Twierdzenie Farrella-Markushevicha

W matematyce twierdzenie Farrella-Markushevicha , udowodnione niezależnie przez OJ Farrella (1899–1981) i AI Markushevicha (1908–1979) w 1934 r., jest wynikiem dotyczącym przybliżenia w średnim kwadracie funkcji holomorficznych na ograniczonym zbiorze otwartym w zespoleniu płaszczyzna za pomocą wielomianów zespolonych. Stwierdza, że ​​złożone wielomiany tworzą gęstą podprzestrzeń przestrzeni Bergmana dziedziny ograniczonej prostą zamkniętą krzywą Jordana . Proces Grama – Schmidta można wykorzystać do skonstruowania bazy ortonormalnej w przestrzeni Bergmana, a tym samym wyraźnej postaci jądra Bergmana , co z kolei daje wyraźną funkcję mapowania Riemanna dla dziedziny.

Dowód

Niech Ω będzie ograniczoną domeną Jordana i niech Ω _n będzie ograniczoną domeną Jordana malejącą do Ω, gdzie Ω _n zawiera domknięcie Ω _{n + 1} . Zgodnie z twierdzeniem o odwzorowaniu Riemanna istnieje odwzorowanie konforemne f _n Ω _n na Ω, znormalizowane w celu ustalenia danego punktu w Ω z dodatnią pochodną. Z twierdzenia o jądrze Carathéodory'ego f _n ( z ) jest zbieżne jednostajnie na kompaktach w Ω do z . W rzeczywistości twierdzenie Carathéodory'ego implikuje, że odwrotne mapy dążą równomiernie na kompaktach do z . Dany podciąg f _n , ma podciąg zbieżny na zwartej w Ω. Ponieważ funkcje odwrotne są zbieżne do z , wynika z tego, że podciąg jest zbieżny do z na compacta. Stąd f _n zbiega się do z na kompaktach w Ω.

W konsekwencji pochodna f _n dąży jednostajnie do 1 na kompaktach.

Niech g będzie całkowalną do kwadratu funkcją holomorficzną na Ω, tj. elementem przestrzeni Bergmana A ² (Ω). Zdefiniuj g _n na Ω _n przez gn _n ( z ) = g ( fa _n ( z )) fa _n '( z ). Przez zmianę zmiennej

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\| g_ {n} \| _ {\ Omega _ {n}} ^ {2} = \ | g \ | _ {\ Omega} ^ {2}.}}$

Niech h _n będzie ograniczeniem g _n do Ω. Wtedy norma h _n jest mniejsza niż norma g _n . Zatem normy te są jednostajnie ograniczone. Przechodząc w razie potrzeby do podsekwencji, można zatem założyć, że h _n ma słabą granicę w A2 ⁽ Ω). Z drugiej strony h _n dąży jednostajnie w kierunku compacta do g . Ponieważ mapy ewaluacyjne są ciągłymi funkcjami liniowymi na A2 ₍ ^Ω ), g jest granicą słabości hn . Z drugiej strony, zgodnie z twierdzeniem Runge'a , h _n leży w zamkniętej podprzestrzeni K z A ² (Ω) generowanej przez wielomiany zespolone. Stąd g leży w słabym domknięciu K , które jest samym K.

Zobacz też

• Twierdzenie Mergelyana

Notatki

• Farrell, OJ (1934), „O przybliżeniu funkcji analitycznej przez wielomiany”, Bull. Amer. Matematyka soc. , 40 : 908–914, doi : 10.1090/s0002-9904-1934-06002-6
• Markushevich, AI (1967), Teoria funkcji zmiennej zespolonej. Tom. III , Prentice-Hall
•   Conway, John B. (2000), Kurs teorii operatorów , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 21, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-2065-6