Twierdzenie von Neumanna

W matematyce twierdzenie von Neumanna jest wynikiem teorii operatorów operatorów liniowych na przestrzeniach Hilberta .

Stwierdzenie twierdzenia

Niech ${\ Displaystyle G}$ i ${\ Displaystyle H}$ będą przestrzeniami Hilberta i niech ${\ Displaystyle T: \ operatorname {dom} (T) \ subseteq G \ do H }$ być nieograniczonym operatorem od ${\ displaystyle G}$ do $Załóżmy$$,$ że jest operatorem zamkniętym tyle ${\ displaystyle T}$ jest gęsto zdefiniowany , to znaczy ${\ Displaystyle \ operatorname {dom} (T)}$ jest gęsty w ${\ Displaystyle G.}$ Niech $}$${\ Displaystyle T ^ {*}: \ operatorname {dom} \ lewo (T ^ {*} \ prawej) \ subseteq H \ do$ oznaczają sprzężenie T $zdefiniowany$$}$ Wtedy jest również gęsto i samosprzężony . To jest,

$${\ Displaystyle \ lewo (T ^ {*} T \ prawo) ^ {*} = T ^ {*} T}$$

a operatory po prawej i lewej stronie mają tę samą gęstą domenę w ${\ Displaystyle G.}$