Deformacja izomonodromiczna

W matematyce równania rządzące deformacją izomonodromiczną meromorficznych układów liniowych równań różniczkowych zwyczajnych są w dość precyzyjnym sensie najbardziej podstawowymi dokładnymi nieliniowymi równaniami różniczkowymi. W rezultacie ich rozwiązania i właściwości leżą u podstaw dziedziny dokładnej nieliniowości i systemów całkowalnych .

Deformacje izomonodromiczne zostały po raz pierwszy zbadane przez Richarda Fuchsa , przy pionierskich pracach Lazarusa Fuchsa , Paula Painlevé , René Garniera i Ludwiga Schlesingera . Zainspirowani wynikami mechaniki statystycznej , przełomowy wkład w teorię wnieśli Michio Jimbo , Tetsuji Miwa i Kimio Ueno, którzy badali przypadki dotyczące nieregularnych osobliwości.

Układy fuchsowskie i równania Schlesingera

Rozważ Fuchsowski system liniowych równań różniczkowych

\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dx}} = Ay = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {

gdzie zmienna niezależna x przyjmuje wartości w zespolonej prostej rzutowej P ¹ ( C ), rozwiązanie y przyjmuje wartości w C ⁿ , a A _i są stałymi macierzami n × n . Rozwiązania tego równania mają wzrost wielomianowy przy x = λ _i . Umieszczając n niezależnych rozwiązań kolumnowych w podstawowej macierzy ${\ Displaystyle Y = (y_ {1}, ..., y_ {n})}$ następnie ${\ Displaystyle {\ Frac {dY} {dx}} = AY$ i można uznać, że przyjmuje wartości w GL $)$ n , do . Dla uproszczenia załóżmy, że nie ma kolejnego bieguna w nieskończoności, co jest równoznaczne z warunkiem, że

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} A_ {i} = 0.}

Dane dotyczące monodromii

Teraz ustal punkt bazowy b na kuli Riemanna z dala od biegunów. Analityczna kontynuacja $ja$ rozwiązania wokół dowolnego bieguna λ $iz$ _powrotem do punktu bazowego nowe rozwiązanie zdefiniowane w . Nowe i stare rozwiązania są połączone macierzą monodromii M i _w następujący sposób:

{\ Displaystyle Y_ {2} = Y_ {1} M_ {i}.}

Mamy zatem homomorfizm Riemanna-Hilberta od podstawowej grupy przebitej kuli do reprezentacji monodromii:

{\ Displaystyle \ pi _ {1} \ lewo (\ mathbf {P} ^ {1} (\ mathbf {C}) - \ {\ lambda _ {1}, \ kropki, \ lambda _ {n} \} \ w prawo)\do GL(n,\mathbf {C}).}

Zmiana punktu bazowego skutkuje jedynie (jednoczesną) koniugacją wszystkich macierzy monodromicznych. Macierze monodromiczne koniugacja modulo symultaniczna definiują dane monodromiczne systemu Fuchsa.

Dwudziesty pierwszy problem Hilberta

Czy teraz, mając dane dotyczące monodromii, można znaleźć system Fuchsa, który wykazuje tę monodromię? Jest to jedna z postaci dwudziestego pierwszego problemu Hilberta . Nie rozróżnia się współrzędnych x i ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ , które są powiązane transformacjami Möbiusa , a także nie rozróżnia się równoważnych mierników systemów fuchsowskich - oznacza to, że A i

{\ Displaystyle g ^ {- 1} (x) Ag (x) -g ^ {- 1} (x ){\frac {dg(x)}{dx}}}

są uważane za równoważne dla dowolnej holomorficznej transformacji cechowania g ( x ). (Najbardziej naturalne jest zatem traktowanie systemu Fuchsa geometrycznie, jako połączenia z prostymi biegunami na trywialnej wiązce wektorów rangi n nad sferą Riemanna).

W przypadku ogólnych danych monodromicznych odpowiedź na dwudziesty pierwszy problem Hilberta brzmi „tak” – jak po raz pierwszy udowodnił Josip Plemelj . Jednak Plemelj zaniedbał pewne zdegenerowane przypadki, a Andrei Bolibrukh wykazał w 1989 roku, że są przypadki, w których odpowiedź brzmi „nie”. Tutaj ogólny przypadek jest całkowicie skupiony.

Równania Schlesingera

Istnieje (ogólnie) wiele systemów Fuchsa z tymi samymi danymi monodromicznymi. Tak więc, biorąc pod uwagę dowolny taki system Fuchsa z określonymi danymi monodromii, można na nim wykonać deformacje izomonodromiczne . Prowadzi to zatem do badania rodzin systemów fuchsowskich i Ai _{pozwala na zależność} macierzy od położenia biegunów.

W 1912 roku (po wcześniejszych błędnych próbach) Ludwig Schlesinger udowodnił, że generalnie deformacje, które zachowują dane monodromii (ogólnego) układu Fuchsa, są regulowane przez całkowalny holonomiczny układ równań różniczkowych cząstkowych , które teraz noszą jego imię:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe A_ {i}} {\ częściowe \ lambda _ {j}}} & = {\ frac {[A_ {i}, A_ {j}]} { \lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\częściowe A_{i}}{\częściowe \lambda _{i}}}&=- \sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{wyrównane}}}

Są to zatem równania izomonodromii dla (ogólnych) układów Fuchsa. Naturalną interpretacją tych równań jest płaskość naturalnego połączenia na wiązce wektorów w „przestrzeni parametrów deformacji”, która składa się z możliwych położeń biegunów. W przypadku nieogólnych deformacji izomonodromicznych nadal będzie istniało całkowalne równanie izomonodromiczne, ale nie będzie to już równanie Schlesingera.

$A$ do przypadku, gdy ja _{przyjmuje wartości} Liego , Garnier uzyskuje się systemy . Jeśli ktoś specjalizuje się dalej w przypadku, gdy są tylko cztery bieguny, to równania Schlesingera/Garniera można sprowadzić do słynnego szóstego równania Painlevégo .

Nieregularne osobliwości

Zmotywowani pojawieniem się transcendentów Painlevégo w funkcjach korelacji w teorii gazów Bosego , Michio Jimbo, Tetsuji Miwa i Kimio Ueno rozszerzyli pojęcie deformacji izomonodromicznej na przypadek nieregularnych osobliwości o biegunach dowolnego rzędu, przy następującym założeniu: współczynnik wiodący na każdym biegunie jest ogólna, tj. jest to macierz diagonalizowalna z prostym widmem.

Badany system liniowy ma teraz formę

{\ Displaystyle {\ Frac {dY} {dx}} = AY =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{r_{i}+1}{\frac {A_{j}^{(i)}}{(x-\ lambda _{i})^{j}}}Y,}

z n biegunami, z biegunem w λ _ja rzędu ${\ Displaystyle (r_ {i} + 1)}$ . ZA $)}}$ są stałymi macierzami (i ${\ Displaystyle A_ {r_ {i + 1}} ^ {(i) }}$ jest ogólny dla ${\ Displaystyle i = 1, \ kropka, n}$ ).

Rozszerzone dane monodromiczne

Oprócz reprezentacji monodromii opisanej w układzie Fuchsa, wymagane są deformacje nieregularnych układów liniowych równań różniczkowych zwyczajnych, aby zachować rozszerzone dane monodromii. Z grubsza mówiąc, dane monodromiczne są obecnie uważane za dane, które łączą rozwiązania kanoniczne w pobliżu osobliwości. Jeśli weźmie się ${\ Displaystyle x_ {i} = x- \ lambda _ {i}} jako współrzędną lokalną$ w pobliżu bieguna λ _ja rzędu ${\ displaystyle r_ {i} + 1}$ , można następnie rozwiązać wyraz po wyrazie dla holomorficznej transformacji cechowania g takiej, że lokalnie system wygląda jak

{\ Displaystyle {\ Frac {d (g_ {i} ^ {-1} Z_ {i})} {dx_ {i}}} = \ lewo (\ suma _ {j = 1} ^ {r_ {i}} {\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i} }}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})}

gdzie ${\$ Displaystyle $}}$ ( i ) macierzami Gdyby to było poprawne, byłoby to niezwykle przydatne, ponieważ wtedy (przynajmniej lokalnie) rozdzieliliśmy system na n skalarnych równań różniczkowych, które można łatwo rozwiązać, aby znaleźć to (lokalnie):

{\ Displaystyle Z_ {i} = g_ {i} \ exp \ lewo (M ^ {(i)} \ log (x_ {i}) + \ suma _ {j = 1} ^ {r_ {i}} {\ frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\prawo).}

Jednak to nie działa - ponieważ szereg potęgowy rozwiązany wyraz po wyrazie dla g na ogół nie będzie zbieżny.

Wielkim spostrzeżeniem Jimbo, Miwy i Ueno było uświadomienie sobie, że mimo to podejście to zapewnia kanoniczne rozwiązania w pobliżu osobliwości, a zatem może być z zyskiem wykorzystane do zdefiniowania rozszerzonych danych monodromicznych. Dzieje się tak z powodu twierdzenia George'a Birkhoffa , które stwierdza, że dla danego szeregu formalnego istnieje jedyna zbieżna funkcja G _i taka, że w każdym dostatecznie dużym sektorze wokół bieguna G _i jest asymptotyczna do g _i , oraz

{\ Displaystyle Y = G_ {i} \ exp \ lewo (M ^ {(i)} \ log (x_ {i}) + \ suma _ {j = 1} ^ {r_ {i}} {\ Frac {T_ {j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\prawo).}

jest prawdziwym rozwiązaniem równania różniczkowego. Rozwiązanie kanoniczne pojawia się zatem w każdym takim sektorze w pobliżu każdego bieguna. Rozszerzone dane monodromiczne składają się z

dane z reprezentacji monodromicznej jak dla przypadku Fuchsa;
Macierze Stokesa, które łączą rozwiązania kanoniczne między sąsiednimi sektorami na tym samym biegunie;
macierze połączeń, które łączą rozwiązania kanoniczne między sektorami na różnych biegunach.

Deformacje izomonodromiczne Jimbo--Miwa--Ueno

Tak jak poprzednio, rozważa się teraz rodziny układów liniowych równań różniczkowych, wszystkie z tą samą (ogólną) strukturą osobliwości. Dlatego pozwala się, aby macierze zależały od parametrów. ZA ${j} ^ {(i)}}$ Można zmieniać położenie biegunów λ _{ja , ale teraz dodatkowo zmienia} ${\ Displaystyle T_ {j} ^ {(i)}}$ również wpisy macierzy ukośnych, które pojawiają się w rozwiązanie kanoniczne w pobliżu każdego bieguna.

Jimbo, Miwa i Ueno udowodnili, że jeśli zdefiniujemy jedną formę na „przestrzeni parametrów deformacji” przez

\ Displaystyle \ Omega = \ suma _ {i = 1} ^ { n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_ {i}^{-1}\prawo)}

(gdzie D oznacza zewnętrzne zróżnicowanie w odniesieniu do składników tylko ${\ Displaystyle T_ {j} ^ {(i)}}$

wtedy deformacje meromorficznego układu liniowego określonego przez A są izomonodromiczne wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle dA + [\ Omega, A] + {\ Frac {d \ Omega} {dx}} = 0.}

To są równania izomondromii Jimbo — Miwa — Ueno . Tak jak poprzednio, równania te można interpretować jako płaskość połączenia naturalnego w przestrzeni parametrów deformacji.

Nieruchomości

Równania izomonodromii mają wiele właściwości, które uzasadniają ich status nieliniowych funkcji specjalnych .

własność Painlevégo

Jest to być może najważniejsza właściwość rozwiązania równań deformacji izomonodromicznej. Oznacza to, że wszystkie istotne osobliwości rozwiązań są stałe, chociaż pozycje biegunów mogą się zmieniać. Udowodnił to Bernard Malgrange w przypadku systemów fuchsowskich i Tetsuji Miwa w układzie ogólnym.

Załóżmy, że mamy podane równanie różniczkowe cząstkowe (lub ich układ). Wtedy „posiadanie redukcji do równania izomonodromii” jest mniej więcej równoważne właściwości Painlevégo i dlatego może być użyte jako test całkowalności .

Transcendencja

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązań równań izomonodromii nie można wyrazić za pomocą prostszych funkcji, takich jak rozwiązania liniowych równań różniczkowych. Jednak w przypadku określonych (dokładniej redukowalnych) wyborów rozszerzonych danych monodromii rozwiązania można wyrazić w kategoriach takich funkcji (lub przynajmniej w kategoriach „prostszych” transcendentów izomondromii). Badanie dokładnie tego, co oznacza ta transcendencja, zostało w dużej mierze przeprowadzone dzięki wynalezieniu przez Hiroshiego Umemurę i Bernarda Malgrange'a „ teorii różniczkowej nieliniowości Galois ” .

Istnieją również bardzo specjalne rozwiązania, które są algebraiczne . Badanie takich rozwiązań algebraicznych polega na badaniu topologii przestrzeni parametrów deformacji (w szczególności jej grupy klas odwzorowania ); w przypadku prostych tyczek jest to równoznaczne z badaniem działania grup warkoczy . W przypadku szczególnie ważnego przypadku szóstego równania Painlevégo znaczący wkład wnieśli Boris Dubrovin i Marta Mazzocco, który został niedawno rozszerzony na większe klasy danych monodromicznych przez Philipa Boalcha.

Racjonalne rozwiązania są często kojarzone ze specjalnymi wielomianami. Czasami, jak w przypadku szóstego równania Painlevégo, są to dobrze znane wielomiany ortogonalne , ale pojawiają się nowe klasy wielomianów o niezwykle ciekawym rozkładzie zer i właściwościach przeplotu. Badanie takich wielomianów zostało w dużej mierze przeprowadzone przez Petera Clarksona i współpracowników.

Struktura symplektyczna

Równania izomonodromii można przepisać za pomocą sformułowań hamiltonowskich . Ten punkt widzenia był szeroko prezentowany przez Kazuo Okamoto w serii artykułów na temat równań Painlevégo w latach 80.

Można je również traktować jako naturalne rozszerzenie struktury symplektycznej Atiyaha-Botta na przestrzeniach połączeń płaskich na powierzchniach Riemanna do świata geometrii meromorficznej - perspektywa realizowana przez Philipa Boalcha. Rzeczywiście, jeśli ustali się pozycje biegunów, można nawet uzyskać kompletne rozmaitości hiperkählera ; wynik udowodniony przez Oliviera Biquarda i Philipa Boalcha.

Istnieje inny opis w kategoriach map momentów do (centralnych rozszerzeń) algebr pętli - punkt widzenia wprowadzony przez Johna Harnada i rozszerzony na przypadek ogólnej struktury osobliwości przez Nicka Woodhouse'a . Ta ostatnia perspektywa jest ściśle związana z ciekawą transformatą Laplace'a między równaniami izomonodromii o różnej strukturze biegunów i randze dla leżących u ich podstaw równań.

Struktura twistora

Równania izomonodromii powstają jako (ogólne) pełnowymiarowe redukcje (uogólnionych) anty-samodualnych równań Yanga-Millsa . Dzięki transformacji Penrose'a-Warda można je zatem interpretować w kategoriach holomorficznych wiązek wektorowych na złożonych rozmaitościach zwanych przestrzeniami twistorowymi . Pozwala to na wykorzystanie potężnych technik geometrii algebraicznej do badania właściwości transcendentów. Podejście to stosowali Nigel Hitchin , Lionel Mason i Nick Woodhouse .

Połączenia Gaussa-Manina

Biorąc pod uwagę dane związane z rodzinami powierzchni Riemanna rozgałęzionych na osobliwościach, można uznać równania izomonodromii za niejednorodne połączenia Gaussa – Manina . Prowadzi to do alternatywnych opisów równań izomonodromii w kategoriach funkcji abelowych - podejście znane Fuchsowi i Painlevé, ale utracone aż do ponownego odkrycia przez Yuri Manina w 1996 roku.

asymptotyczne

Poszczególne transcendenty można scharakteryzować na podstawie ich asymptotycznego zachowania. Badanie takiego zachowania sięga początków izomonodromii, w pracy Pierre'a Boutroux i innych.

Aplikacje

Ich uniwersalność jako najprostszych prawdziwie nieliniowych układów całkowalnych oznacza, że równania izomonodromiczne mają niezwykle zróżnicowany zakres zastosowań. Być może największe znaczenie praktyczne ma dziedzina teorii macierzy losowych . Tutaj właściwości statystyczne wartości własnych dużych macierzy losowych są opisywane przez poszczególne transcendenty.

Początkowym impulsem do odrodzenia zainteresowania izomonodromią w latach 70. było pojawienie się transcendentów w funkcjach korelacji w gazach Bosego .

Zapewniają funkcje generujące dla przestrzeni modułowych dwuwymiarowych topologicznych kwantowych teorii pola i tym samym są przydatne w badaniu kohomologii kwantowej i niezmienników Gromowa-Wittena .

Równania izomonodromii „wyższego rzędu” zostały ostatnio użyte do wyjaśnienia mechanizmu i właściwości uniwersalności powstawania wstrząsów dla bezdyspersyjnej granicy równania Kortewega – de Vriesa .

Są naturalnymi redukcjami równania Ernsta i tym samym dostarczają rozwiązań równań pola Einsteina ogólnej teorii względności; dają również początek innym (całkiem odrębnym) rozwiązaniom równań Einsteina pod względem funkcji theta .

Pojawiły się one w ostatnich pracach nad symetrią lustrzaną - zarówno w geometrycznym programie Langlandsa , jak iw pracach nad przestrzeniami modułów warunków stabilności na kategoriach pochodnych .

Uogólnienia

Równania izomonodromii zostały uogólnione dla połączeń meromorficznych na ogólnej powierzchni Riemanna .

Można je również łatwo dostosować do przyjmowania wartości w dowolnej grupie Liego , zastępując macierze diagonalne torusem maksymalnym i innymi podobnymi modyfikacjami.

Istnieje rozwijająca się dziedzina badań nad dyskretnymi wersjami równań izomonodromii.

Źródła

Jego, Aleksander R.; Nowokszenow, Wiktor Ju. (1986), Metoda deformacji izomonodromicznej w teorii równań Painlevégo , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1191, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16483-8 , MR 0851569
Sabbah, Claude (2007), deformacje izomonodromiczne i rozmaitości Frobeniusa , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-053-7 , ISBN 978-2-7598-0047-6 MR 1933784