Metryka Quillena

W matematyce , a zwłaszcza w geometrii różniczkowej , metryka Quillena jest metryką na wiązce wyznaczającej rodziny operatorów. Został wprowadzony przez Daniela Quillena dla niektórych operatorów eliptycznych na powierzchni Riemanna i uogólniony na rozmaitości wyższych wymiarów przez Jeana-Michela Bismuta i Dana Freeda .

Metryka Quillena została wykorzystana przez Quillena do uzyskania różniczkowo-geometrycznej interpretacji obszernej wiązki linii w przestrzeni modułów wiązek wektorowych na zwartej powierzchni Riemanna , znanej jako wiązka liniowa wyznacznika Quillena . Można to postrzegać jako określenie przedstawiciela Cherna – Weila pierwszej klasy Chern tej obszernej wiązki linii. Konstrukcja metryczna Quillena i jej uogólnienia zostały wykorzystane przez Bismuta i Freeda do obliczenia holonomii pewnych wiązek wyznaczających Operatory Diraca i ta holonomia jest powiązana z pewnymi anulowaniami anomalii w teorii Cherna – Simonsa przewidywanymi przez Edwarda Wittena .

Metryka Quillena została również wykorzystana przez Simona Donaldsona w 1987 r. W nowym dowodzie indukcyjnym korespondencji Hitchina – Kobayashiego dla rzutowych rozmaitości algebraicznych , opublikowanym rok po rozwiązaniu korespondencji Shing-Tunga Yau i Karen Uhlenbeck dla dowolnych zwartych rozmaitości Kählera .

Wiązka wyznacznikowa rodziny operatorów

Załóżmy, $w$$się$ operatorów Fredholma przestrzeniami Hilberta $,$ ciągły względem dla jakiejś przestrzeni topologicznej. ${\ displaystyle X}$ . Ponieważ każdy z tych operatorów to Fredholm, jądro i kokernel mają skończone wymiary. Dlatego są zadania

$}}$

które definiują rodziny przestrzeni $wektorowych$ . $Pomimo$ założenia, że ​​operatory $zmieniają$$się$ w sposób ciągły w te przypisania przestrzeni wektorowych nie tworzą wiązek wektorowych w przestrzeni wymiar jądra i kokernelu mogą przeskakiwać w sposób nieciągły dla rodziny operatorów różniczkowych. Jednak indeks operatora różniczkowego wymiar jądra odjęty od wymiaru kokernelu jest niezmienny aż do odkształceń ciągłych. Czyli zadanie

${\ displaystyle t \ mapsto {\ tekst {ind}} (D_ {t}): = \ dim \ ker D_ {t} -\dim {\text{koker}}D_{t}}$

jest funkcją $. Ponieważ nie jest możliwe przyjęcie różnicy wiązek wektorowych$ na $, nie$ możliwe połączenie rodzin jąder i kokerneli wiązkę wektorową. Jednak w teorii K $je$$formalne różnice wiązek wektorowych i powiązać$ z rodziną jako element

${\ Displaystyle {\ tekst {ind}} (D_ {t}) = [t \ mapsto \ ker D_ {t} - {\ tekst {koker}} D_ {t}] \ w K (X).}$

Ten wirtualny pakiet indeksów zawiera informacje o właściwościach analitycznych rodziny i jej wirtualny stopień, $eliptycznymi$ różnicę wymiarów, można obliczyć za pomocą twierdzenia $, że$ indeksie Atiyaha – Singera , pod warunkiem operatory są operatorami różniczkowymi .

${\ displaystyle {\ tekst {ind}} (D_{t})}$ przestrzeni parametrów $re$ możliwe jest przejście do prawdziwej wiązki linii zbudowanej z . Dla dowolnego wyznacznika linii re $\$$displaystyle D_ {t}: V \ do W}$ jednowymiarową przestrzeń wektorową

${\ Displaystyle \ det D_ {t}: = \ lewo (\ Lambda ^ {\ dim {\ tekst {koker} D_ {t}} {\ tekst {koker}} D_ {t} \ prawo) ^ {*} \otimes \Lambda ^{\dim \ker D_{t}}\ker D_{t}.}$

Definiuje się wiązkę linii wyznacznikowych rodziny jako wyznacznik włóknisty wiązki indeksu wirtualnego, re $\ displaystyle D_ {t}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = \ det {\ tekst {ind}} (D_ {t})}$

który nad każdym $}$ włókno określone przez linię wyznaczającą $w$ { \ displaystyle t \ Ta prawdziwa wiązka linii w przestrzeni topologicznej $ma$ tę samą pierwszą klasę Cherna , co wiązka indeksu wirtualnego i można to obliczyć z twierdzenia o indeksie

Metryka Quillena

Metryka Quillena została wprowadzona przez Quillena i jest metryką hermitowską na wiązce linii wyznacznikowych pewnej rodziny operatorów różniczkowych sparametryzowanych przez przestrzeń połączeń unitarnych na zespolonej wiązce wektorów na zwartej powierzchni Riemanna . W tej części naszkicowano konstrukcję.

$⁡$ operator Fredholma $ker D}$ re i ${\ displaystyle {\ tekst {koker}} D}$ przez ograniczenie. Łączą się $\ det D}$ , dając iloczyn wewnętrzny hermitowski, powiedzmy, na linii wyznacznika $displaystyle$ , jednowymiarowa złożona przestrzeń wektorowa. Jednakże, gdy ma się rodzinę takich operatorów sparametryzowanych przez $gładką$ rozmaitość , przypisanie z t $t \ mapsto h_ {t$$displaystyle$$wewnętrzne$ hermitowskie na każdym włóknie wiązki wyznaczającej definiują gładkiej metryki hermitowskiej. Rzeczywiście, w tym ustawieniu należy zwrócić uwagę, aby wiązka przewodów $jest$$wiązką$ rzeczywistości gładką linii , a Quillen pokazał, że można skonstruować gładką trywializację .

Naturalne metryki hermitowskie $mogą$ osobliwe zachowanie, własne operatorów Laplaciana są $λ$$lambda$ przecinają się lub stają się równe, łącząc mniejsze przestrzenie własne w większe przestrzenie własne. Aby wyeliminować to osobliwe zachowanie, należy uregulować metrykę hermitowską, $przez$ nieskończony wyznacznik

${\ Displaystyle \ Pi \ lambda = \ exp (- \ zeta '(0))}$

gdzie jest $laplaciana,$ funkcji zeta zdefiniowanym kontynuacja meromorficzna. $\ displaystyle D_ {t} ^ {*} D_ {t}$ do ${\ displaystyle s = 0$ }

${\ Displaystyle \ zeta (s) = \ suma _ {\ lambda} \ lambda ^ {- s}}$

który jest zdefiniowany dla ${\ displaystyle {\ tekst {Re}} (s)> 1}$ . Ta $.$ i nieskończony wyznacznik są analitycznym skręcaniem Laplaciana W ogólnym kontekście badanym przez Bismuta i Freeda należy zachować pewną ostrożność przy definicji tego nieskończonego wyznacznika, który jest definiowany w kategoriach superśladu .

$rodzinę$ rozważył $.$ afiniczną połączeń unitarnych na gładkiej złożonej wiązce wektorów na zwartej powierzchni Riemanna oraz ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}} _ {A}: L_ {1} ^ {2} (E) \ do L ^ {2} (\ Omega ^ {0,1} (E))$ } Operatory Dolbeaulta $działające$ Cherna , między $odcinków$ Sobolewa , są przestrzeniami Hilberta $się$ operator eliptyczny, a zatem zgodnie z eliptyczną regularnością z gładkich odcinków ${\ displaystyle E}$ . Rzeczywiście $}}$ składa się z holomorficznych sekcji w odniesieniu do struktury holomorficznej indukowanej przez operator Dolbeaulta ${\ Displaystyle {\ bar {\ częściowy}} _ {A}}$${\ displaystyle \ ker$ { . Konstrukcja Quillena tworzy metrykę na wiązce wyznaczników tej rodziny, ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} \ do {\ mathcal {A}}}$ , a Quillen pokazał, że postać krzywizny połączenia Cherna powiązana z metryką Quillena jest określona przez postać symplektyczną Atiyaha – Botta w przestrzeni połączeń unitarnych, odkrytą wcześniej przez Michaela Atiyaha i Raoula Botta w ich badaniu równań Yang – Millsa nad powierzchniami Riemanna.

Krzywizna

Z metryką Quillena i jej uogólnioną konstrukcją Bismuta i Freeda powiązane jest połączenie unitarne , a z tym jednolitym połączeniem powiązana jest jego forma krzywizny . Powiązaną klasę kohomologii tej postaci krzywizny przewiduje rodzinna wersja twierdzenia o indeksie Atiyaha – Singera , a zgodność tej przewidywania z postacią krzywizny udowodnili Bismut i Freed. W układzie powierzchni Riemanna badanym przez Quillena wykazano, że krzywizna ta jest określona wzorem

${\ Displaystyle \ Omega _ {A} (a, b) = \ int _ {\ Sigma} {\ tekst {ślad}} (a \ klin b )}$

gdzie $}$ połączeniem unitarnym i $są$$in {$$}$ stycznymi do ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}$ w . Ta forma symplektyczna to forma symplektyczna Atiyaha – Botta po raz pierwszy odkryto przez Atiyaha i Botta. Używając tej symplektycznej formy, Atiyah i Bott wykazali, że twierdzenie Narasimhana – Seshadriego można zinterpretować jako nieskończenie wymiarową wersję twierdzenia Kempfa – Nessa z teorii niezmienników geometrycznych i w tym ustawieniu metryka Quillena odgrywa rolę metryki Kählera , która pozwala $na$ symplektycznej redukcji .

W nowym dowodzie Donaldsona na korespondencję Hitchina – Kobayashiego dla rzutowych rozmaitości algebraicznych wyjaśnił, jak skonstruować wiązkę wyznacznikową w przestrzeni połączeń unitarnych na wiązce wektorowej nad dowolną rozmaitością algebraiczną, która ma wyższą wymiarową postać symplektyczną Atiyaha – Botta jako jego krzywizna:

${\ Displaystyle \ Omega _ {A} (a, b) = \ int _ {M} {\ tekst {ślad}} ( a\klin b)\klin \omega ^{n-1}}$

gdzie jest rzutową rozmaitością algebraiczną. ${\ displaystyle (M, \ omega)}$ Konstrukcja ta została wykorzystana przez Donaldsona w indukcyjnym dowodzie korespondencji.

Uogólnienia i pojęcia alternatywne

Metryka Quillena jest brana pod uwagę przede wszystkim w badaniu holomorficznych wiązek wektorów na powierzchniach Riemanna lub wielowymiarowych złożonych rozmaitościach oraz w uogólnieniach Bismuta i Freedsa do badania rodzin operatorów eliptycznych. Badając przestrzenie modułów rozmaitości algebraicznych i rozmaitości zespolonych, można konstruować wiązki wyznacznikowe na przestrzeni struktur prawie złożonych na ustalonej gładkiej rozmaitości ${\ displaystyle (M, \ omega)}$ które indukują strukturę Kählera $w$ . Tak jak metryka Quillena dla wiązek wektorowych była powiązana ze stabilnością wiązek wektorowych w pracach Atiyaha, Botta i Donaldsona, tak metrykę Quillena dla wiązki determinującej dla rozmaitości można powiązać z teorią stabilności rozmaitości. Rzeczywiście, funkcjonał energii K zdefiniowany przez Toshiki Mabuchi , który ma punkty krytyczne określone przez metrykę Kählera o stałej krzywiźnie skalarnej , może być interpretowany jako funkcjonał logarytmiczny dla metryki Quillena w przestrzeni metryki Kählera.