Twierdzenie o interpolacji Marcinkiewicza

W matematyce twierdzenie o interpolacji Marcinkiewicza ^{przestrzeniach} Lp , odkryte przez Józefa Marcinkiewicza ( 1939 ), jest wynikiem ograniczającym normy operatorów nieliniowych działających na .

Twierdzenie Marcinkiewicza jest podobne do twierdzenia Riesza-Thorina o operatorach liniowych , ale dotyczy również operatorów nieliniowych.

Czynności wstępne

Niech f będzie mierzalną funkcją o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, zdefiniowanych w przestrzeni miar ( X , F , ω). Funkcja dystrybucji f jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ lambda _ {f} (t) = \ omega \ lewo \ {x \ w X \ środkowy | f (x) |> t \ prawo \}.}$

Wtedy f nazywa się słabym ${\ displaystyle L ^ {1}}$ , jeśli istnieje stała C taka, że ​​​​funkcja dystrybucji f spełnia następującą nierówność dla wszystkich t > 0:

${\ Displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ leq {\ Frac {C} {t}}.}$

Najmniejsza stała C $Displaystyle L ^ {1}$ nierówności nazywana jest $\$ i jest zwykle oznaczana przez lub ${\ Displaystyle \|f \|_ {1, \ infty}.}$ Podobnie przestrzeń jest zwykle oznaczana przez L ^{1, w} lub L ^{1, ∞} .

$\ Displaystyle 1/x}$ pod $uwagę$ sumę funkcji na $)}$$a$ 4 nie 2.

Każda funkcja należy do $1$ ^{, w} , a ponadto nierówność

${\ Displaystyle \|f \|_ {1, w} \ równoważnik \|f \|_ {1}.}$

To nic innego jak nierówność Markowa (znana również jako nierówność Czebyszewa ). Odwrotność nie jest prawdziwa. Na przykład funkcja 1/ x należy do L ^{1, w ,} ale nie do L ¹ .

Podobnie można zdefiniować $słabą$ przestrzeń f przestrzeń wszystkich funkcji takich że ${\ Displaystyle | f | ^ {p}}$ należą do L ^{1, w} i ${\ Displaystyle L ^ {p}}$ słabej normy przy użyciu

${\ Displaystyle \|f \|_ {p, w} = \ lewo \||f|^ {p} \ prawo \|_ {1, w} ^ {\ Frac {1} {p}}.}$

Bardziej bezpośrednio, norma L ^{p , w} jest zdefiniowana jako najlepsza stała C w nierówności

${\ Displaystyle \ lambda _ {f} (t) \ równoważnik {\ Frac {C ^ {p}} {t ^ {p}}}}$

dla wszystkich t > 0.

Sformułowanie

Nieformalnie twierdzenie Marcinkiewicza jest

Twierdzenie. Niech T będzie ograniczonym operatorem liniowym od ${\ Displaystyle L ^ {p$$, w}} i jednocześnie od$ i jednocześnie od ${\ Displaystyle L ^ {p}} }}$ do ${\ Displaystyle L ^ {q, w}}$ . Wtedy T jest również operatorem ograniczonym od ${\ displaystyle L ^ {r}}$ do ${\ displaystyle L ^ {r}}$ dla dowolnego r między p i q .

Innymi słowy, nawet jeśli wymaga się tylko słabej ograniczoności na ekstremach p i q , regularna ograniczoność nadal obowiązuje. Aby uczynić to bardziej formalnym, należy wyjaśnić, że T jest ograniczony tylko na gęstym podzbiorze i może być uzupełniony. Więcej informacji można znaleźć w twierdzeniu Riesza-Thorina .

Gdzie twierdzenie Marcinkiewicza jest słabsze niż twierdzenie Riesza-Thorina jest w oszacowaniach normy. Twierdzenie daje granice dla $normy T,$ ta granica wzrasta do nieskończoności, gdy zbiega się do p lub q . Konkretnie ( DiBenedetto 2002 , Twierdzenie VIII.9.2), załóżmy, że

${\ Displaystyle \|Tf \|_ {p, w} \ równoważnik N_ {p} \|f \|_ {p},}$

${\ Displaystyle \| Tf \ | _ {q, w} \ równoważnik N_ {q} \ | f \ | _ {q},}$

tak, że ^{norma operatora , w} T od Lp do Lp , w ^{. wynosi co najwyżej} Np , a _norma operatora T od Lq do Lq _wynosi co najwyżej Nq Wtedy następująca nierówność interpolacyjna zachodzi dla wszystkich r między p i q oraz dla wszystkich f ∈ ​​L ^r :

${\ Displaystyle \| Tf \ | _ {r} \ równoważnik \ gamma N_ {p} ^ {\ delta} N_ {q} ^ { 1-\delta }\|f\|_{r}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ delta = {\ Frac {p (qr)} {r (qp)}}}$

I

${\ Displaystyle \ gamma = 2 \ lewo ({\ Frac {r (qp)} {(rp) (qr)}} \ prawo) ^ {1/r}.}$

Stałe δ i γ można również podać dla q = ∞ przechodząc do granicy.

Wersja twierdzenia obowiązuje również bardziej ogólnie, jeśli zakłada się, że T jest operatorem quasiliniowym w następującym sensie: istnieje stała C > 0 taka, że ​​T spełnia

${\ Displaystyle | T (f + g) (x) | \ równoważnik C (| Tf (x) | + | Tg (x) | )}$

dla prawie każdego x . Twierdzenie jest dokładnie takie, jak podano, z wyjątkiem tego, że γ zostało zastąpione przez

${\ Displaystyle \ gamma = 2C \ lewo ({\ Frac {r (qp)} {(rp) (qr)}} \ prawo) ^ {1/r}.}$

Operator T (prawdopodobnie quasiliniowy) spełniający oszacowanie formy

$}}$

mówi się, że jest typu słabego ( p , q ) . Operator jest po prostu typu ( p , q ) jeśli T jest ograniczoną transformacją z L ^p do L ^q :

${\ Displaystyle \| Tf \|_ {q} \ równoważnik C \|f \|_ {p}.}$

Bardziej ogólne sformułowanie twierdzenia o interpolacji jest następujące:

• ₀₀₀ Jeśli T jest operatorem kwaziliniowym słabego typu ( p , q ) i słabego typu ( p ₁ , q ₁ ) gdzie q ≠ q ₁ , to dla każdego θ ∈ (0,1) T jest typu ( p , q ), dla p i q gdzie p ≤ q postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {p}} = {\ Frac {1- \ theta} {p_ {0}}} + {\ Frac {\ theta} {p_ {1}}}, \ quad {\ frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta}{q_{1}}}.}$

To drugie sformułowanie wynika z pierwszego poprzez zastosowanie nierówności Höldera i argumentu dualności.

Zastosowania i przykłady

Znanym przykładem zastosowania jest transformata Hilberta . Postrzegana jako mnożnik , transformatę Hilberta funkcji f można obliczyć, najpierw przyjmując transformatę Fouriera funkcji f , następnie mnożąc ją przez funkcję znaku , a na końcu stosując odwrotną transformatę Fouriera .

Stąd twierdzenie Parsevala $^ {2}}$ łatwością pokazuje, że transformata Hilberta jest ograniczona od do $L$ . O wiele mniej oczywistym faktem ${1, w}}$ , w $^$ . Stąd twierdzenie Marcinkiewicza pokazuje, że jest ono ograniczone od ${\ displaystyle L ^ {p}}$ do ${\ displaystyle L ^ {p}}$ dla dowolnego 1 < p < 2. Argumenty dualizmu pokazują, że jest on również ograniczony dla 2 < p < ∞. W rzeczywistości transformata Hilberta jest naprawdę nieograniczona dla p równego 1 lub ∞.

Innym znanym przykładem jest funkcja maksymalna Hardy'ego-Littlewooda , która jest raczej operatorem podliniowym niż liniowym. Podczas gdy granice można wyprowadzić bezpośrednio z L $L$$^ {p}}$$^$ { $displaystyle$ oszacowanie przez sprytną zmianę zmiennych, interpolacja Marcinkiewicza jest podejściem bardziej intuicyjnym. Ponieważ funkcja maksymalna Hardy'ego-Littlewooda jest trywialnie ograniczona od ${\ Displaystyle L ^ {\ infty}}$ do ${\ Displaystyle L ^ {\ infty}}$ silna ograniczoność dla wszystkich ${\ Displaystyle p> 1}$ wynika bezpośrednio ze słabych (1,1) estymacja i interpolacja. Słabe (1,1) oszacowanie można uzyskać z lematu obejmującego Vitalego .

Historia

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy ogłoszone przez Marcinkiewicza (1939) , który pokazał ten wynik Antoniemu Zygmundowi na krótko przed jego śmiercią w czasie II wojny światowej. Twierdzenie zostało prawie zapomniane przez Zygmunda i nie było go w jego oryginalnych pracach nad teorią osobliwych operatorów całkowych . Później Zygmund (1956) zdał sobie sprawę, że wynik Marcinkiewicza może znacznie uprościć jego pracę, w którym to czasie opublikował twierdzenie swojego byłego ucznia wraz z własnym uogólnieniem.

W 1964 roku Richard A. Hunt i Guido Weiss opublikowali nowy dowód twierdzenia o interpolacji Marcinkiewicza.

Zobacz też

• Przestrzeń interpolacyjna

•   DiBenedetto, Emmanuele (2002), Analiza rzeczywista , Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5 .
•   Gilbarg, Dawid ; Trudinger, Neil S. (2001), Eliptyczne równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu , Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7 .
• Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolation d'operations" , CR Acad. nauka Paryż , 208 : 1272-1273
•   Stein, Eliasz ; Weiss, Guido (1971), Wprowadzenie do analizy Fouriera w przestrzeniach euklidesowych , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X .
•    Zygmund A. (1956), „O twierdzeniu Marcinkiewicza dotyczącym interpolacji operacji”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 35 : 223–248, ISSN 0021-7824 , MR 0080887