Luka masowa

W kwantowej teorii pola przerwa masowa jest różnicą energii między najniższym stanem energetycznym , próżnią, a następnym najniższym stanem energetycznym. Energia próżni z definicji wynosi zero i zakładając, że wszystkie stany energetyczne można traktować jako cząstki w falach płaskich, przerwa masowa jest masą najlżejszej cząstki.

Ponieważ energie dokładnych (tj. nieperturbacyjnych) stanów własnych energii są rozproszone i dlatego technicznie nie są stanami własnymi, bardziej precyzyjna definicja jest taka, że przerwa masowa jest największą dolną granicą energii dowolnego stanu, który jest ortogonalny do próżni.

Analogia luki masowej w fizyce wielu ciał na dyskretnej siatce wynika z hamiltonianu z przerwami .

Definicje matematyczne

${\ Displaystyle \ phi$ $)$ rzeczywistych gdzie ( powiedzmy, że teoria ma lukę masową, jeśli funkcja dwupunktowa ma właściwość

{\ Displaystyle \ langle \ phi (0, t) \ phi (0,0) \ rangle \ sim \ suma _ {n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}

gdzie ${\ displaystyle \ Delta _ {0}> 0}$ jest najniższą wartością energii w widmie hamiltonianu, a tym samym luki masowej. Ta wielkość, łatwa do uogólnienia na inne dziedziny, jest ogólnie mierzona w obliczeniach kratowych. Udowodniono w ten sposób, że teoria Yanga-Millsa rozwija lukę masową w sieci. Odpowiednia wartość uporządkowana w czasie, propagator , będzie miała właściwość

\ Displaystyle \ lim _ {p \ strzałka w prawo 0} \ Delta (p) = \ operatorname {stała}}

przy czym stała jest skończona. Typowym przykładem jest swobodna masywna cząstka iw tym przypadku stała ma wartość 1/ m ² . W tej samej granicy propagator dla cząstki bezmasowej jest osobliwy.

Przykłady z teorii klasycznych

Przykładem luki masowej powstającej dla teorii bezmasowych, już na poziomie klasycznym, jest spontaniczne łamanie symetrii lub mechanizm Higgsa . W pierwszym przypadku trzeba sobie radzić ^{[ jak? ]} wraz z pojawieniem się bezmasowych wzbudzeń, bozonów Goldstone'a , które w tym drugim przypadku są usuwane z powodu swobody cechowania . Kwantyzacja zachowuje tę właściwość swobody cechowania.

Kwartalna skalarna teoria pola bezmasowego rozwija lukę masową już na poziomie klasycznym ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} . Rozważ równanie

{\ Displaystyle \ Box \ phi + \ lambda \ phi ^ {3} = 0.}

To równanie ma dokładne rozwiązanie

{\ Displaystyle \ phi (x) = \ mu \ lewo ({\ Frac {2} {\ lambda}} \ prawo)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)}

$-$ gdzie i są stałymi $funkcją$ , a sn jest eliptyczną Jacobiego pod warunkiem

{\ Displaystyle p ^ {2} = \ mu ^ {2} {\ sqrt {\ Frac {\ lambda} {2}}}.}

Na poziomie klasycznym pojawia się luka masowa, na poziomie kwantowym mamy wieżę wzbudzeń i ta właściwość teorii jest zachowana po kwantyzacji w granicy pędów dążących do zera.

Teoria Yanga-Millsa

Reprezentacja Källén – Lehmann

Jeśli reprezentacja widmowa Källéna – Lehmanna jest zachowana, na tym etapie wykluczamy teorie cechowania , funkcja gęstości widmowej może przybrać bardzo prostą postać z dyskretnym widmem zaczynającym się od przerwy masowej

{\ Displaystyle \ rho (\ mu ^ {2}) = \ suma _ {n = 1 }^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})}

${\ Displaystyle \ rho _ {c} (\ mu ^ {2})}$ do wielocząstkowej części widma. W tym przypadku propagator przyjmie prostą formę

{\ Displaystyle \ Delta (p) = \ suma _ {n = 1} ^ {N} {\ Frac {Z_ {n}} {p ^ {2} -m_ {n} ^ {2} + i \ epsilon} }+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty}d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^ {2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}

będąc $.$ wielocząstkowego Teraz, korzystając z faktu, że

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ mu ^ {2} \ rho (\ mu ^ {2}) = 1}

dochodzimy do następującego wniosku dla stałych w gęstości widmowej

{\ Displaystyle 1 = \ suma _ {n = 1} ^ {N} Z_ {n} + \ int _ {0} ^ {\infty}d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})}

.

To nie może być prawdą w teorii cechowania . Należy raczej udowodnić, że reprezentacja propagatora Källéna-Lehmanna obowiązuje również w tym przypadku. Brak wkładów wielocząstkowych sugeruje, że teoria jest trywialna , ponieważ w teorii nie występują stany związane, a więc nie ma interakcji, nawet jeśli teoria ma lukę masową. $przypadku$ mamy od razu prostu wzorach .

Zobacz też

Linki zewnętrzne