Sieć Browna

W teorii prawdopodobieństwa sieć Browna jest niezliczonym zbiorem jednowymiarowych, łączących się ruchów Browna , rozpoczynających się w każdym punkcie w czasie i przestrzeni. Powstaje jako dyfuzyjna granica skalowania czasoprzestrzennego zbioru łączących się losowych spacerów , z jednym spacerem zaczynającym się od każdego punktu sieci całkowitej Z za każdym razem.

Historia i podstawowy opis

$} (x)) _{x\in \mathbb {Z}}\in \{0,1\}^{\mathbb {Z}}}$ t . Strzałki określają, kiedy wyborca ​​zmieni zdanie na sąsiada wskazanego strzałką. Genealogie uzyskuje się, podążając za strzałkami wstecz w czasie, które są rozmieszczone jako zlewające się przypadkowe spacery.

To, co jest obecnie znane jako sieć Browna, zostało po raz pierwszy wymyślone przez Arratię w jego doktoracie. praca magisterska i późniejszy niekompletny i niepublikowany rękopis. Arratia zbadała model wyborców , oddziałujący system cząstek , który modeluje ewolucję opinii politycznych populacji. Osoby w populacji są reprezentowane przez wierzchołki wykresu, a każda osoba ma jedną z dwóch możliwych opinii, reprezentowanych jako 0 lub 1. Niezależnie przy współczynniku 1, każda osoba zmienia swoją opinię na opinię losowo wybranego sąsiada. Wiadomo, że model wyborcy jest dualny wobec koalescencyjnych spacerów losowych (tj. spacery losowe poruszają się niezależnie, gdy są osobno, i poruszają się jako pojedynczy spacer, gdy się spotkają) w tym sensie, że: opinie każdej osoby w dowolnym momencie można prześledzić wstecz w czasie do przodka w czasie 0, a wspólne genealogie opinii różnych osób w różnych czasach to zbiór zlewających się przypadkowych spacerów ewoluujących wstecz w czasie. W wymiarze przestrzennym 1, łączące się spacery losowe , rozpoczynające się od skończonej liczby punktów czasoprzestrzennych, zbiegają się do skończonej liczby łączących się ruchów Browna , jeśli czasoprzestrzeń jest przeskalowana dyfuzyjnie (tj. każdy punkt czasoprzestrzenny (x, t) zostaje odwzorowany do (εx,ε^2t), gdzie ε↓0). Jest to konsekwencja zasady niezmienniczości Donskera . Mniej oczywiste pytanie brzmi:

Łączenie losowych spacerów po dyskretnej siatce czasoprzestrzennej ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {\ rm {parzyste}} ^ {2}: = \ {(x, n) \ in \ mathbb {Z} ^ {2}: x + n {\ mbox {jest parzyste }}\}.}$ Z każdego punktu sieci rysowana jest strzałka skierowana w górę w prawo lub w górę w lewo z prawdopodobieństwem 1/2. Losowe spacery poruszają się w górę w czasie, podążając za strzałkami, a różne przypadkowe spacery łączą się, gdy się spotkają.

Jaka jest dyfuzyjna granica skalowania połączonego zbioru jednowymiarowych, koalescencyjnych spacerów losowych, zaczynając od każdego punktu w czasoprzestrzeni?

Arratia postanowiła skonstruować tę granicę, którą obecnie nazywamy siecią Browna. Formalnie $czasoprzestrzeni$ biorąc, jest to zbiór jednowymiarowych, łączących się ruchów Browna, zaczynając od każdego punktu . Fakt, że sieć Browna składa się z niezliczonej liczby ruchów Browna, sprawia, że ​​konstrukcja jest wysoce nietrywialna. Arratia podała konstrukcję, ale nie była w stanie udowodnić zbieżności łączących się losowych spacerów z obiektem ograniczającym i scharakteryzować taki obiekt ograniczający.

Tóth i Werner w swoich badaniach nad prawdziwym ruchem samoodpychającym uzyskali wiele szczegółowych właściwości tego ograniczającego obiektu i jego dualizmu, ale nie udowodnili zbieżności spacerów koalescencyjnych do tego ograniczającego obiektu ani go nie scharakteryzowali. Główna trudność w udowodnieniu zbieżności wynika z istnienia przypadkowych punktów, z których obiekt ograniczający może mieć wiele ścieżek. Arratia, Tóth i Werner byli świadomi istnienia takich punktów i podali różne konwencje, aby uniknąć takiej wielości. Fontes, Isopi, Newman i Ravishankar wprowadzili topologię obiektu ograniczającego tak, aby był on realizowany jako zmienna losowa przyjmująca wartości w polskiej przestrzeni , w tym przypadku przestrzeni zwartych zbiorów ścieżek. Ten wybór pozwala obiektowi ograniczającemu mieć wiele ścieżek z losowego punktu czasoprzestrzennego. Wprowadzenie tej topologii pozwoliło im udowodnić zbieżność łączących się spacerów losowych z unikalnym obiektem ograniczającym i scharakteryzować go. Nazwali ten ograniczający obiekt siecią Browna.

Rozszerzenie sieci Browna, zwane siecią Browna , zostało wprowadzone przez Suna i Swarta, umożliwiając rozgałęzienie łączących się ruchów Browna. Alternatywną konstrukcję sieci Browna podali Newman, Ravishankar i Schertzer.

Aby zapoznać się z ostatnim badaniem, zobacz Schertzer, Sun i Swart.