\ displaystyle k_ {y}}$ przez wspomniane ograniczenie.

Dalej, niech

$${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = \ psi (x, y, z) | _ {z = 0}.}$$

Następnie:

$${\ Displaystyle \ psi _ {0 }(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y })~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_{x}dk_{y}}$$

Reprezentacja widma fali płaskiej ogólnego pola elektromagnetycznego (np. fali kulistej) w równaniu ( 2.1 ) jest podstawowym fundamentem optyki Fouriera (tego punktu nie można wystarczająco mocno podkreślić), ponieważ przy z = 0 równanie po prostu staje się zależność z transformacją Fouriera (FT) między polem a zawartością jego fali płaskiej (stąd nazwa optyka Fouriera ).

Zatem:

$${\ Displaystyle \ Psi _ {0} (k_ {x}, k_ {y}) = {\ mathcal {F}} \ {\ psi _{0}(x,y)\}}$$

I

$${\ Displaystyle \ psi _ {0} (x, y) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ {\ psi_{0}(k_{x},k_{y})\}}$$

Cała zależność przestrzenna każdej składowej fali płaskiej jest wyraźnie opisana przez funkcję wykładniczą. Współczynnik wykładniczy jest funkcją tylko dwóch składowych wektora falowego dla każdej fali płaskiej (ponieważ inną pozostałą składową można określić za pomocą wyżej wymienionych ograniczeń) $na$${\ displaystyle k_ {y}}$ i , tak jak w zwykłej analizie Fouriera i transformacjach Fouriera .

Związek między optyką Fouriera a rozdzielczością obrazowania

Rozważmy system obrazowania, w którym oś z jest osią optyczną systemu, a płaszczyzna obiektu (do zobrazowania na płaszczyźnie obrazu systemu) to płaszczyzna w punkcie z = {\ displaystyle z $z=0$. On the object plane, the spatial part of a complex-valued Cartesian component of a wave is, as shown above, ${\ textstyle \ psi _ {0} (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}~dk_ {x}dk_{y}$ z ograniczeniami k ${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$ , każdy jako ${\ Displaystyle k_ {i}}$${\ Displaystyle k = {\ omega \ nad c} = {2 \ pi \ nad \ lambda}}$ do ω $\ Displaystyle \ omega = 2 \ pi F}$ . Obrazowanie to rekonstrukcja fali na płaszczyźnie obiektu (z informacją o wzorze na płaszczyźnie obiektu, który ma być zobrazowany) na płaszczyźnie obrazu poprzez odpowiednią propagację fali od obiektu do płaszczyzn obrazu (np. pomyśl o obrazowaniu obrazu w przestrzeni powietrznej.), a fala na płaszczyźnie obiektu, która w pełni podąża za wzorcem, który ma być zobrazowany, jest w zasadzie opisana przez nieograniczoną odwrotną transformatę Fouriera ${\ textstyle \ psi _ {0, {\ tekst {unc}}} (x, y) = \int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }\Psi _{0}(k_{x},k_{y})~e^{i (k_ {x} x + k_ {y} y)} ~ dk_ {x} dk_ {y}}$ gdzie ${\ displaystyle k_ {i}}$ przyjmuje nieskończony zakres liczb rzeczywistych. Oznacza to, że dla danej częstotliwości światła tylko część pełnej cechy wzoru może zostać zobrazowana z powodu wyżej wymienionych ograniczeń k ja {\ ${i}}$ ; (1) subtelna cecha, której reprezentacja w odwrotnej transformacie Fouriera wymaga częstotliwości przestrzennych ${\ textstyle {\ Frac {k_ {T}} {2 \ pi}}}$ , gdzie ${\ displaystyle k_ {T} }$ są poprzecznymi liczbami falowymi spełniającymi ${\ Displaystyle k_ {T} ^ {2} = k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ geq k ^ {2}$ } obrazowane, ponieważ fale z takimi nie istnieją dla danego światła $.$$granica$ to jest znane jako dyfrakcji i (2) częstotliwości przestrzenne z ${\ Displaystyle k_ {T}<k},$ ale blisko ${\ displaystyle k}$ więc wyższe kąty wychodzące fali w stosunku do osi optycznej wymagają systemu obrazowania o wysokim NA ( apertura numeryczna ), który jest kosztowny i trudny do zbudowania. Dla (1), nawet jeśli podłużne liczby falowe o wartościach zespolonych $są$ dozwolone (przez nieznaną interakcję między światłem a wzorem płaszczyzny przedmiotu, który jest zwykle materiałem stałym), $\ displaystyle k_ {$ powodują rozpad światła wzdłuż $displaystyle$ (wzmocnienie światła wzdłuż osi $z}$ oś nie ma fizycznego sensu, jeśli nie ma materiału wzmacniającego między obiektem a płaszczyznami obrazu, i jest to zwykły przypadek). Więc fale z takimi mogą nie osiągnąć płaszczyzny obrazu, która jest zwykle ${\ displaystyle k_ {z}}$ dostatecznie daleko od płaszczyzny obiektu.

W związku z fotolitografią elementów elektronicznych, te (1) i (2) są powodami, dla których do zobrazowania wymagane jest światło o wyższej częstotliwości (mniejsza długość fali, a zatem większa wielkość ) lub wyższy system obrazowania NA ${\ displaystyle k}$ drobniejsze cechy układów scalonych na fotorezyście na płytce. W rezultacie maszyny realizujące taką litografię optyczną stają się coraz bardziej złożone i drogie, co znacznie zwiększa koszt produkcji elementów elektronicznych.

Przybliżenie przyosiowe

Propagacja fali przyosiowej (oś optyczna przyjęta jako oś z)

Przyjmuje się, że rozwiązanie równania Helmholtza jako części przestrzennej złożonej składowej kartezjańskiej fali o pojedynczej częstotliwości ma postać:

$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) = A (\ mathbf {r}) e ^ {-i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {R} }}$$

gdzie jest wektorem falowym i ${\ Displaystyle \ mathbf {k}}$

$${\ Displaystyle \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} = k_ {x} \ mathbf {x} + k_ {y} \ mathbf {y} +k_{z}\mathbf {z} }$$

I

$${\ Displaystyle k = \|\ mathbf {k} \|= {\ sqrt {k_ {x} ^ {2} + k_ { y}^{2}+k_{z}^{2}}}={\omega \ponad c}}$$

jest liczbą falową. Następnie użyj przybliżenia przyosiowego , czyli przybliżenia małego kąta takiego, że

$${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} \ ll k_ {z} ^ {2}}$$

więc aż do drugiego rzędu przybliżenia funkcji trygonometrycznych (to znaczy biorąc tylko do drugiego wyrazu w rozwinięciu szeregu Taylora każdej funkcji trygonometrycznej),

$${\ Displaystyle \ sin \ teta \ około \ teta}$$

$${\ Displaystyle \ dębnik \ teta \ około \ teta}$$

$${\ Displaystyle \ sałata \ teta \ około 1- \ teta ^ {2}/2}$$

gdzie jest $radianach$ ) między wektorem falowym k a osią z jako osią optyczną omawianego układu optycznego.

W rezultacie,

$${\ Displaystyle k_ {z} = k \ sałata \ teta \ około k (1- \ teta ^ {2}/2)}$$

I

$${\ Displaystyle \ psi (\ mathbf {r}) \ około A ( \mathbf {r} )e^{-i(k_{x}x+k_{y}y)}e^{ikz\theta ^{2}/2}e^{-ikz}}$$

Równanie fali przyosiowej

Podstawiając to wyrażenie do równania Helmholtza, uzyskuje się równanie fali przyosiowej:

$$\ Displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} A-2ik {\ częściowe A \ ponad \ częściowe z} = 0}$$

Gdzie

$${\ Displaystyle \ nabla _ {T} ^ {2} = \ nabla ^ {2} - {\ częściowe ^ { 2} \over \częściowe z^{2}}={\częściowe ^{2} \ponad \częściowe x^{2}}+{\częściowe ^{2} \ponad \częściowe y^{2}}}$$

jest poprzecznym operatorem Laplace'a w kartezjańskim układzie współrzędnych . Przy wyprowadzaniu równania fali przyosiowej stosuje się następujące przybliżenia.

• $}$$jest$ mały ( $),$ z jest ignorowany
• $}}$ z $są$$\ Displaystyle 2k_ {x}}$ znacznie mniejsze niż termin z lub $2k_$${z$ ), więc te dwa terminy są ignorowane.
• ${\textstyle \left|{\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy z^{2}}}A(\mathbf {r})\right|\ll \left|k{\frac {\częściowy } {\ częściowe z}} A (\ mathbf {r}) \ prawo |},$ więc termin z ${\ textstyle {\ Frac {\ częściowe ^ {2}} {\ częściowe z ^{2}}}A(\mathbf {r} )}$ jest ignorowany. Jest to $} \textstyle \lambda = {\ frac {2\ pi }{k}}}$ się przybliżenie obwiedni , $})$ { \ .

Przybliżenie pola dalekiego

Główny artykuł: dyfrakcja Fraunhofera

równanie ( 2.1 ) można oszacować asymptotycznie w polu dalekim (za pomocą metody fazy stacjonarnej ), aby pokazać, że pole w odległym punkcie jest rzeczywiście takie samo ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ wyłącznie ze względu na składową fali płaskiej z wektorem fali, się równolegle do wektora $}, k_ {z})}$${\ Displaystyle (x, y, z)}$ i którego płaszczyzna jest styczna do frontu fazowego w ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ . Matematyczne szczegóły tego procesu można znaleźć u Scotta [1998] lub Scotta [1990]. Wynikiem wykonania stacjonarnego całkowania fazowego na powyższym wyrażeniu jest następujące wyrażenie,

$${\ Displaystyle E_ {u} (r, \ theta, \ phi) ~ = ~ 2 \ pi ja ~ (k ~ \ cos \ theta) ~ {\ Frac {e ^ {-ikr}} {r}} ~ E_ {u}(k~\sin \theta ~\cos \phi ,k~\sin \theta ~\sin \phi )}$$

 

 

 

 

()

$,z)}$ że pole w $y ,$ widmowej w kierunku $Displaystyle (x,$ , gdzie,

• $${\ Displaystyle x = r ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ fi}$$
• $${\ Displaystyle y = r ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi}$$
• $${\ Displaystyle z = r ~ \ sałata \ theta ~}$$

I

• $${\ Displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$$
• $${\ Displaystyle k_ {y} = k ~ \ sin \ teta ~ \ sin \ phi}$$
• $${\ Displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ teta ~}$$

Innymi słowy, wzór promieniowania dowolnego rozkładu pola planarnego to FT ( transformata Fouriera ) tego rozkładu źródła (patrz zasada Huygensa – Fresnela , w której to samo równanie jest opracowywane przy użyciu podejścia opartego na funkcji Greena ). Zauważ, że NIE jest to fala płaska. mi ${r}}}$ zależność radialna to fala sferyczna - zarówno pod względem wielkości, jak i fazy - której lokalna amplituda jest FT rozkładu płaszczyzny źródłowej pod tym kątem pola dalekiego. Widmo fali płaskiej niekoniecznie oznacza, że ​​pole jako superpozycja składowych fali płaskiej w tym widmie zachowuje się jak fala płaska na duże odległości.

Przestrzenna kontra kątowa szerokość pasma

Powyższe równanie ( 2.2 ) ma kluczowe znaczenie dla połączenia między szerokością pasma przestrzennego (z jednej strony) a szerokością kątową (z drugiej strony) w polu dalekim. Zauważ, że termin „dalekie pole” zwykle oznacza, że ​​mówimy o zbieżnej lub rozbieżnej fali sferycznej z dość dobrze zdefiniowanym środkiem fazowym. Związek między szerokością pasma przestrzennego i kątowego w polu dalekim jest niezbędny do zrozumienia właściwości filtrowania dolnoprzepustowego cienkich soczewek. Patrz rozdział 6.1.3 , aby zapoznać się z warunkiem definiującym obszar pola dalekiego.

Po zrozumieniu koncepcji szerokości kątowej optyk może „przeskakiwać tam iz powrotem” między domenami przestrzennymi i widmowymi, aby szybko uzyskać wgląd, który normalnie nie byłby tak łatwo dostępny tylko poprzez rozważania dotyczące domeny przestrzennej lub optyki promieniowej. Na przykład dowolna szerokość pasma źródła, która leży poza kątem krawędziowym do pierwszej soczewki (ten kąt krawędziowy określa szerokość pasma układu optycznego) nie zostanie przechwycona przez system, który ma być przetwarzany.

Na marginesie, naukowcy zajmujący się elektromagnetyzmem opracowali alternatywny sposób obliczania pola elektrycznego w dalekiej strefie, który nie obejmuje stacjonarnej integracji faz. Opracowali koncepcję znaną jako „fikcyjne prądy magnetyczne”, zwykle oznaczaną przez M i definiowaną jako

$${\ Displaystyle \ mathbf {M} ~ = ~ 2 \ mathbf {E} ^ {aper} \ razy \ mathbf {\ kapelusz {z}}.}$$

W tym równaniu zakłada się, że wektor jednostkowy w kierunku z wskazuje na półprzestrzeń, w której zostaną wykonane obliczenia pola dalekiego. Te równoważne prądy magnetyczne są uzyskiwane przy użyciu zasad równoważności, które w przypadku nieskończonej powierzchni płaskiej dopuszczają dowolne prądy elektryczne J być „obrazowane”, podczas gdy fikcyjne prądy magnetyczne są uzyskiwane z dwukrotnie większego pola elektrycznego apertury (patrz Scott [1998]). Następnie wypromieniowane pole elektryczne jest obliczane z prądów magnetycznych za pomocą równania podobnego do równania dla pola magnetycznego wypromieniowanego przez prąd elektryczny. W ten sposób uzyskuje się równanie wektorowe dla wypromieniowanego pola elektrycznego pod względem pola elektrycznego apertury, a wyprowadzenie nie wymaga użycia idei fazy stacjonarnej.

Widmo fali płaskiej: podstawa optyki Fouriera

Optyka Fouriera różni się nieco od zwykłej optyki promieniowej, zwykle stosowanej w analizie i projektowaniu skupionych systemów obrazowania, takich jak kamery, teleskopy i mikroskopy. Optyka promieniowa to pierwszy rodzaj optyki, z którym większość z nas spotyka się w życiu; jest prosty w konceptualizacji i zrozumieniu oraz bardzo dobrze sprawdza się w zdobywaniu podstawowego zrozumienia popularnych urządzeń optycznych. Niestety, optyka promieniowa nie wyjaśnia działania układów optycznych Fouriera, które na ogół nie są układami skupionymi. Optyka promieniowa jest podzbiorem optyki falowej (w żargonie jest to „asymptotyczna granica zerowej długości fali” optyki falowej) i dlatego ma ograniczone zastosowanie. Musimy wiedzieć, kiedy jest to ważne, a kiedy nie – i to jest jeden z tych przypadków, kiedy tak nie jest. W naszym obecnym zadaniu musimy rozszerzyć nasze rozumienie zjawisk optycznych, aby objąć optykę falową, w której pole optyczne jest postrzegane jako rozwiązanie Równania Maxwella . Ta bardziej ogólna optyka falowa dokładnie wyjaśnia działanie urządzeń optyki Fouriera.

W tej sekcji nie wrócimy aż do równań Maxwella, ale zamiast tego zaczniemy od jednorodnego równania Helmholtza (obowiązującego w mediach bez źródła), które jest o jeden poziom udoskonalenia w porównaniu z równaniami Maxwella (Scott [1998] ). Na podstawie tego równania pokażemy, jak nieskończone jednorodne fale płaskie składają się na jedno rozwiązanie pola (z wielu możliwych) w wolnej przestrzeni. Te jednolite fale płaskie stanowią podstawę do zrozumienia optyki Fouriera.

Koncepcja widma fali płaskiej jest podstawową podstawą optyki Fouriera. Widmo fali płaskiej jest ciągłym widmem jednorodnych fal płaskich, a w widmie występuje jeden składowy fali płaskiej dla każdego punktu stycznego na froncie fazy pola dalekiego. Amplituda tej składowej fali płaskiej byłaby amplitudą pola optycznego w tym punkcie stycznym. Ponownie, jest to prawdą tylko w dalekim polu, z grubsza zdefiniowanym jako zakres poza , gdzie ${\ Displaystyle 2D ^ {2} / \$$}$$gdzie$ jest maksymalnym zasięgiem liniowym źródeł optycznych, a długością fali (Scott [1998]). Widmo fali płaskiej jest często uważane za dyskretne dla niektórych typów siatek okresowych, chociaż w rzeczywistości widma z siatek są również ciągłe, ponieważ żadne fizyczne urządzenie nie może mieć nieskończonego zakresu wymaganego do wytworzenia prawdziwego widma liniowego.

Podobnie jak w przypadku sygnałów elektrycznych, szerokość pasma w optyce jest miarą szczegółowości obrazu; im drobniejszy szczegół, tym większa przepustowość wymagana do jego przedstawienia. Sygnał elektryczny DC (prąd stały) jest stały i nie ma oscylacji; fala płaska rozchodząca się równolegle do osi optycznej ( $ma$ stałą wartość w dowolnym x - y płaszczyźnie, a zatem jest analogiczny do (stałej) składowej prądu stałego sygnału elektrycznego. Szerokość pasma w sygnałach elektrycznych odnosi się do różnicy między najwyższymi i najniższymi częstotliwościami występującymi w widmie sygnału, praktycznie z kryterium odcięcia krawędzi wysokich i niskich częstotliwości widma, aby przedstawić szerokość pasma w liczbie. Dla optycznych systemów, szerokość pasma odnosi się również do zawartości częstotliwości przestrzennej (szerokości pasma przestrzennego), ale ma również drugorzędne znaczenie. Mierzy również, jak daleko od osi optycznej nachylone są odpowiednie fale płaskie, dlatego ten typ szerokości pasma jest często określany również jako szerokość kątowa. Potrzeba większej szerokości pasma częstotliwości, aby wytworzyć krótki impuls w obwodzie elektrycznym, i większej szerokości pasma kątowego (lub częstotliwości przestrzennej), aby wytworzyć ostry punkt w układzie optycznym (patrz dyskusja związana z funkcją rozproszenia punktu ) .

Widmo fali płaskiej powstaje naturalnie jako rozwiązanie funkcji własnej lub „trybu naturalnego” jednorodnego równania fali elektromagnetycznej we współrzędnych prostokątnych (patrz także Promieniowanie elektromagnetyczne , które wywodzi równanie falowe z równań Maxwella w mediach bez źródła lub Scott [1998]) . W dziedzinie częstotliwości $,$ przy założonej konwencji czasowej , się tak zwanym Helmholtza i przyjmuje formę

$${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} E_ {u} + k ^ {2} E_ {u} = 0}$$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ Displaystyle u = x, y, z}$ i ${\ Displaystyle k = 2 \ pi / \ lambda}$ jest liczbą falową ośrodka.

Rozwiązania funkcji własnych (tryb naturalny): tło i przegląd

W przypadku równań różniczkowych, podobnie jak w przypadku równań macierzowych, ilekroć prawa strona równania wynosi zero (na przykład funkcja wymuszająca, wektor wymuszający lub źródło siły wynosi zero), równanie może nadal dopuszczać rozwiązanie nietrywialne , znane w matematyce stosowanej jako rozwiązanie funkcji własnej , w fizyce jako rozwiązanie „w trybie naturalnym”, aw teorii obwodów elektrycznych jako „zerowa odpowiedź wejściowa”. Jest to koncepcja obejmująca szeroki zakres dyscyplin fizycznych. Typowe fizyczne przykłady rezonansu tryby naturalne obejmowałyby rezonansowe tryby wibracyjne instrumentów strunowych (1D), instrumentów perkusyjnych (2D) lub dawnego mostu Tacoma Narrows (3D). Przykłady propagujących modów naturalnych obejmowałyby mody falowodowe , mody światłowodowe , solitony i fale Blocha . Nieskończone jednorodne ośrodki dopuszczają prostokątne, kołowe i sferyczne rozwiązania harmoniczne równania Helmholtza, w zależności od rozważanego układu współrzędnych. Rozchodzące się fale płaskie, które będziemy badać w tym artykule, są prawdopodobnie najprostszym rodzajem fal rozchodzących się w dowolnym rodzaju mediów.

Istnieje uderzające podobieństwo pomiędzy powyższym równaniem Helmholtza ( 2.3 ), które można zapisać

$${\ Displaystyle \ lewo (\ nabla ^ {2} + k ^ {2} \ prawej) f = 0,}$$

i zwykła postać równania dla wartości własnych / wektorów własnych kwadratowej macierzy A ,

$${\ Displaystyle \ lewo (\ mathbf {A} - \ lambda \ mathbf {I} \ prawej) \ mathbf {x} = 0,}$$

zwłaszcza, że ​​​​zarówno skalarny Laplacian $,$ jak i macierz A są operatorami liniowymi na swoich odpowiednich funkcjach / przestrzeniach (Znak minus w tym równaniu macierzowym jest pod każdym względem nieistotny. Jednak znak plus w równaniu Helmholtza jest znaczący). Być może warto zauważyć, że rozwiązania funkcji własnych / rozwiązania wektorów własnych równania Helmholtza / równanie macierzowe często dają ortogonalny zestaw funkcji własnych / wektorów własnych, które się rozpinają (tj. tworzą zestaw bazowy) rozpatrywanej przestrzeni funkcyjnej / przestrzeni wektorowej. Zainteresowany czytelnik może zbadać inne funkcjonalne operatory liniowe (a więc dla innych równań niż równanie Helmholtza), które prowadzą do różnych rodzajów ortogonalnych funkcji własnych, takich jak wielomiany Legendre'a , wielomiany Czebyszewa i wielomiany Hermite'a .

W przypadku równania macierzowego, w którym A jest macierzą kwadratową, wartości własne można znaleźć, ustawiając wyznacznik macierzy równy zeru, czyli znajdując miejsce, w którym macierz nie ma $odwrotności$ (Mówi się, że taka macierz kwadratowa jest osobliwa .) Macierze skończone mają tylko skończoną liczbę wartości własnych / wektorów własnych, podczas gdy operatory liniowe mogą mieć przeliczalną nieskończoną liczbę wartości własnych / funkcji własnych (w ograniczonych obszarach) lub nieprzeliczalnie nieskończone (ciągłe) widma rozwiązań, jak w regionach nieograniczonych.

W niektórych zastosowaniach fizycznych, takich jak obliczanie pasm w objętości okresowej , często zdarza się, że elementy macierzy będą bardzo skomplikowanymi funkcjami częstotliwości i liczby falowej, a macierz będzie nieosobliwa (tj. ma macierz odwrotną) dla większości kombinacji częstotliwości i liczby falowej, ale będzie być również liczbą pojedynczą (tj. nie ma macierzy odwrotnej) dla pewnych określonych kombinacji. Ustalając, które kombinacje częstotliwości i liczby falowej doprowadzają wyznacznik macierzy do zera, można określić charakterystykę propagacji ośrodka. Relacje tego typu, między częstotliwością a liczbą falową, są znane jako relacje dyspersji a niektóre układy fizyczne mogą dopuszczać wiele różnych rodzajów relacji dyspersji. Przykładem z elektromagnetyzmu jest zwykły falowód, który może dopuszczać liczne relacje dyspersji, z których każda jest powiązana z unikalnym trybem propagacji falowodu. Każdy tryb propagacji falowodu jest znany jako funkcja własna rozwiązanie (lub rozwiązanie trybu własnego) równań Maxwella w falowodzie. Wolna przestrzeń dopuszcza również rozwiązania w trybie własnym (tryb naturalny) (znane bardziej powszechnie jako fale płaskie), ale z tą różnicą, że dla dowolnej danej częstotliwości wolna przestrzeń dopuszcza ciągłe widmo modalne, podczas gdy falowody mają widmo modalne dyskretne. W tym przypadku zależność dyspersji jest liniowa, jak w sekcji 1.3 .

K-przestrzeń

Dla danego $=$${\ Displaystyle k = {\ omega \ nad c} = {2 \ pi \ nad \ lambda}}$ do próżni, separacja stan : schorzenie,

$${\ Displaystyle k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2} + k_ {z} ^ {2} = k ^ {2}}$$

które jest identyczne z równaniem dla metryki euklidesowej w trójwymiarowej przestrzeni konfiguracyjnej, sugeruje pojęcie k -wektora w trójwymiarowej „k-przestrzeni”, zdefiniowanej (dla rozchodzenia się fal płaskich) we współrzędnych prostokątnych jako:

$${\ Displaystyle \ mathbf {k} ~ = ~ k_ {x} \ mathbf {\ kapelusz {x}} + k_ {y} \ mathbf {\ kapelusz {y}} +k_{z}\mathbf {\kapelusz {z}}}$$

aw sferycznym układzie współrzędnych as

• $${\ Displaystyle k_ {x} = k ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi}$$
• $${\ Displaystyle k_ {y} = k ~ \ sin \ teta ~ \ sin \ phi}$$
• $${\ Displaystyle k_ {z} = k ~ \ cos \ teta ~}$$

Wykorzystamy te zależności układu współrzędnych sferycznych w następnej sekcji .

Pojęcie k-przestrzeni ma kluczowe znaczenie dla wielu dyscyplin inżynierii i fizyki, zwłaszcza w badaniach objętości okresowych, takich jak krystalografia i teoria pasmowa materiałów półprzewodnikowych.

Dwuwymiarowa transformata Fouriera

Równanie analizy widma (obliczanie widma funkcji ${\ Displaystyle u (x, y)}$ ):

$${\ Displaystyle U (k_ {x}, k_ {y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(x,y)e^{-i(k_{x}x+k_ {y}y)}dxdy}$$

Równanie syntezy (rekonstrukcja funkcji z jej widma): ${\ Displaystyle u (x, y)}$

$${\ Displaystyle u (x, y) = {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\infty}U(k_{x},k_{y})e^{i(k_{x}x+k_{y}y)}dk_{x}dk_{y}}$$

Współczynnik normalizujący o wartości: ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {2}}}}$ jest obecny zawsze, gdy używana jest częstotliwość kątowa (radiany), ale nie wtedy, gdy używana jest zwykła częstotliwość ( cykli) jest używany.

Systemy optyczne: ogólny przegląd i analogia z systemami przetwarzania sygnałów elektrycznych

W ogólnym przeglądzie system optyczny składa się z trzech części; płaszczyzna wejściowa i płaszczyzna wyjściowa oraz zestaw składowych między tymi płaszczyznami, które przekształcają obraz f utworzony na płaszczyźnie wejściowej w inny obraz g utworzony na płaszczyźnie wyjściowej. Obraz wyjściowy układu optycznego g jest powiązany z obrazem wejściowym f poprzez splot obrazu wejściowego z optyczną funkcją odpowiedzi impulsowej układu optycznego, h (znaną jako funkcja punktowa , dla skupionych systemów optycznych). Funkcja odpowiedzi impulsowej jednoznacznie definiuje zachowanie wejścia-wyjścia układu optycznego. oś z przyjmuje się oś optyczną układu . W rezultacie oba obrazy i funkcja odpowiedzi impulsowej są funkcjami współrzędnych poprzecznych x i y .

$${\ Displaystyle g (x, y) = h (x, y) * f (x, y)}$$

Odpowiedź impulsowa optycznego systemu obrazowania to pole płaszczyzny wyjściowej, które powstaje, gdy idealne matematyczne pole optyczne punktowe źródło światła, czyli impulsowe wejście systemu, jest umieszczone w płaszczyźnie wejściowej (zwykle na osi, tj. na osi optycznej). W praktyce nie jest konieczne posiadanie idealnego źródła punktowego w celu określenia dokładnej odpowiedzi impulsowej. Dzieje się tak, ponieważ jakakolwiek szerokość pasma źródła, która leży poza szerokością pasma rozważanego układu optycznego, i tak nie będzie miała znaczenia (ponieważ nie może być nawet przechwycona przez układ optyczny), dlatego nie jest konieczna do określania odpowiedzi impulsowej. Źródło musi mieć tylko co najmniej taką samą (kątową) przepustowość, jak system optyczny.

Systemy optyczne zazwyczaj należą do jednej z dwóch różnych kategorii. Pierwszym z nich są zwykłe systemy zogniskowanego obrazowania optycznego (np. kamery), w których płaszczyzna wejściowa nazywana jest płaszczyzną obiektową, a płaszczyzna wyjściowa nazywana jest płaszczyzną obrazu. Pożądane jest, aby pole optyczne w płaszczyźnie obrazu (płaszczyzna wyjściowa systemu obrazowania) było wysokiej jakości reprodukcją pola optycznego w płaszczyźnie przedmiotowej (płaszczyzna wejściowa systemu obrazowania). Pożądane jest, aby funkcja odpowiedzi impulsowej optycznego systemu obrazowania była zbliżona do funkcji delta 2D w miejscu (lub miejscu w skali liniowej) na płaszczyźnie wyjściowej, odpowiadającym położeniu impulsu (idealne źródło punktowe) na płaszczyźnie wejściowej. The rzeczywista funkcja odpowiedzi impulsowej systemu obrazowania zazwyczaj przypomina funkcję Airy'ego , której promień jest rzędu długości fali użytego światła. Funkcja odpowiedzi impulsowej w tym przypadku jest zwykle określana jako funkcja rozproszenia punktu , ponieważ matematyczny punkt światła na płaszczyźnie obiektu został rozłożony na funkcję Airy'ego na płaszczyźnie obrazu.

Drugi typ to układy optycznego przetwarzania obrazu, w których istotna cecha pola optycznego płaszczyzny wejściowej ma być zlokalizowana i wyizolowana. W tym przypadku odpowiedź impulsowa takiego układu ma być bliską repliką (obrazem) poszukiwanej cechy w polu płaszczyzny wejściowej, tak aby splot odpowiedzi impulsowej (obraz pożądanej cechy ) naprzeciw pola płaszczyzny wejściowej spowoduje powstanie jasnego punktu w miejscu położenia cechy na płaszczyźnie wyjściowej. To właśnie ten ostatni typ systemu optycznego przetwarzania obrazu jest przedmiotem tej sekcji. Sekcja 6.2 przedstawia jedną implementację sprzętową operacji optycznego przetwarzania obrazu opisanych w tej sekcji.

Płaszczyzna wejściowa

Płaszczyzna wejściowa jest zdefiniowana jako zbiór wszystkich punktów takich, że z = 0. Obraz wejściowy f jest zatem

$${\ Displaystyle f (x, y) = U (x, y, z) {\ duży |} _ {z = 0}}$$

Płaszczyzna wyjściowa

Płaszczyzna wyjściowa jest zdefiniowana jako zbiór wszystkich punktów takich, że z = d . Obraz wyjściowy g jest zatem

$${\ Displaystyle g (x, y) = U (x, y, z) {\ duży |} _ {z = d}}$$

Splot 2D funkcji wejściowej względem funkcji odpowiedzi impulsowej

$${\ Displaystyle g (x, y) ~ = ~ h (x, y) * f (x, y)}$$

tj,

$${\ Displaystyle g (x, y) =\int _{-\infty}^{\infty}\int _{-\infty}^{\infty}h(xx',yy')~f(x',y')~dx'dy'}$$

 

 

 

 

()

Uważny czytelnik zauważy, że powyższa całka milcząco zakłada, że ​​odpowiedź impulsowa NIE jest funkcją położenia (x',y') impulsu światła na płaszczyźnie wejściowej (gdyby tak nie było, ten typ splotu nie byłoby możliwe). Ta właściwość jest znana jako niezmienność przesunięcia (Scott [1998]). Żaden układ optyczny nie jest idealnie niezmienny z przesunięciem: gdy idealny, matematyczny punkt światła jest skanowany z dala od osi optycznej, aberracje ostatecznie degradują odpowiedź impulsową (znaną jako koma w systemach zogniskowanego obrazowania). Jednak wysokiej jakości systemy optyczne są często „wystarczająco niezmienne z przesunięciem” w pewnych obszarach płaszczyzny wejściowej, że możemy uznać odpowiedź impulsową za funkcję tylko różnicy między współrzędnymi płaszczyzny wejściowej i wyjściowej, a tym samym bezkarnie stosować powyższe równanie .

Również to równanie zakłada powiększenie jednostkowe. Jeśli występuje powiększenie, to równ. ( 4.1 ) staje się

$${\ Displaystyle g (x, y) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h_ {M} (x-Mx ', y-My' )~f(x',y')~dx'dy'}$$

 

 

 

 

()

co zasadniczo tłumaczy funkcję odpowiedzi impulsowej, h _M (), z x' na x = Mx . w równaniu (' 4.2 ), h _M () będzie powiększoną wersją funkcji odpowiedzi impulsowej h () podobnego, niepowiększonego układu, tak że h _M ( x , y ) = h ( x / M , y / M ).

Wyprowadzenie równania splotu

Rozszerzenie na dwa wymiary jest trywialne, z wyjątkiem różnicy, że przyczynowość istnieje w dziedzinie czasu, ale nie w dziedzinie przestrzeni. Przyczynowość oznacza, że ​​odpowiedź impulsowa h ( t - t' ) układu elektrycznego, spowodowana impulsem przyłożonym w czasie t' , musi z konieczności wynosić zero dla wszystkich czasów t , tak że t - t' < 0.

Uzyskanie splotowej reprezentacji odpowiedzi systemu wymaga przedstawienia sygnału wejściowego jako ważonej superpozycji ciągu funkcji impulsowych przy użyciu właściwości przesiewania funkcji delta Diraca .

$${\ Displaystyle f (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ delta (tt ' )f(t')dt'}$$

Zakłada się wtedy, że rozważany system jest liniowy , to znaczy, że wyjście systemu z dwóch różnych wejść (być może w dwóch różnych momentach) jest sumą poszczególnych wyjść systemu z dwoma wejściami, kiedy wprowadzane indywidualnie. Zatem układ optyczny nie może zawierać żadnych materiałów nieliniowych ani urządzeń aktywnych (z wyjątkiem ewentualnie ekstremalnie liniowych urządzeń aktywnych). Wyjście układu, dla pojedynczego wejścia funkcji delta, definiowane jest jako odpowiedź impulsowa układu, h ( t - t' ). A dzięki naszemu założeniu liniowości (tj. że sygnał wyjściowy systemu na wejście ciągu impulsów jest sumą sygnałów wyjściowych związanych z każdym pojedynczym impulsem), możemy teraz powiedzieć, że ogólna funkcja wejściowa f ( t ) daje wynik :

$${\ Displaystyle g (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (tt ') f(t')dt'}$$

gdzie h ( t - t' ) jest odpowiedzią (impulsową) układu liniowego na wejście funkcji delta δ ( t - t' ), zastosowanej w czasie t' . Stąd pochodzi powyższe równanie splotu. Równanie splotu jest przydatne, ponieważ często łatwiej jest znaleźć odpowiedź systemu na dane wejściowe funkcji delta — a następnie wykonać powyższy splot, aby znaleźć odpowiedź na dowolne dane wejściowe — niż próbować znaleźć odpowiedź na dowolne wejście bezpośrednio. Ponadto odpowiedź impulsowa (w dziedzinie czasu lub częstotliwości) zwykle daje wgląd w odpowiednie liczby dotyczące zalet systemu. W przypadku większości obiektywów funkcja rozproszenia punktu (PSF) jest dość częstą wartością do celów oceny.

Ta sama logika jest używana w połączeniu z zasadą Huygensa-Fresnela lub sformułowaniem Strattona-Chu, w którym „odpowiedź impulsowa” jest określana jako funkcja systemu Greena . Tak więc działanie domeny przestrzennej liniowego układu optycznego jest w ten sposób analogiczne do zasady Huygensa-Fresnela.

Funkcja transferu systemu

Jeśli ostatnie równanie powyżej zostanie przekształcone Fouriera, stanie się:

$${\ Displaystyle G (\ omega) ~ = ~ H (\ omega) \ cdot F (\ omega)}$$

Gdzie

• ${\ Displaystyle G (\ omega)}$ to widmo sygnału wyjściowego
• ${\ Displaystyle H (\ omega)}$ jest funkcją transferu systemu
• ${\ Displaystyle F (\ omega)}$ to widmo sygnału wejściowego

W podobny sposób, równ. ( 4.1 ) można przekształcić Fouriera uzyskując:

$${\ Displaystyle G (k_ {x}, k_ {y}) ~ = ~ H (k_ {x} ,k_{y})\cdot F(k_{x},k_{y})}$$

Funkcja transferu systemu ${\ Displaystyle H (\ omega)}$ . W obrazowaniu optycznym funkcja ta jest lepiej znana jako funkcja transferu optycznego (Goodman) .

Po raz kolejny można zauważyć z dyskusji na temat warunku sinusoidalnego Abbego , że równanie to zakłada jednostkowe powiększenie.

$,$ gdy transformata Fouriera powiązana ze współczynnikiem fali płaskiej ${\ Displaystyle ~ (k_ {x}, k_ {y})}$ . W ten sposób widmo falowe płaszczyzny wejściowej jest przekształcane w widmo falowe płaszczyzny wyjściowej poprzez multiplikatywne działanie funkcji przenoszenia systemu. To właśnie na tym etapie zrozumienia wcześniejsze tło dotyczące widma fali płaskiej staje się nieocenione dla konceptualizacji systemów optycznych Fouriera.

Zastosowania zasad optyki Fouriera

Optyka Fouriera jest wykorzystywana w dziedzinie optycznego przetwarzania informacji, której podstawą jest klasyczny procesor 4F.

Właściwości transformaty Fouriera soczewki zapewniają liczne zastosowania w przetwarzaniu sygnałów optycznych, takie jak filtrowanie przestrzenne , korelacja optyczna i hologramy generowane komputerowo .

Teoria optyki Fouriera jest stosowana w interferometrii , pęsetach optycznych , pułapkach atomowych i komputerach kwantowych . Koncepcje optyki Fouriera służą do rekonstrukcji fazy natężenia światła w płaszczyźnie częstotliwości przestrzennej (patrz algorytm adaptacyjno-addytywny ).

Transformacja Fouriera właściwości soczewek

Jeśli obiekt przepuszczalny zostanie umieszczony w jednej ogniskowej przed soczewką , to jego transformata Fouriera zostanie utworzona w jednej ogniskowej za soczewką. Rozważ rysunek po prawej stronie (kliknij, aby powiększyć)

O właściwościach transformacji Fouriera soczewek

Na tym rysunku zakłada się, że fala płaska pada z lewej strony. Funkcja transmitancji w przedniej płaszczyźnie ogniskowej (tj. w płaszczyźnie 1) moduluje przestrzennie padającą falę płaszczyzny pod względem wielkości i fazy, jak po lewej stronie równania. ( 2.1 ) (określone dla z = 0) iw ten sposób wytwarza widmo fal płaskich odpowiadające FT funkcji transmitancji, jak po prawej stronie równania. ( 2.1 ) (dla z > 0). Różne składowe fali płaskiej rozchodzą się pod różnymi kątami nachylenia względem osi optycznej soczewki (tj. osi poziomej). Im drobniejsze cechy przezroczystości, tym szersza szerokość kątowa widma fali płaskiej. Rozważymy jedną taką składową fali płaskiej, rozchodzącą się pod kątem θ względem osi optycznej. Zakłada się, że θ jest małe ( przybliżenie przyosiowe ), więc

$${\ Displaystyle {\ Frac {k_ {x}} {k}} = \ sin \ teta \ simeq \ teta}$$

I

$${\ Displaystyle {\ Frac {k_ {z}}} {k}} = \ sałata \ theta \ simeq 1 - {\ Frac {1} {2}} \ theta ^{2}}$$

I

$${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ sałata \ theta}} \ simeq {\ Frac {1} {1- {\ Frac { 1}{2}}\theta ^{2}}}\simeq 1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}}$$

Na rysunku faza fali płaskiej przesuwa się poziomo od przedniej płaszczyzny ogniskowej do płaszczyzny soczewki

$${\ Displaystyle e ^ {ikf \ sałata \ teta}}$$

a sferyczna faza fali od soczewki do plamki w tylnej płaszczyźnie ogniskowej wynosi:

$${\ Displaystyle e ^ {ikf / \ cos \ teta}}$$

a suma dwóch długości ścieżek wynosi f (1 + θ ² /2 + 1 - θ ² /2) = 2 f ; tj. jest to wartość stała, niezależna od kąta nachylenia, θ , dla fal płaskich przyosiowych. Każda składowa fali płaszczyzny przyosiowej pola w przedniej płaszczyźnie ogniskowej pojawia się jako plamka funkcji rozproszenia punktu w tylnej płaszczyźnie ogniskowej, z intensywnością i fazą równą intensywności i fazie pierwotnej składowej fali płaskiej w przedniej płaszczyźnie ogniskowej. Innymi słowy, pole w tylnej płaszczyźnie ogniskowej to transformata Fouriera pola w przedniej płaszczyźnie ogniskowej.

Wszystkie składowe FT są obliczane jednocześnie - równolegle - z prędkością światła. Na przykład światło porusza się z prędkością około 1 stopy (0,30 m) na nanosekundę, więc jeśli soczewka ma ogniskową 1 stopy (0,30 m), cały 2D FT można obliczyć w około 2 ns (2 × 10 ⁻⁹ sekund). Jeśli ogniskowa wynosi 1 cal, czas jest mniejszy niż 200 ps. Żaden komputer elektroniczny nie może konkurować z tego rodzaju liczbami, a być może nawet nie ma na to nadziei, chociaż superkomputery mogą faktycznie okazać się szybsze niż optyka, choć może się to wydawać nieprawdopodobne. Jednak ich prędkość uzyskuje się poprzez połączenie wielu komputerów, które pojedynczo są nadal wolniejsze niż optyka. Wadą optycznego FT jest to, że, jak pokazuje wyprowadzenie, zależność FT obowiązuje tylko dla fal płaskich przyosiowych, więc ten „komputer” FT ma z natury ograniczone pasmo. Z drugiej strony, ponieważ długość fali światła widzialnego jest tak mała w stosunku do nawet najmniejszych widocznych wymiarów cech na obrazie, tj.

$${\ Displaystyle k ^ {2} \ gg k_ {x} ^ {2} + k_ {y} ^ {2}}$$

(dla wszystkich k _x , k _y w przestrzennym paśmie obrazu, tak że k _z jest prawie równe k ), przybliżenie przyosiowe nie jest w praktyce strasznie ograniczające. I oczywiście jest to komputer analogowy, a nie cyfrowy, więc precyzja jest ograniczona. Ponadto faza może być trudna do wyodrębnienia; często jest to wywnioskowane interferometrycznie.

Przetwarzanie optyczne jest szczególnie przydatne w aplikacjach czasu rzeczywistego, w których wymagane jest szybkie przetwarzanie ogromnych ilości danych 2D, szczególnie w odniesieniu do rozpoznawania wzorców.

Obcięcie obiektu i zjawisko Gibbsa

Przestrzennie modulowane pole elektryczne, pokazane po lewej stronie równania. ( 2.1 ), zwykle zajmuje tylko skończoną (zwykle prostokątną) aperturę w płaszczyźnie x,y. Prostokątna funkcja apertury działa jak filtr 2D z kwadratowym wierzchołkiem, w którym zakłada się, że pole poza tym prostokątem 2D wynosi zero. Całki w dziedzinie przestrzennej do obliczania współczynników FT po prawej stronie eqn. ( 2.1 ) są ścięte na granicy tego otworu. To obcięcie kroku może wprowadzić niedokładności zarówno w obliczeniach teoretycznych, jak i zmierzonych wartościach współczynników fali płaskiej na RHS równania. ( 2.1 ).

Ilekroć funkcja jest obcinana w sposób nieciągły w jednej dziedzinie FT, w drugiej dziedzinie FT wprowadzane jest poszerzenie i falowanie. Doskonałym przykładem z optyki jest powiązanie z funkcją rozproszenia punktu, która dla oświetlenia fali płaskiej na osi kwadratowej soczewki (z aperturą kołową) jest funkcją Airy'ego, J ₁ ( x )/ x . Dosłownie źródło punktowe zostało „rozłożone” (z dodanymi zmarszczkami), aby utworzyć funkcję rozproszenia punktu Airy'ego (w wyniku obcięcia widma fali płaskiej przez skończoną aperturę soczewki). To źródło błędów jest znane jako zjawisko Gibbsa i można go złagodzić, po prostu upewniając się, że cała istotna treść znajduje się w pobliżu środka przezroczystości lub poprzez użycie funkcji okna które płynnie zwężają pole do zera na granicach kadru. Zgodnie z twierdzeniem o splotach FT dowolnej funkcji przezroczystości - pomnożonej (lub obciętej) przez funkcję apertury - jest równe FT nieobciętej funkcji przezroczystości splecionej z FT funkcji apertury, która w tym przypadku staje się a typu „funkcji Greensa” lub „funkcji odpowiedzi impulsowej” w domenie widmowej. Dlatego obraz soczewki kołowej jest równy funkcji płaszczyzny obiektu splecionej z funkcją Airy'ego (FT funkcji apertury kołowej wynosi J ₁ ( x )/ x a FT prostokątnej funkcji apertury jest iloczynem funkcji sinc, sin x / x ).

Analiza Fouriera i rozkład funkcjonalny

Mimo że przezroczystość wejściowa zajmuje tylko skończoną część płaszczyzny x - y (Płaszczyzna 1), jednolite fale płaskie składające się na widmo fal płaskich zajmują całą płaszczyznę x - y , dlatego (w tym celu) tylko płaszczyzna podłużna należy wziąć pod uwagę fazę fali (w kierunku z , od płaszczyzny 1 do płaszczyzny 2), a nie fazę poprzeczną do kierunku z . Oczywiście bardzo kuszące jest myślenie, że jeśli płaska fala emanująca ze skończonej szczeliny przezroczystości jest odchylona zbyt daleko od poziomu, w jakiś sposób całkowicie „ominie” soczewkę, ale znowu, ponieważ jednolita fala płaska rozciąga się nieskończenie daleko w wszystkie kierunki w poprzek ( x - y ), składowe fali planarnej nie mogą ominąć soczewki.

Kwestia ta wiąże się być może z główną trudnością analizy Fouriera, a mianowicie z tym, że funkcja płaszczyzny wejściowej, zdefiniowana na skończonej podporze (tj. , są one zdefiniowane na całej nieskończonej płaszczyźnie x - y ). Jest to niewiarygodnie nieefektywne obliczeniowo i jest głównym powodem, dla którego wymyślono falki , to znaczy reprezentujące funkcję (zdefiniowaną w skończonym przedziale lub obszarze) w kategoriach funkcji oscylacyjnych, które są również zdefiniowane w skończonych przedziałach lub obszarach. Tak więc, zamiast uzyskiwać zawartość częstotliwościową całego obrazu na raz (wraz z zawartością częstotliwościową całej reszty x - y , na której obraz ma wartość zerową), wynikiem jest zamiast tego zawartość częstotliwości różnych części obrazu, co zwykle jest znacznie prostsze. Niestety, falki w x - y nie odpowiadają żadnemu znanemu typowi rozchodzącej się funkcji falowej, tak samo jak sinusoidy Fouriera (w płaszczyźnie x - y ) odpowiadają płaskim funkcjom falowym w trzech wymiarach. Jednak FT większości falek są dobrze znane i prawdopodobnie można by je wykazać jako równoważne z jakimś użytecznym rodzajem pola propagacyjnego.

Z drugiej strony, funkcje sinc i funkcje Airy'ego - które są nie tylko funkcjami rozrzutu punktowego odpowiednio otworów prostokątnych i kołowych, ale są również funkcjami kardynalnymi powszechnie używanymi do dekompozycji funkcjonalnej w teorii interpolacji/próbkowania [Scott 1990] - nie odpowiadają zbieżnym lub rozbieżnym falom sferycznym, a zatem mogą potencjalnie zostać zaimplementowane jako zupełnie nowa funkcjonalna dekompozycja funkcji płaszczyzny obiektu, prowadząc w ten sposób do innego punktu widzenia, podobnego w naturze do optyki Fouriera. Byłoby to w zasadzie takie samo, jak konwencjonalna optyka promieni, ale z uwzględnieniem efektów dyfrakcji. W tym przypadku każda funkcja rozproszenia punktu byłaby rodzajem „gładkiego piksela”, podobnie jak soliton na włóknie jest „gładkim impulsem”.

Być może wartością obiektywu w tym punkcie widzenia „funkcji rozproszenia punktów” byłoby pytanie, jak dobrze soczewka przekształca funkcję Airy'ego na płaszczyźnie obiektu w funkcję Airy'ego na płaszczyźnie obrazu, jako funkcję promieniowej odległości od optyka osi lub jako funkcja wielkości płaszczyzny obiektu Funkcja Airy'ego. Jest to trochę jak funkcja rozrzutu punktów, z tą różnicą, że teraz naprawdę patrzymy na to jako na rodzaj funkcji przenoszenia płaszczyzny wejścia na wyjście (jak MTF), a nie tak bardzo w wartościach bezwzględnych, w stosunku do idealnego punktu. Podobnie falki gaussowskie, które odpowiadałyby pasowi rozchodzącej się wiązki gaussowskiej, mogłyby również potencjalnie zostać użyte w jeszcze innym funkcjonalnym rozkładzie pola płaszczyzny obiektu.

Zasięg pola dalekiego i kryterium 2D ² / λ

Na powyższym rysunku, ilustrującym właściwość transformacji Fouriera soczewek, soczewka znajduje się w bliskim polu przezroczystości płaszczyzny obiektu, dlatego pole płaszczyzny obiektu na soczewce można traktować jako superpozycję fal płaskich, z których każda rozchodzi się w pewien kąt w stosunku do osi z. W związku z tym kryterium pola dalekiego jest luźno zdefiniowane jako: Zasięg = 2 D ² /λ gdzie D to maksymalny liniowy zasięg źródeł optycznych, a λ to długość fali (Scott [1998]). D przezroczystości jest rzędu cm ( ^10-2 m), a długość fali światła jest rzędu 10 ⁻⁶ m, więc D /λ dla całej przezroczystości jest rzędu 10 ⁴ . Tym razem D jest rzędu 10 ² m, czyli setek metrów. Z drugiej strony odległość pola dalekiego od plamki PSF jest rzędu λ. Dzieje się tak, ponieważ D dla miejsca jest rzędu λ, tak że D /λ jest rzędu jedności; tym razem D (tj. λ) jest rzędu λ (10-6 ^m ).

Ponieważ soczewka znajduje się w polu dalekim dowolnej plamki PSF, pole padające na soczewkę z plamki można uznać za falę sferyczną, jak w równaniu. ( 2.2 ), a nie jako widmo fali płaskiej, jak w równaniu. ( 2.1 ). Z drugiej strony soczewka znajduje się w polu bliskim całej przezroczystości płaszczyzny wejściowej, stąd eqn. ( 2.1 ) – pełne widmo fali płaskiej – dokładnie przedstawia pole padające na soczewkę z tego większego, rozszerzonego źródła.

Obiektyw jako filtr dolnoprzepustowy

Obiektyw jest w zasadzie dolnoprzepustowym filtrem fali płaskiej (patrz Filtr dolnoprzepustowy ). Rozważmy „małe” źródło światła umieszczone na osi w płaszczyźnie przedmiotowej soczewki. Zakłada się, że źródło jest na tyle małe, że według kryterium pola dalekiego soczewka znajduje się w polu dalekim „małego” źródła. Wtedy pole wypromieniowane przez małe źródło jest falą sferyczną, która jest modulowana przez FT rozkładu źródła, jak w równaniu. ( 2.2 ), wtedy soczewka przechodzi - z płaszczyzny przedmiotu na płaszczyznę obrazu - tylko tę część wypromieniowanej fali sferycznej, która leży wewnątrz kąta krawędzi soczewki. W tym przypadku dalekiego pola obcięcie wypromieniowanej fali sferycznej jest równoważne z obcięciem widma fali płaskiej małego źródła. Tak więc składowe fali płaskiej w tej fali sferycznej dalekiego pola, które leżą poza kątem krawędzi soczewki, nie są przechwytywane przez soczewkę i nie są przenoszone na płaszczyznę obrazu. Uwaga: ta logika obowiązuje tylko dla małych źródeł, takich jak soczewka znajduje się w obszarze dalekiego pola źródła, zgodnie z zasadą 2 D ² /λ kryterium wspomniane wcześniej. Jeśli przezroczystość płaszczyzny obiektu jest wyobrażona jako suma małych źródeł (jak we wzorze interpolacji Whittakera-Shannona , Scott [1990]), z których każde ma obcięte widmo w ten sposób, to cierpi na tym każdy punkt całej przezroczystości płaszczyzny obiektu te same efekty tego filtrowania dolnoprzepustowego.

Utrata treści o wysokiej (przestrzennej) częstotliwości powoduje rozmycie i utratę ostrości (patrz dyskusja dotycząca funkcji rozproszenia punktów ). Obcięcie pasma powoduje, że (fikcyjne, matematyczne, idealne) źródło punktowe na płaszczyźnie obiektu jest rozmyte (lub rozłożone) na płaszczyźnie obrazu, co daje początek terminowi „funkcja rozproszenia punktu”. Ilekroć przepustowość jest rozszerzana lub zmniejszana, rozmiar obrazu jest zwykle odpowiednio zmniejszany lub rozszerzany, w taki sposób, że iloczyn przestrzenno-przepustowy pozostaje stały, zgodnie z zasadą Heisenberga (Scott [1998] i Abbe warunek sinusoidalny ) .

Koherencja i transformacja Fouriera

Pracując w dziedzinie częstotliwości, przy założonej inżynierskiej zależności czasowej e ^{jω t , implicite zakłada się światło spójne (laserowe), które ma zależność funkcji delta w dziedzinie częstotliwości.} Światło o różnych częstotliwościach (funkcja delta) „rozpyla” widmo fali płaskiej pod różnymi kątami, w wyniku czego te składowe fali płaskiej będą skupiane w różnych miejscach płaszczyzny wyjściowej. Właściwość transformacji Fouriera soczewek działa najlepiej ze spójnym światłem, chyba że istnieje jakiś specjalny powód, aby połączyć światło o różnych częstotliwościach, aby osiągnąć jakiś specjalny cel.

Sprzętowa implementacja funkcji transferu systemu: Korelator 4F

Główny artykuł: Korelator optyczny

Teoria optycznych funkcji przenoszenia przedstawiona w rozdziale 5 jest nieco abstrakcyjna. Jest jednak jedno bardzo dobrze znane urządzenie, które sprzętowo realizuje funkcję transferu systemu H przy użyciu tylko 2 identycznych soczewek i płytki przezroczystości - korelator 4F. Chociaż jednym z ważnych zastosowań tego urządzenia byłaby z pewnością implementacja matematycznych operacji korelacji krzyżowej i splotu , to urządzenie – o długości 4 ogniskowych – w rzeczywistości obsługuje szeroką gamę operacji przetwarzania obrazu, które znacznie wykraczają poza to, co sugeruje jego nazwa. Schemat typowego korelatora 4F pokazano na poniższym rysunku (kliknij, aby powiększyć). To urządzenie można łatwo zrozumieć, łącząc reprezentację widma fali płaskiej pola elektrycznego ( sekcja 1.5 ) z właściwością przekształcania Fouriera soczewek kwadratowych ( sekcja 6.1 ) w celu uzyskania operacji optycznego przetwarzania obrazu opisanych w sekcji 5 .

Korelator 4F

Korelator 4F jest oparty na twierdzeniu o splotach z teorii transformaty Fouriera , które stwierdza, że ​​splot w dziedzinie przestrzennej ( x , y ) jest równoważny bezpośredniemu mnożeniu w dziedzinie częstotliwości przestrzennej ( k _x , k _y ) (aka: domena widmowa ) . Ponownie zakłada się, że fala płaska pada z lewej strony, a przezroczystość zawiera jedną funkcję 2D, f ( x , y ), znajduje się w płaszczyźnie wejściowej korelatora, znajdującego się o jedną ogniskową przed pierwszą soczewką. Przezroczystość moduluje przestrzennie padającą falę płaską pod względem wielkości i fazy, jak po lewej stronie eqn. ( 2.1 ) iw ten sposób wytwarza widmo fal płaskich odpowiadające FT funkcji transmitancji, jak po prawej stronie równania. ( 2.1 ). Widmo to jest następnie formowane jako „obraz” o jedną ogniskową za pierwszą soczewką, jak pokazano. Maska transmisji zawierająca FT drugiej funkcji, g ( x , y ), znajduje się w tej samej płaszczyźnie, jedna ogniskowa za pierwszą soczewką, co powoduje, że transmisja przez maskę jest równa iloczynowi F ( k _x , k _y ) × G ( k _x , k _y ). Ten iloczyn leży teraz w „płaszczyźnie wejściowej” drugiej soczewki (jedna ogniskowa z przodu), tak że FT tego iloczynu (tj. splot f ( x , y ) i g ( x , y ) )), powstaje w tylnej płaszczyźnie ogniskowej drugiej soczewki.

Jeśli idealne, matematyczne punktowe źródło światła zostanie umieszczone na osi w płaszczyźnie wejściowej pierwszej soczewki, wówczas w płaszczyźnie wyjściowej pierwszej soczewki powstanie jednolite, skolimowane pole. Kiedy to jednorodne, skolimowane pole zostanie pomnożone przez maskę płaszczyzny FT, a następnie przekształcone Fouriera przez drugą soczewkę, wyjściowe pole płaszczyzny (które w tym przypadku jest odpowiedzią impulsową korelatora ) jest po prostu naszą funkcją korelującą, g ( x , y ). W praktycznych zastosowaniach g ( x , y ) będzie pewnego rodzaju cechą, która musi zostać zidentyfikowana i zlokalizowana w polu płaszczyzny wejściowej (patrz Scott [1998]). W zastosowaniach wojskowych tym elementem może być czołg, statek lub samolot, który należy szybko zidentyfikować w bardziej złożonej scenie.

Korelator 4F jest doskonałym narzędziem do zilustrowania „systemowych” aspektów instrumentów optycznych, o których mowa w sekcji 5 powyżej. Funkcja maski płaszczyzny FT, G ( k _x , k _y ) jest funkcją przenoszenia systemu korelatora, którą ogólnie oznaczylibyśmy jako H ( k _x , k _y ) i jest to FT funkcji odpowiedzi impulsowej korelatora, h ( x , y ), który jest naszą funkcją korelującą sol ( x , y ). I, jak wspomniano powyżej, odpowiedź impulsowa korelatora jest tylko obrazem cechy, którą próbujemy znaleźć w obrazie wejściowym. W korelatorze 4F funkcja przenoszenia systemu H ( k _x , k _y ) jest bezpośrednio mnożona przez widmo F ( k _x , k _y ) funkcji wejściowej, aby uzyskać widmo funkcji wyjściowej. W ten sposób systemy przetwarzania sygnałów elektrycznych działają na jednowymiarowych sygnałach czasowych.

Przywracanie obrazu

Rozmycie obrazu za pomocą funkcji rozproszenia punktowego jest szeroko badane w optycznym przetwarzaniu informacji, jednym ze sposobów złagodzenia rozmycia jest zastosowanie filtra Wienera. $_$ przykład $rozkładem$ intensywności niespójnego jego obrazu, który jest rozmyty przez niezmienniczą przestrzennie funkcję punktową ${\ Displaystyle s (x, y)}$ i hałas wprowadzony w procesie wykrywania: ${\ Displaystyle n (x, y)}$

$${\ Displaystyle i (x, y) = o (x, y) \ czasami s (x, y) )+n(x,y)}$$

Celem przywracania obrazu jest znalezienie liniowego filtra przywracającego, który minimalizuje błąd średniokwadratowy między rzeczywistym rozkładem a oszacowaniem. o $\ displaystyle {\ hat {o}} (x, y)$ } Czyli zminimalizować

$${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2} = | o- {\ kapelusz {o}} | ^ {2}}$$

Rozwiązaniem tego problemu optymalizacyjnego jest filtr Wienera :

$${\ Displaystyle H \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ prawo) = {\ Frac {S ^ {*} \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ prawo)}}} {\ lewo | S \left(f_{X},f_{Y}\right)\right|^{2}+{\frac {\Phi _{n}\left(f_{X},f_{Y}\right)}{ \Phi _{o}\left(f_{X},f_{Y}\right)}}}},}$$

gdzie ${\ Displaystyle S \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ prawej)}$ , ${\ Displaystyle \ Phi _ {o} \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ prawej)}$ , ${\ Displaystyle \ Phi _ {n} \ lewo (f_ {X}, f_ {Y} \ prawej)$ } widmowe gęstości mocy funkcji punktowej, obiektu i szumu.

Geometria zapisu

Ragnarsson zaproponował metodę optycznej realizacji filtrów renowacyjnych Wienera za pomocą techniki holograficznej, takiej jak konfiguracja pokazana na rysunku. Wyprowadzenie funkcji konfiguracji jest opisane w następujący sposób.

Załóżmy, że istnieje przezroczystość jako płaszczyzna zapisu i impuls emitowany ze źródła punktowego S. Fala impulsu jest kolimowana przez soczewkę L1 , tworząc rozkład równy odpowiedzi $.$ Następnie dystrybucja jest następnie dzielona na dwie części: ${\ displaystyle h}$

1. Górna część jest najpierw ogniskowana (tj. transformowana Fouriera) przez soczewkę L2 do punktu w przednim planie ogniskowym soczewki L3 , tworząc wirtualne źródło punktowe generujące falę sferyczną. Fala jest następnie kolimowana przez soczewkę $na$ nachyloną postaci płaszczyźnie
2. Dolna $_ frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)}$ L3 rozkład .

Dlatego całkowity rozkład intensywności wynosi

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ mathcal {I}} \ lewo (x_ {2}, y_ {2} \ prawo) & = \ lewo | r_ {o} \ exp \ lewo (-j2 \ pi \ alpha y_{2}\right)+{\frac {1}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}} {\lambda f}}\right)\right|^{2}\\&=r_{o}^{2}+{\frac {1}{\lambda ^{2}f^{2}}}\ left|H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right|^{2}+{\ frac {r_{o}}{\lambda f}}H\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right )\exp \left(j2\pi \alpha y_{2}\right)+{\frac {r_{o}}{\lambda f}}H^{*}\left({\frac {x_{2} }{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left(-j2\pi \alpha y_{2}\right)\end{wyrównane}} }$$

Załóżmy , że $H.$$rozkład$ amplitudy i rozkład faz taki, że $\ psi}$

$${\ Displaystyle H \ lewo ({\ Frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ Frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ prawej) = S \ lewo ({\ frac { x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\exp \left[j\psi \left({\frac {x_{2}} {\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\right],}$$

wtedy możemy przepisać intensywność w następujący sposób:

$${\ Displaystyle I \ lewo (x_ {2}, y_ {2} \ prawo) = r_ {o} ^ {2} + {\ Frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} S ^{2}\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)+{\frac {2r_{o} }{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \left[ 2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\ Prawidłowy].}$$

Zauważ, że dla punktu na początku płaszczyzny filmu ( ${\ Displaystyle (x_ {2}, y_ {2}) = \ mathbf {0}}$ ), zarejestrowana fala z dolnej część powinna być znacznie silniejsza niż ta z górnej części, ponieważ fala przechodząca przez dolną ścieżkę jest skupiona, co prowadzi do zależności ${\ textstyle r_ {0} \ ll {\ frac {1} {\ lambda f}}}$ .

W pracy Ragnarssona metoda ta opiera się na następujących postulatach:

1. $że$ istnieje przezroczystość, której transmitancja amplitudy $impulsową$ do rozmytego systemu
2. Maksymalne przesunięcie fazowe $,$ przez filtr jest znacznie mniejsze niż $Displaystyle$ tak że $e ^ {j \ phi}$ .
3. Przesunięcie fazowe przezroczystości po wybieleniu jest liniowo proporcjonalne do gęstości srebra $wybieleniem$ .
4. Gęstość jest liniowo proporcjonalna do logarytmu ekspozycji
   $${\ Displaystyle I = r_ {o} ^ {2} + {\ Frac {1} {\ lambda ^ {2} f ^ {2}}} S ^ {2}.}$$
5. Średnia ekspozycja $jest$ silniejsza niż zmienna
   $${\ Displaystyle \ Delta I \ lewo ({\ Frac {x_ {2}} {\ lambda f}}, {\ Frac {y_ {2}} {\ lambda f}} \ prawej) = {\ Frac {2r_ { o}}{\lambda f}}S\left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right)\cos \ left[2\pi \alpha y_{2}+\psi \left({\frac {x_{2}}{\lambda f}},{\frac {y_{2}}{\lambda f}}\right )\Prawidłowy].}$$

Dzięki tym postulatom mamy następującą zależność:

$${\ Displaystyle \ Delta t \ propto \ Delta \ phi \ propto \ Delta D \ propto \ Delta (\ log I) \ około {\ Frac {\ Delta I} {I}}.}$$

Ostatecznie otrzymujemy transmitancję amplitudy w postaci filtra Wienera:

$${\ Displaystyle \ Delta t \ propto {\ Frac {S ^ {\ ast}} {r_ {0} ^ {2} \ lambda ^ {2} f ^ {2} + \ lewo \ vert S \ prawo \ vert ^ {2}}}.}$$

Posłowie: Widmo fal płaskich w szerszym kontekście rozkładu funkcjonalnego

Pola elektryczne można przedstawić matematycznie na wiele różnych sposobów. W Huygensa-Fresnela lub Strattona -Chu pole elektryczne jest reprezentowane jako superpozycja źródeł punktowych, z których każde daje początek polu funkcyjnemu Greena . Pole całkowite jest wtedy ważoną sumą wszystkich pól funkcyjnych poszczególnych Greenów. Wydaje się, że dla większości ludzi jest to najbardziej naturalny sposób patrzenia na pole elektryczne – bez wątpienia dlatego, że większość z nas od czasu do czasu rysowała okręgi za pomocą kątomierza i papieru, podobnie jak Thomas Young w swoim klasycznym papier na eksperyment z podwójną szczeliną . Jednak w żadnym wypadku nie jest to jedyny sposób reprezentacji pola elektrycznego, które można również przedstawić jako widmo sinusoidalnie zmieniających się fal płaskich. Ponadto Frits Zernike zaproponował jeszcze inny rozkład funkcjonalny oparty na swoich wielomianach Zernike'a , zdefiniowanych na dysku jednostkowym. Wielomiany Zernike'a trzeciego rzędu (i niższych) odpowiadają normalnym aberracjom soczewek. I jeszcze inny rozkład funkcjonalny można by przeprowadzić w kategoriach funkcji Sinc i funkcji Airy'ego, jak we wzorze interpolacji Whittakera-Shannona oraz twierdzenie Nyquista-Shannona o próbkowaniu . Wszystkie te rozkłady funkcjonalne mają zastosowanie w różnych okolicznościach. Optyk mający dostęp do tych różnych form reprezentacji ma pełniejszy wgląd w naturę tych cudownych pól i ich właściwości. Te różne sposoby patrzenia na pole nie są sprzeczne ani sprzeczne, raczej poprzez badanie ich powiązań często można uzyskać głębszy wgląd w naturę pól falowych.

Dekompozycja funkcjonalna i funkcje własne

Bliźniacze tematy ekspansji funkcji własnych i dekompozycji funkcjonalnej , o których tutaj krótko wspomniano, nie są całkowicie niezależne. Rozszerzenia funkcji własnych do pewnych operatorów liniowych zdefiniowanych w danej dziedzinie często dają policzalnie nieskończony zestaw funkcji ortogonalnych , które będą obejmować tę dziedzinę. W zależności od operatora i wymiarowości (oraz kształtu i warunków brzegowych) jego dziedziny, w zasadzie możliwych jest wiele różnych typów rozkładów funkcjonalnych.

Zobacz też

• Metoda widma kątowego
• Warunek sinusoidalny Abbego
• Algorytm adaptacyjno-addytywny
• Zasada Huygensa-Fresnela
• Funkcja rozproszenia punktów
• Mikroskopia z kontrastem fazowym
• Dyfrakcja Fraunhofera
• Dyfrakcja Fresnela
• Optyka geometryczna
• Przestrzeń Hilberta
• Korelator optyczny
• Optyczna transformata Hartleya
• Synteza pola falowego

• Duffieux, Pierre-Michel (1983). Transformacja Fouriera i jej zastosowania w optyce . Nowy Jork, USA: John Wiley & Sons .
•   Goodman, Józef (2005). Wprowadzenie do optyki Fouriera (wyd. 3). Wydawcy Roberts & Company. ISBN 0-9747077-2-4 . Źródło 2017-10-28 .
•   Hecht, Eugeniusz (1987). Optyka (wyd. 2). Addisona Wesleya . ISBN 0-201-11609-X .
•   Wilson, Raymond (1995). Szeregi Fouriera i techniki transformacji optycznej we współczesnej optyce . John Wiley & Synowie . ISBN 0-471-30357-7 .
•   Scott, Craig (1998). Wprowadzenie do optyki i obrazowania optycznego . John Wiley & Synowie . ISBN 0-7803-3440-X .
•   Scott, Craig (1990). Nowoczesne metody analizy i projektowania anten reflektorowych . Dom Artecha . ISBN 0-89006-419-9 .
•   Scott, Craig (1989). Metoda domeny widmowej w elektromagnetyce . Dom Artecha . ISBN 0-89006-349-4 .
• Wprowadzenie do optyki Fouriera i korelatora 4F

Linki zewnętrzne

•   Ambs, Pierre (2010). „Obliczenia optyczne: 60-letnia przygoda” . Postępy w technologiach optycznych . Hindawi spółka z ograniczoną odpowiedzialnością 2010 : 1–15. doi : 10.1155/2010/372652 . ISSN 1687-6393 .
•   Stratton, JA; Chu, LJ (1939-07-01). „Teoria dyfrakcji fal elektromagnetycznych” (PDF) . Przegląd fizyczny . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 56 (1): 99–107. doi : 10.1103/physrev.56.99 . ISSN 0031-899X .