Niedokładne równanie różniczkowe

Równanie różniczkowe niedokładne to równanie różniczkowe postaci (zobacz też: różniczka niedokładna )

{\ Displaystyle M (x, y) \, dx + N (x, y) \, dy = 0, {\ tekst {gdzie}} {\ Frac {\ częściowe M} {\ częściowe y}} \ neq {\ frac {\częściowy N}{\częściowy x}}.}

Rozwiązanie takich równań pojawiło się wraz z wynalezieniem czynnika całkującego przez Leonharda Eulera w 1739 roku.

Metoda rozwiązania

Aby rozwiązać równanie, musimy przekształcić je w dokładne równanie różniczkowe . Aby to zrobić, musimy znaleźć $przez$ całkujący, który pomnożymy równanie. Zaczniemy od samego równania. ${\ Displaystyle M \, dx + N \, dy = 0}$ , więc otrzymujemy ${\ Displaystyle \ mu M \, dx + \ mu N \ ,dy=0}$ . Będziemy potrzebować ∂ $\ textstyle {\ Frac {\ częściowy \ mu M} {\ częściowy y}} = {\ Frac {\$ $=$ . dostajemy

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy \ mu} {\ częściowy y}} M + {\ Frac {\ częściowy M} {\ częściowy y}} \ mu = {\ Frac {\ częściowy \ mu} {\ częściowy x} }N+{\frac {\częściowy N}{\częściowy x}}\mu.}

Po uproszczeniu otrzymujemy

{\ Displaystyle M \ mu _ {y} -N \ mu _ {x} + (M_ {y} -N_ {x}) \ mu = 0.}

Ponieważ jest to równanie różniczkowe cząstkowe , w większości przypadków jest niezwykle trudne do rozwiązania, jednak w niektórych przypadkach otrzymamy albo ${\ Displaystyle \ mu (x, y) = \ mu (x )}$ lub ${\ Displaystyle \ mu (x, y) = \ mu (y)}$ , w takim przypadku musimy tylko znaleźć ${\ Displaystyle \ mu}$ z a liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu lub rozdzielne równanie różniczkowe i jako takie