Arytmetyka pola

W matematyce arytmetyka pola jest przedmiotem, który bada wzajemne relacje między właściwościami arytmetycznymi a i jej bezwzględną grupą Galois . Jest to przedmiot interdyscyplinarny, ponieważ wykorzystuje narzędzia z algebraicznej teorii liczb , geometrii arytmetycznej , geometrii algebraicznej , teorii modeli , teorii grup skończonych i grup profinite .

Pola ze skończonymi absolutnymi grupami Galois

Niech K będzie ciałem i niech G = Gal( K ) będzie jego bezwzględną grupą Galois. Jeśli K jest algebraicznie domknięte , to G = 1. Jeśli K = R jest liczbami rzeczywistymi, to wtedy

${\ Displaystyle G = \ nazwa operatora {Gal} (\ mathbf {C} / \ mathbf {R}) = \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z}.}$

Tutaj C jest ciałem liczb zespolonych, a Z jest pierścieniem liczb całkowitych. Twierdzenie Artina i Schreiera stwierdza, że ​​(zasadniczo) są to wszystkie możliwości skończonych absolutnych grup Galois.

Twierdzenie Artina-Schreiera. Niech K będzie ciałem, którego bezwzględna grupa Galois G jest skończona. Wtedy albo K jest domknięte rozłącznie i G jest trywialne, albo K jest rzeczywiście domknięte i G = Z /2 Z .

Pola zdefiniowane przez ich bezwzględne grupy Galois

Niektóre grupy profinite występują jako absolutna grupa Galois pól nieizomorficznych. Pierwszym tego przykładem jest

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ mathbf {Z}}} = \ lim _ {\ longleftarrow} \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z}.}$

Ta grupa jest izomorficzna z absolutną grupą Galois dowolnego skończonego pola . Również bezwzględna grupa Galois pola formalnego szeregu Laurenta C (( t )) nad liczbami zespolonymi jest izomorficzna z tą grupą.

Aby uzyskać inny przykład, przedstawiamy poniżej dwa nieizomorficzne ciała, których bezwzględne grupy Galois są wolne (to jest wolna grupa profinite).

• Niech C będzie algebraicznie domkniętym ciałem, a x zmienną. Wtedy Gal( C ( x )) jest wolny od rangi równej liczności C . (Ten wynik jest wynikiem Adriena Douady'ego dla cechy 0 i ma swoje korzenie w twierdzeniu o istnieniu Riemanna . W przypadku pola o dowolnej charakterystyce jest to spowodowane Davidem Harbaterem i Florianem Popem , a później zostało również udowodnione przez Dana Harana i Moshe Jardena ).
• Bezwzględna grupa Galois Gal( Q ) (gdzie Q to liczby wymierne) jest zwarta, a zatem wyposażona w znormalizowaną miarę Haara . Dla automorfizmu Galois s (czyli elementu w Gal( Q )) niech N _s będzie maksymalnym rozszerzeniem Galois Q , które s ustala. Wówczas z prawdopodobieństwem 1 bezwzględna grupa Galois Gal( N _s ) jest wolna od przeliczalnego rzędu. (Ten wynik zawdzięczamy Moshe Jardenowi .)

W przeciwieństwie do powyższych przykładów, jeśli rozpatrywane pola są skończenie generowane na Q , Florian Pop udowadnia, że ​​izomorfizm absolutnych grup Galois daje izomorfizm pól:

Twierdzenie. Niech K , L będą skończenie generowanymi polami nad Q i niech a : Gal( K ) → Gal( L ) będzie izomorfizmem. Wtedy istnieje unikalny izomorfizm domknięć algebraicznych, b : K _alg → L _alg , który indukuje a .

To uogólnia wcześniejszą pracę Jürgena Neukircha i Koji Uchidy na temat pól liczbowych.

Pseudo algebraicznie domknięte ciała

Główny artykuł: Pseudo algebraicznie domknięte pole

Pseudoalgebraicznie domknięte ciało ( w skrócie PAC) K jest ciałem spełniającym następującą własność geometryczną. Każda absolutnie nieredukowalna rozmaitość algebraiczna V zdefiniowana nad K ma K - punkt wymierny .

Nad polami PAC istnieje ścisły związek między arytmetycznymi właściwościami pola a teoretycznymi właściwościami grup jego bezwzględnej grupy Galois. Ładne twierdzenie w tym duchu łączy pola Hilberta z polami wolnymi od ω ( K jest wolne od ω, jeśli jakikolwiek problem osadzania dla K jest właściwie rozwiązywalny).

Twierdzenie. Niech K będzie polem PAC. Wtedy K jest Hilbertowskie wtedy i tylko wtedy, gdy K jest wolne od ω.

Peter Roquette udowodnił kierunek tego twierdzenia od prawej do lewej i wysunął hipotezę przeciwną. Michael Fried i Helmut Völklein zastosowali topologię algebraiczną i analizę złożoną, aby ustalić hipotezę Roquette'a w charakterystycznym zera. Później Pop udowodnił twierdzenie o dowolnej charakterystyce, opracowując „sztywne łatanie”.

•    Smażone, Michael D .; Jarden, Mosze (2004). Arytmetyka pola . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Tom. 11 (wyd. 2 poprawione i powiększone). Springer-Verlag . ISBN 3-540-22811-X . Zbl 1055.12003 .
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Aleksander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologia pól liczbowych , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , tom. 323, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4 , MR 1737196 , Zbl 0948.11001