Efekt Aharonova-Bohma

Jakir Aharonov

Davida Bohma

Aharonova -Bohma , czasami nazywany efektem Ehrenberga-Sidaya-Aharonova-Bohma , jest zjawiskiem mechaniki kwantowej , w którym na naładowaną elektrycznie cząstkę oddziałuje potencjał elektromagnetyczny (φ, A ), pomimo ograniczenia do regionu, w którym oba pole magnetyczne B i pole elektryczne E są równe zeru. Podstawowym mechanizmem jest sprzężenie potencjału elektromagnetycznego ze złożoną fazą funkcji falowej naładowanej cząstki , a efekt Aharonova-Bohma jest odpowiednio zilustrowany eksperymentami interferencyjnymi .

Najczęściej opisywany przypadek, nazywany czasem efektem solenoidu Aharonova-Bohma , ma miejsce, gdy funkcja falowa naładowanej cząstki przechodzącej wokół długiego solenoidu ulega przesunięciu fazowemu w wyniku zamkniętego pola magnetycznego, mimo że pole magnetyczne jest pomijalne w obszar, przez który przechodzi cząstka, a funkcja falowa cząstki jest pomijalna wewnątrz solenoidu. To przesunięcie fazowe zaobserwowano eksperymentalnie. Istnieją również magnetyczne efekty Aharonova-Bohma na związane energie i rozpraszanie przekrojów poprzecznych, ale przypadki te nie zostały przetestowane eksperymentalnie. Przewidywano również zjawisko elektryczne Aharonova-Bohma, w którym na naładowaną cząstkę oddziałują obszary o różnych potencjałach elektrycznych , ale zerowym polu elektrycznym, ale nie ma to jeszcze potwierdzenia eksperymentalnego. Zaproponowano oddzielny „molekularny” efekt Aharonova-Bohma dla ruchu jądrowego w wielokrotnie połączonych regionach, ale argumentowano, że jest to inny rodzaj fazy geometrycznej, ponieważ nie jest „ani nielokalny, ani topologiczny”, zależny tylko od lokalnych wielkości wzdłuż jądrowego ścieżka.

Werner Ehrenberg (1901–1975) i Raymond E. Siday po raz pierwszy przewidzieli ten efekt w 1949 r. Yakir Aharonov i David Bohm opublikowali swoją analizę w 1959 r. Po opublikowaniu artykułu z 1959 r. Bohm został poinformowany o pracy Ehrenberga i Sidaya, która została uznana i przypisane w kolejnym artykule Bohma i Aharonova z 1961 roku. Efekt został potwierdzony eksperymentalnie, z bardzo dużym błędem, jeszcze za życia Bohma. Zanim błąd spadł do rozsądnej wartości, Bohm już nie żył.

Znaczenie

W XVIII i XIX wieku fizyka była zdominowana przez dynamikę Newtona, z naciskiem na siły . Zjawiska elektromagnetyczne zostały wyjaśnione w serii eksperymentów polegających na pomiarze sił między ładunkami, prądami i magnesami w różnych konfiguracjach. W końcu powstał opis, zgodnie z którym ładunki, prądy i magnesy działały jako lokalne źródła rozchodzących się pól sił, które następnie działały lokalnie na inne ładunki i prądy zgodnie z prawem siły Lorentza . W tym schemacie, ponieważ jedną z obserwowanych właściwości pola elektrycznego było to, że było ono bezrotacyjne , a jedną z obserwowanych właściwości pola magnetycznego była jego nierozbieżność , możliwe było wyrażenie pola elektrostatycznego jako gradientu skalarnego potencjału elektrostatycznego Coulomba , który jest matematycznie analogiczny do klasycznego potencjału grawitacyjnego) i stacjonarnego pola magnetycznego jako zwijanie się potencjału wektorowego (wtedy nowa koncepcja – idea potencjału skalarnego była już dobrze akceptowana przez analogię z Potencjał grawitacyjny). Język potencjałów został płynnie uogólniony do przypadku w pełni dynamicznego, ale ponieważ wszystkie efekty fizyczne można było opisać za pomocą pól będących pochodnymi potencjałów, potencjały (w przeciwieństwie do pól) nie były jednoznacznie określone przez efekty fizyczne: potencjały były definiowane tylko do dowolnego addytywnego stałego potencjału elektrostatycznego i nierotacyjnego stacjonarnego potencjału wektora magnetycznego.

Efekt Aharonova-Bohma jest ważny koncepcyjnie, ponieważ dotyczy trzech kwestii widocznych w przekształceniu klasycznej teorii elektromagnetycznej ( Maxwella ) w teorię cechowania , którą przed pojawieniem się mechaniki kwantowej można było argumentować jako matematyczne przeformułowanie bez fizycznego konsekwencje. Eksperymenty myślowe Aharonova-Bohma i ich eksperymentalna realizacja sugerują, że problemy nie były tylko filozoficzne.

Te trzy kwestie to:

1. czy potencjały są „fizyczne”, czy tylko wygodne narzędzie do obliczania pól siłowych;
2. czy zasady działania są fundamentalne;
3. zasada lokalności .

Z takich powodów efekt Aharonova-Bohma został wybrany przez magazyn New Scientist jako jeden z „siedmiu cudów świata kwantowego”.

Potencjały a pola

Ogólnie uważa się, że efekt Aharonova-Bohma ilustruje fizyczność potencjałów elektromagnetycznych Φ i A w mechanice kwantowej. Klasycznie można było argumentować, że tylko pola elektromagnetyczne są fizyczne, podczas gdy potencjały elektromagnetyczne są konstrukcjami czysto matematycznymi, które ze względu na swobodę cechowania nie są nawet unikalne dla danego pola elektromagnetycznego.

Jednak Vaidman zakwestionował tę interpretację, pokazując, że efekt Aharonova-Bohma można wyjaśnić bez użycia potencjałów, o ile podda się pełnej obróbce kwantowo-mechanicznej ładunki źródłowe, które wytwarzają pole elektromagnetyczne. Zgodnie z tym poglądem potencjał mechaniki kwantowej jest tak samo fizyczny (lub niefizyczny), jak był klasyczny. Aharonov, Cohen i Rohrlich odpowiedzieli, że efekt może wynikać z lokalnego potencjału cechowania lub z powodu nielokalnych pól niezmiennych cechowania.

Dwa artykuły opublikowane w czasopiśmie Physical Review A w 2017 r. zademonstrowały kwantowo-mechaniczne rozwiązanie dla systemu. Ich analiza pokazuje, że przesunięcie fazowe można postrzegać jako generowane przez potencjał wektorowy solenoidu działający na elektron lub potencjał wektora elektronu działający na solenoid lub prądy elektronu i solenoidu działające na skwantowany potencjał wektorowy.

Akcja globalna kontra siły lokalne

Podobnie efekt Aharonova-Bohma ilustruje, że Lagrange'owskie podejście do dynamiki , oparte na energiach , nie jest tylko pomocą obliczeniową dla podejścia Newtona , opartego na siłach . W ten sposób efekt Aharonova-Bohma potwierdza pogląd, że siły są niepełnym sposobem formułowania fizyki i zamiast tego należy użyć energii potencjalnych. W rzeczywistości Richard Feynman skarżył się, że uczono go elektromagnetyzmu z perspektywy pól elektromagnetycznych, i żałował, że w późniejszym życiu nie nauczono go myśleć w kategoriach potencjału elektromagnetycznego, ponieważ byłoby to bardziej fundamentalne. W poglądzie Feynmana na dynamikę z całką po trajektorii pole potencjalne bezpośrednio zmienia fazę funkcji falowej elektronu i to właśnie te zmiany fazy prowadzą do mierzalnych wielkości.

Lokalność oddziaływań elektromagnetycznych

Efekt Aharonova-Bohma pokazuje, że lokalne pola E i B nie zawierają pełnej informacji o polu elektromagnetycznym, a zamiast tego należy zastosować czteropotencjał elektromagnetyczny ( Φ , A ). Zgodnie z twierdzeniem Stokesa wielkość efektu Aharonova-Bohma można obliczyć za pomocą samych pól elektromagnetycznych lub samego czteropotencjału. Ale gdy używamy tylko pól elektromagnetycznych, efekt zależy od wartości pola w obszarze, z którego wykluczona jest badana cząstka. W przeciwieństwie do tego, gdy używasz tylko czteropotencjału, efekt zależy tylko od potencjału w obszarze, w którym cząsteczka testowa jest dozwolona. Dlatego trzeba albo porzucić zasadę lokalności , do czego większość fizyków podchodzi niechętnie, albo zaakceptować fakt, że czteropotencjał elektromagnetyczny oferuje pełniejszy opis elektromagnetyzmu niż pola elektryczne i magnetyczne. Z drugiej strony efekt Aharonova-Bohma jest zasadniczo mechaniką kwantową; dobrze wiadomo, że mechanika kwantowa obejmuje efekty nielokalne (choć nadal uniemożliwia komunikację nadświetlną), a Vaidman argumentował, że jest to po prostu nielokalny efekt kwantowy w innej formie.

W elektromagnetyzmie klasycznym oba opisy były równoważne. Jednak po dodaniu teorii kwantowej potencjały elektromagnetyczne Φ i A są postrzegane jako bardziej fundamentalne. Mimo to wszystkie obserwowalne efekty dają się wyrazić w kategoriach pól elektromagnetycznych E i B . Jest to interesujące, ponieważ chociaż można obliczyć pole elektromagnetyczne z czteropotencjału, ze względu na swobodę cechowania odwrotność nie jest prawdziwa.

Magnetyczny efekt solenoidu

Magnetyczny efekt Aharonova-Bohma można postrzegać jako wynik wymogu, aby fizyka kwantowa była niezmienna w odniesieniu do wyboru miernika dla potencjału elektromagnetycznego , którego częścią jest potencjał wektora magnetycznego . ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ .

$po$$w$ , że cząstka z ładunkiem elektrycznym $poruszająca$$displaystyle \ mathbf {A}}$ jakiejś ścieżce regionie o zerowym $polu$ magnetycznym , ale niezerowym (przez ${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {0} = \ nabla \ razy \ mathbf {A}})$ , uzyskuje przesunięcie fazowe ${\ Displaystyle \varphi }$ , podane w jednostkach SI przez

${\ Displaystyle \ varphi = {\ Frac {q} {\ hbar}} \ int _ {P} \ mathbf {A} \ cdot d \ mathbf {x},}$

$\ Phi _ {B}}$ końcowych, ale poruszające się po dwóch różnych trasach, uzyskują różnicę faz $displaystyle$ przez strumień magnetyczny . $Stokesa$ obszar między ścieżkami (za pomocą i ) podane

${\ Displaystyle \ Delta \ varphi = {\ Frac {q \ Phi _ {B}} {\ hbar}}.}$

Schemat eksperymentu z podwójną szczeliną, w którym można zaobserwować efekt Aharonova – Bohma: elektrony przechodzą przez dwie szczeliny, zakłócając ekran obserwacyjny, z przesunięciem wzoru interferencji, gdy zmienia się pole magnetyczne B we wąsie . Kierunek B jest skierowany na zewnątrz figury. Strzałka pokazuje kierunek pola A.

W mechanice kwantowej ta sama cząstka może przemieszczać się między dwoma punktami różnymi drogami . Dlatego tę różnicę faz można zaobserwować, umieszczając solenoid między szczelinami w eksperymencie z podwójną szczeliną (lub równoważnym). Idealny solenoid (tj. $,$ długi i o idealnie równomiernym rozkładzie prądu) otacza pole magnetyczne ale nie wytwarza żadnego pola magnetycznego poza swoim cylindrem, a zatem naładowana cząstka (np. elektron ) przechodzący na zewnątrz nie doświadcza pola magnetycznego ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ . Istnieje jednak potencjał wektorowy (wolny od zwijania się) $z$ solenoidem zamkniętym strumieniem, więc względna faza cząstek przechodzących przez jedną lub drugą szczelinę jest zmieniana w zależności od tego, czy solenoid prąd jest włączony lub wyłączony. Odpowiada to obserwowalnemu przesunięciu prążków interferencyjnych na płaszczyźnie obserwacji.

Ten sam efekt fazowy jest odpowiedzialny za wymaganie strumienia skwantowanego w pętlach nadprzewodzących . Ta kwantyzacja występuje, ponieważ funkcja fali nadprzewodzącej musi mieć wartość jednolitą: jej różnica faz $varphi$ \ Displaystyle ${\ displaystyle q = 2e}$$}$ dla par elektronów Coopera ), a zatem strumień musi być wielokrotnością ${\ displaystyle h/2e}$ . Kwant strumienia nadprzewodzącego został faktycznie przewidziany przed Aharonovem i Bohmem przez F. Londona w 1948 r. przy użyciu modelu fenomenologicznego.

Pierwsze rzekome potwierdzenie eksperymentalne zostało potwierdzone przez Roberta G. Chambersa w 1960 r. W interferometrze elektronowym z polem magnetycznym wytwarzanym przez cienki żelazny wąs, a inne wczesne prace podsumowano w Olariu i Popèscu (1984). Jednak późniejsi autorzy zakwestionowali ważność kilku z tych wczesnych wyników, ponieważ elektrony mogły nie być całkowicie osłonięte przed polami magnetycznymi. Wczesny eksperyment, w którym zaobserwowano jednoznaczny efekt Aharonova-Bohma poprzez całkowite wykluczenie pola magnetycznego ze ścieżki elektronu (za pomocą warstwy nadprzewodzącej ) , przeprowadzili Tonomura i in. w 1986. Zakres i zastosowanie efektu wciąż się rozszerza. Webba i in. (1985) zademonstrowali oscylacje Aharonova – Bohma w zwykłych, nieprzewodzących pierścieniach metalowych; omówienie patrz Schwarzschild (1986) oraz Imry i Webb (1989). Bachtold i in. (1999) wykryli efekt w nanorurkach węglowych; omówienie patrz Kong i in. (2004).

Monopole i struny Diraca

Magnetyczny efekt Aharonova-Bohma jest również ściśle powiązany z argumentem Diraca , że ​​​​istnienie monopolu magnetycznego można uwzględnić za pomocą istniejących równań Maxwella bez źródła magnetycznego , jeśli skwantyzuje się zarówno ładunki elektryczne, jak i magnetyczne.

Monopol magnetyczny implikuje matematyczną osobliwość potencjału wektorowego, który można wyrazić jako ciąg Diraca o nieskończenie małej średnicy, który zawiera równowartość całego strumienia 4π g z „ładunku” monopolu g . Struna Diraca zaczyna się i kończy na monopolu magnetycznym. Tak więc, zakładając brak efektu rozpraszania w nieskończonym zakresie przez ten arbitralny wybór osobliwości, wymóg jednowartościowych funkcji falowych (jak powyżej) wymaga kwantyzacji ładunku. Oznacza to, że ${\ Displaystyle 2 {\ Frac {q_ {\ tekst {e}} q _ {\ tekst {m}}} {\ hbar c}}} musi być liczbą całkowitą ($ w jednostkach cgs ) dla dowolnego ładunku elektrycznego q _e i ładunku magnetycznego q _m .

Podobnie jak potencjał elektromagnetyczny A, struna Diraca nie jest niezmienna względem cechowania (porusza się ze stałymi punktami końcowymi w ramach transformacji cechowania), a zatem nie jest również bezpośrednio mierzalna.

Efekt elektryczny

Tak jak faza funkcji falowej zależy od potencjału wektora magnetycznego, zależy ona również od skalarnego potencjału elektrycznego. Konstruując sytuację, w której potencjał elektrostatyczny zmienia się dla dwóch ścieżek cząstki, przez obszary zerowego pola elektrycznego, przewidziano obserwowalne zjawisko interferencji Aharonova – Bohma z przesunięcia fazowego; znowu brak pola elektrycznego oznacza, że ​​klasycznie nie byłoby żadnego efektu.

Z ${\ Displaystyle e ^ {-iEt / \ hbar}}$ Schrödingera faza funkcji własnej z energią E przebiega jako . Energia będzie jednak zależała od potencjału elektrostatycznego V cząstki o ładunku q . W szczególności dla obszaru o stałym potencjale V (pole zerowe) energia potencjalna elektryczna qV jest po prostu dodawana do E , co powoduje przesunięcie fazowe:

${\ Displaystyle \ Delta \ fi = - {\ Frac {qVt} {\ hbar}}}$

gdzie t to czas spędzony w potencjale.

Wstępna teoretyczna propozycja tego efektu sugerowała eksperyment, w którym ładunki przechodzą przez przewodzące cylindry wzdłuż dwóch ścieżek, które chronią cząstki przed zewnętrznymi polami elektrycznymi w obszarach, w których się poruszają, ale nadal pozwalają na zastosowanie potencjału zależnego od czasu poprzez ładowanie cylindrów. Okazało się to jednak trudne do zrealizowania. Zamiast tego zaproponowano inny eksperyment obejmujący geometrię pierścienia przerywaną przez bariery tunelowe, ze stałym napięciem polaryzacji V odnoszącym się do potencjałów dwóch połówek pierścienia. Ta sytuacja skutkuje przesunięciem fazowym Aharonova – Bohma, jak powyżej, i została zaobserwowana eksperymentalnie w 1998 r., Chociaż w układzie, w którym ładunki przechodzą przez pole elektryczne generowane przez napięcie polaryzacji. Pierwotny zależny od czasu elektryczny efekt Aharonova-Bohma nie został jeszcze zweryfikowany eksperymentalnie.

Efekt grawitacyjny

Przesunięcie fazowe Aharonova-Bohma spowodowane potencjałem grawitacyjnym powinno być również możliwe do zaobserwowania w teorii, a na początku 2022 r. superpozycje zostały wystrzelone pionowo w rurze próżniowej i podzielone laserem, tak aby jedna część wzniosła się wyżej niż druga, a następnie ponownie połączyły. Na zewnątrz komory na górze znajduje się osiowo symetryczna masa, która zmienia potencjał grawitacyjny. Zatem część, która idzie wyżej, powinna doświadczyć większej zmiany, która przejawia się jako wzór interferencji, gdy pakiety fal rekombinują, powodując mierzalne przesunięcie fazowe. Zespół znalazł dowody na zgodność pomiarów z przewidywaniami. Zaproponowano wiele innych testów.

Efekt nieabelowy

W 1975 roku Tai-Tsun Wu i Chen-Ning Yang sformułowali nieabelowy efekt Aharonova-Bohma, aw 2019 roku zostało to zgłoszone eksperymentalnie w systemie z falami świetlnymi, a nie z funkcją falową elektronów. Efekt uzyskano na dwa różne sposoby. W jednym przypadku światło przechodziło przez kryształ w silnym polu magnetycznym, aw innym było modulowane za pomocą zmiennych w czasie sygnałów elektrycznych. W obu przypadkach obserwowano przesunięcie fazowe poprzez wzór interferencyjny, który również różnił się w zależności od tego, czy poruszał się w czasie do przodu, czy do tyłu.

Nanopierścienie Aharonova-Bohma

Nanopierścienie powstały przypadkowo z zamiarem stworzenia kropek kwantowych . Mają ciekawe właściwości optyczne związane z ekscytonami i efektem Aharonova-Bohma. Zastosowanie tych pierścieni jako lekkich kondensatorów lub buforów obejmuje fotoniczne technologie obliczeniowe i komunikacyjne. Trwa analiza i pomiar faz geometrycznych w pierścieniach mezoskopowych. Sugeruje się nawet, że można z nich zrobić formę powolnego szkła .

Kilka eksperymentów, w tym niektóre zgłoszone w 2012 r., Pokazuje oscylacje Aharonova – Bohma w prądzie fali gęstości ładunku (CDW) w funkcji strumienia magnetycznego o dominującym okresie h / 2 e przez pierścienie CDW do 85 µm w obwodzie powyżej 77 K. To zachowanie jest podobne do nadprzewodzących kwantowych urządzeń interferencyjnych (patrz SQUID ).

Interpretacja matematyczna

Efekt Aharonova-Bohma można zrozumieć z faktu, że można mierzyć tylko wartości bezwzględne funkcji falowej. Chociaż pozwala to na pomiar różnic fazowych za pomocą eksperymentów z interferencją kwantową, nie ma sposobu na określenie funkcji falowej ze stałą fazą absolutną. W przypadku braku pola elektromagnetycznego można zbliżyć się, deklarując funkcję własną operatora pędu z zerowym pędem jako funkcję „1” (pomijając problemy z normalizacją) i określając funkcje falowe względem tej funkcji własnej „1”. W tej reprezentacji operatorem i-pędu jest (do współczynnika $operatorem$ różniczkowym $\częściowy }{\częściowy x^{i}}}}$${\ Displaystyle \ częściowe _ {i} = {\$ . Jednak na podstawie niezmienniczości cechowania równie ważne jest zadeklarowanie funkcji własnej pędu zerowego kosztem reprezentacji operatora i- pędu ${\ Displaystyle e ^ {-i \ phi (x)}}$ (do współczynnika) as ${\ Displaystyle \ nabla _ {i} = \ częściowe _ {i} + i (\ częściowe _ {i} \ phi)$ } czysty potencjał wektora cechowania ${\ Displaystyle A = d \ phi}$ . Nie ma prawdziwej asymetrii, ponieważ przedstawianie tego pierwszego w kategoriach tego drugiego jest tak samo chaotyczne, jak przedstawianie tego drugiego w kategoriach pierwszego. funkcji ” falowych w języku geometrii różniczkowej jako odcinków złożonej wiązki linii z metryką hermitowską i połączeniem $.$ Postać krzywizny połączenia $.$ , aż do współczynnika i elektromagnetycznego Efekt Aharonova-Bohma jest zatem przejawem faktu, że połączenie o zerowej krzywiźnie (tj. płaskiej ) nie musi być trywialne, ponieważ może mieć monodromię wzdłuż topologicznie nietrywialnej ścieżki całkowicie zawartej w obszarze zerowej krzywizny (tj. bez pola). Z definicji oznacza to, że sekcje, które są równolegle przesuwane wzdłuż topologicznie nietrywialnej ścieżki, pobierają fazę, tak że kowariantne stałe sekcje nie mogą być zdefiniowane w całym obszarze wolnym od pola.

Biorąc pod uwagę trywializację wiązki linii, niezanikającej sekcji, połączenie U (1) jest określone przez formę 1 odpowiadającą czteropotencjałowi elektromagnetycznemu A jako ${\ displaystyle \ nabla = d+iA\,}$ gdzie d oznacza wyprowadzenie zewnętrzne na przestrzeni Minkowskiego . Monodromia to holonomia płaskiego połączenia. Holonomia połączenia, płaskiego lub niepłaskiego, wokół zamkniętej pętli $\$ mi $Displaystyle e ^ {i \ int _ {\ gamma} A}}$ (można to pokazać nie zależy od trywializacji, a jedynie od związku). W przypadku płaskiego połączenia można znaleźć transformację cechowania w dowolnym prosto połączonym obszarze wolnym od pola (działającym na funkcje falowe i połączenia), która mierzy potencjał wektora. Jeśli jednak monodromia jest nietrywialna, nie ma takiej transformacji cechowania dla całego regionu zewnętrznego. $,$ w wyniku twierdzenia Stokesa , holonomia jest określona przez strumień magnetyczny przechodzący przez powierzchnię $displaystyle \sigma }$ pętlę , ale taka powierzchnia może istnieć tylko wtedy, gdy $\ displaystyle \ sigma$${$ przechodzi przez obszar nietrywialnego ciała:

$_ {\ sigma} dA }=e^{i\int _{\sigma }F}}$

Monodromia płaskiego połączenia zależy tylko od typu topologicznego pętli w obszarze wolnym od pola (w rzeczywistości od klasy homologii pętli ). Opis holonomii jest jednak ogólny i działa zarówno wewnątrz, jak i na zewnątrz nadprzewodnika. Na zewnątrz rurki przewodzącej zawierającej pole magnetyczne natężenie pola jest ${\ displaystyle F = 0}$ . Innymi słowy, na zewnątrz rury połączenie jest płaskie, a monodromia pętli zawartej w obszarze bezpolowym zależy tylko od liczby zwojów wokół rury. Monodromia połączenia dla pętli okrążającej jeden raz (uzwojenie numer 1) to różnica faz cząstki interferującej przez propagację na lewo i na prawo od rury nadprzewodzącej zawierającej pole magnetyczne. Jeśli ktoś chce zignorować fizykę wewnątrz nadprzewodnika i opisać fizykę tylko w obszarze zewnętrznym, naturalne i matematycznie wygodne staje się opisanie elektronu kwantowego za pomocą odcinka w złożonej wiązce linii z „zewnętrznym” płaskim połączeniem ∇ { $displaystyle \nabla }$ z monodromią

${\ Displaystyle \ alpha =}$ strumień magnetyczny przez rurkę / ${\ Displaystyle (\ hbar / e)}$

zamiast zewnętrznego pola EM ${\ displaystyle F}$ . Równanie Schrödingera można łatwo uogólnić na tę sytuację, używając laplacianu związku dla (wolnego) hamiltonianu

${\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {2m}} \ nabla ^ {*} \ nabla}$ .

Równoważnie, można pracować w dwóch prosto połączonych obszarach z nacięciami, które przechodzą od rury w kierunku lub od ekranu detekcyjnego. W każdym z tych regionów należałoby rozwiązać zwykłe swobodne równania Schrödingera, ale przechodząc z jednego regionu do drugiego, tylko w jednym z dwóch połączonych elementów przecięcia (efektywnie tylko w jednej ze szczelin) współczynnik monodromii ${\ displaystyle e ^ {i \ alpha}}$ jest odbierany, co skutkuje przesunięciem wzoru interferencji, gdy zmienia się strumień.

Efekty o podobnej interpretacji matematycznej można znaleźć w innych dziedzinach. Na przykład w klasycznej fizyce statystycznej kwantyzację ruchu silnika molekularnego w środowisku stochastycznym można interpretować jako efekt Aharonova-Bohma indukowany przez pole cechowania działające w przestrzeni parametrów kontrolnych.

Zobacz też

• Faza geometryczna
• Kąt Hannay'a
• Funkcja Wanniera
• Faza jagodowa
• Pętla Wilsona
• Numer uzwojenia
• Efekt Aharonova-Cashera
• Twierdzenie Byersa-Yanga

Dalsza lektura

•   DJ Thouless (1998). „§2.2 Niezmienność miernika i efekt Aharonova – Bohma” . Topologiczne liczby kwantowe w fizyce nierelatywistycznej . Świat naukowy. s. 18 i nast . ISBN 978-981-02-3025-8 .

Linki zewnętrzne

• Strona Towarzystwa Davida Bohma o efekcie Aharonova – Bohma.