Analityczne twierdzenie Fredholma

W matematyce analityczne twierdzenie Fredholma jest wynikiem dotyczącym istnienia ograniczonych odwrotności dla rodziny ograniczonych operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta . Jest podstawą dwóch klasycznych i ważnych twierdzeń, alternatywy Fredholma i twierdzenia Hilberta – Schmidta . Wynik został nazwany na cześć szwedzkiego matematyka Erika Ivara Fredholma .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech G ⊆ C będzie dziedziną ( zbiorem otwartym i spójnym ). Niech ( H , ⟨ , ⟩) będzie rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią Hilberta i niech Lin( H ) oznacza przestrzeń ograniczonych operatorów liniowych od H do siebie; niech oznaczę operatora tożsamości . Niech B : G → Lin( H ) będzie odwzorowaniem takim, że

• B jest analityczny względem G w tym sensie, że granica
  $${\ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ do \ lambda _ {0}} {\ Frac {B (\ lambda) -B (\ lambda _ { 0})}{\lambda -\lambda_{0}}}}$$
  istnieje dla wszystkich ₀ λ ∈ G ; I
• operator B ( λ ) jest operatorem zwartym dla każdego λ ∈ G .

Wtedy albo

• ( I - B ( λ )) ^-1 nie istnieje dla żadnego λ ∈ G ; Lub
• ( I − B ( λ )) ⁻¹ istnieje dla każdego λ ∈ G \ S , gdzie S jest dyskretnym podzbiorem G ( tj. S nie ma punktów granicznych w G ). W tym przypadku funkcja przyjmująca λ do ( I - B ( λ )) ^-1 jest analityczna na G \ S i jeśli λ ∈ S , to równanie
  $${\ Displaystyle B (\ lambda) \ psi = \ psi}$$
  ma skończenie wymiarową rodzinę rozwiązań.

•   Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych . Teksty z matematyki stosowanej 13 (wyd. Drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. P. 266. ISBN 0-387-00444-0 . (Twierdzenie 8.92)