Paradoks Banacha-Tarskiego

„Czy kulę można rozłożyć na skończoną liczbę zestawów punktowych i ponownie złożyć w dwie kule identyczne z oryginałem?”

Banacha -Tarskiego to twierdzenie w geometrii mnogościowej , które stwierdza, co następuje: Biorąc pod uwagę stałą piłkę w przestrzeni trójwymiarowej , istnieje rozkład kuli na skończoną liczbę rozłącznych podzbiorów , które można następnie cofnąć razem w inny sposób, aby uzyskać dwie identyczne kopie oryginalnej piłki. Rzeczywiście, proces ponownego montażu obejmuje jedynie przesuwanie elementów i obracanie ich bez zmiany ich kształtu. Jednak same elementy nie są „bryłami” w zwykłym znaczeniu, ale nieskończonymi rozproszeniami punktów . Rekonstrukcja może działać z zaledwie pięcioma elementami.

Alternatywna postać twierdzenia stwierdza, że ​​​​dane dowolne dwa „rozsądne” obiekty stałe (takie jak mała kula i ogromna kula), wycięte kawałki jednego z nich można ponownie złożyć w drugi. Często mówi się o tym nieformalnie, że „groszek można posiekać i ponownie złożyć w Słońce” i nazywa się to „ paradoksem grochu i Słońca ”.

Twierdzenie to nazywa się paradoksem , ponieważ jest sprzeczne z podstawową intuicją geometryczną. „Zdwojenie piłki” poprzez podzielenie jej na części i przenoszenie ich przez obroty i translacje , bez rozciągania, zginania czy dodawania nowych punktów, wydaje się niemożliwe, gdyż wszystkie te operacje , intuicyjnie mówiąc, powinny zachować objętość . Intuicja, że ​​takie operacje zachowują objętości, nie jest matematycznie absurdalna i jest nawet zawarta w formalnej definicji objętości. Nie ma to jednak zastosowania w tym przypadku, ponieważ w tym przypadku nie jest możliwe określenie objętości rozpatrywanych podzbiorów. Ponowne ich złożenie odtwarza zestaw, który ma głośność, która okazuje się być inna niż głośność na początku.

W przeciwieństwie do większości twierdzeń w geometrii, matematyczny dowód tego wyniku zależy od wyboru aksjomatów teorii mnogości w sposób krytyczny. Można to udowodnić za pomocą aksjomatu wyboru , który pozwala na konstruowanie zbiorów niemierzalnych , czyli zbiorów punktów, które nie mają objętości w zwykłym tego słowa znaczeniu i których konstrukcja wymaga niezliczonej liczby wyborów.

W 2005 roku wykazano, że elementy w rozkładzie można wybrać w taki sposób, aby można je było w sposób ciągły przesuwać na miejsce bez wpadania na siebie.

Jak udowodnili niezależnie Leroy i Simpson, paradoks Banacha-Tarskiego nie narusza tomów, jeśli pracuje się z ustawieniami lokalnymi , a nie z przestrzeniami topologicznymi. W tym abstrakcyjnym ustawieniu możliwe są podprzestrzenie bez punktu, ale wciąż niepuste. Części rozkładu paradoksalnego przecinają się bardzo często w sensie lokalizacji, tak bardzo, że niektórym z tych przecięć należy nadać dodatnią masę. Pozwalając na uwzględnienie tej ukrytej masy, teoria lokalizacji pozwala na zadowalający pomiar wszystkich podzbiorów (a nawet wszystkich podzbiorów) przestrzeni euklidesowej.

Publikacja Banacha i Tarskiego

W pracy opublikowanej w 1924 roku Stefan Banach i Alfred Tarski przedstawili konstrukcję takiego paradoksalnego rozkładu , opierając się na wcześniejszej pracy Giuseppe Vitali dotyczącej przedziału jednostkowego oraz na paradoksalnych dekompozycjach sfery Feliksa Hausdorffa , oraz omówili szereg powiązanych pytania dotyczące dekompozycji podzbiorów przestrzeni euklidesowych w różnych wymiarach. Udowodnili następujące bardziej ogólne stwierdzenie, silną postać paradoksu Banacha-Tarskiego :

Mając dowolne dwa ograniczone podzbiory A i B przestrzeni euklidesowej w co najmniej trzech wymiarach, z których oba mają niepuste wnętrze , istnieją podziały A i B na skończoną liczbę rozłącznych podzbiorów, ${\ Displaystyle A = A_ {1} \ kubek \ cdots \ kubek A_ {k}}$ , ${\ Displaystyle B = B_ {1} \ kubek \ cdots \ kubek B_ {k}}$ (dla pewnej liczby całkowitej k ), takiej, że dla każdej (liczby całkowitej) i między 1 a k , zbiory A _i oraz B _i są przystające .

Niech A będzie oryginalną piłką, a B będzie sumą dwóch przetłumaczonych kopii oryginalnej piłki. Wtedy twierdzenie oznacza, że ​​możesz podzielić oryginalną kulę A na pewną liczbę części, a następnie obrócić i przełożyć te części w taki sposób, że wynikiem będzie cały zestaw B , który zawiera dwie kopie A .

Silna postać paradoksu Banacha-Tarskiego jest fałszywa w wymiarze pierwszym i drugim, ale Banach i Tarski wykazali, że analogiczne stwierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli dopuszcza się policzalnie wiele podzbiorów. Różnica między wymiarami 1 i 2 z jednej strony, a wymiarami 3 i wyższymi z drugiej wynika z bogatszej struktury grupy E ( n ) ruchów euklidesowych w 3 wymiarach. Dla n = 1, 2 grupa jest rozwiązywalna , ale dla n ≥ 3 zawiera grupę swobodną z dwoma generatorami. John von Neumann zbadał właściwości grupy równoważności, które umożliwiają paradoksalny rozkład i wprowadził pojęcie grup ulegających zmianie . Znalazł również formę paradoksu na płaszczyźnie, która zamiast zwykłych kongruencji wykorzystuje transformacje afiniczne zachowujące obszar.

Tarski udowodnił, że podatne grupy to właśnie te, dla których nie istnieją żadne paradoksalne dekompozycje. Ponieważ w paradoksie Banacha-Tarskiego potrzebne są tylko wolne podgrupy, doprowadziło to do długotrwałej hipotezy von Neumanna , która została obalona w 1980 roku.

Leczenie formalne

Paradoks Banacha – Tarskiego stwierdza, że ​​​​kulę w zwykłej przestrzeni euklidesowej można podwoić, używając jedynie operacji podziału na podzbiory, zastąpienia zbioru zbiorem kongruentnym i ponownego złożenia. Jego matematyczna struktura jest znacznie wyjaśniona przez podkreślenie roli, jaką odgrywa grupa ruchów euklidesowych oraz wprowadzenie pojęć zbiorów równorozkładalnych i zbioru paradoksalnego . Załóżmy, że G jest grupą działającą na zbiorze X . W najważniejszym szczególnym przypadku X jest n -wymiarową przestrzenią euklidesową (dla całki n ), a G składa się ze wszystkich izometrii X , tj. przekształceń X w siebie, które zachowują odległości, zwykle oznaczane E ( n ) . Dwie figury geometryczne, które można przekształcić jedna w drugą, nazywane są przystającymi i ta terminologia zostanie rozszerzona na ogólne działanie G. Dwa podzbiory A i B z X nazywane są G -równorozkładalnymi lub równorozkładalnymi względem G , jeśli A i B można podzielić na tę samą skończoną liczbę odpowiednio G -przystających części. To definiuje relację równoważności między wszystkimi podzbiorami X . Formalnie, jeśli istnieją niepuste zestawy ${\ Displaystyle A_ {1}, \ kropki, A_ {k}}$ , ${\ Displaystyle B_ {1}, \ kropki ,B_{k}}$ takie, że

${\ Displaystyle A = \ bigcup _ {i = 1} ^ {k} A_ {i}, \ quad B = \ bigcup _ { i = 1} ^ {k} B_ {i},}$

${\ Displaystyle \ quad A_ {i} \ czapka A_ { j}=B_{i}\cap B_{j}=\pusty zbiór \quad {\text{dla wszystkich}}1\równik i<j\równoważnik k,}$

i istnieją takie elementy, że ${\ displaystyle g_ {i} \ in G}$

${\ Displaystyle g_ {i} (A_ {i}) = B_ {i} {\ tekst {dla wszystkich}} 1 \ równoważnik ja \ równoważnik k ,}$

wtedy można powiedzieć, że A i B są G -równodzielne przy użyciu k części. Jeśli zbiór E ma dwa rozłączne podzbiory A i B takie, że A i E , jak również B i E , są G -równie składalne, to zbiór E nazywamy paradoksalnym .

Używając tej terminologii, paradoks Banacha – Tarskiego można przeformułować w następujący sposób:

Trójwymiarowa kula euklidesowa jest rozkładana w równym stopniu z dwiema swoimi kopiami.

W rzeczywistości w tym przypadku jest ostry wynik, dzięki Raphaelowi M. Robinsonowi : podwojenie piłki można osiągnąć pięcioma figurami, a mniej niż pięć sztuk nie wystarczy.

Silna wersja paradoksu twierdzi:

Dowolne dwa ograniczone podzbiory trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej z niepustymi wnętrzami są jednakowo rozkładane.

Choć pozornie bardziej ogólne, to stwierdzenie wywodzi się w prosty sposób z podwojenia piłki za pomocą uogólnienia twierdzenia Bernsteina-Schroedera wynikającego z Banacha, które implikuje, że jeśli A jest równo rozkładany z podzbiorem B i B jest równo rozkładany z a podzbioru A , to A i B są równorozkładalne.

Paradoks Banacha-Tarskiego można umieścić w kontekście, wskazując, że dla dwóch zbiorów w silnej postaci paradoksu zawsze istnieje funkcja bijektywna , która może odwzorowywać punkty w jednym kształcie na drugi w sposób jeden do jednego . W języku teorii mnogości Georga Cantora te dwa zbiory mają jednakową liczność . Zatem, jeśli rozszerzy się grupę, aby umożliwić dowolne bijekcje X , to wszystkie zbiory z niepustym wnętrzem staną się przystające. Podobnie, jedną kulę można przekształcić w większą lub mniejszą kulkę poprzez rozciąganie, czyli innymi słowy, stosując przekształcenia podobieństwa . Stąd, jeśli grupa G jest wystarczająco duża, można znaleźć zbiory G -równorzędne, których „rozmiar” jest różny. Co więcej, ponieważ zbiór policzalny można przekształcić w dwie kopie samego siebie, można by się spodziewać, że użycie policzalnej liczby elementów może w jakiś sposób załatwić sprawę.

Z drugiej strony w paradoksie Banacha-Tarskiego liczba sztuk jest skończona, a dopuszczalnymi równoważnościami są kongruencje euklidesowe, które zachowują objętości. A jednak w jakiś sposób podwajają objętość piłki! Chociaż jest to z pewnością zaskakujące, niektóre elementy użyte w rozkładzie paradoksalnym są zbiorami niemierzalnymi , więc pojęcie objętości (a dokładniej miary Lebesgue'a ) nie jest dla nich zdefiniowane, a podziału nie można wykonać w praktyczny sposób. W rzeczywistości paradoks Banacha-Tarskiego pokazuje, że niemożliwe jest znalezienie miary skończenie addytywnej (lub miary Banacha ) zdefiniowanej na wszystkich podzbiorach przestrzeni euklidesowej o trzech (i większych) wymiarach, która jest niezmienna względem ruchów euklidesowych i przyjmuje wartość jeden na kostce jednostkowej. W swojej późniejszej pracy Tarski wykazał, że przeciwnie, nieistnienie paradoksalnych dekompozycji tego typu implikuje istnienie skończenie addytywnej miary niezmienniczej.

Istotą dowodu paradoksu przedstawionego poniżej w postaci „podwojenia kuli” jest niezwykły fakt, że za pomocą izometrii euklidesowej (i zmiany nazw elementów) można podzielić pewien zbiór (zasadniczo powierzchnię sfery jednostkowej) na cztery części, a następnie obróć jedną z nich, aby stała się sobą i dwiema pozostałymi częściami. F2 _Wynika to dość łatwo z F2 na _{paradoksalnego} rozkładu , wolną grupę z dwoma generatorami. Dowód Banacha i Tarskiego opierał się na analogicznym fakcie odkrytym kilka lat wcześniej przez Hausdorffa: powierzchnia sfery jednostkowej w przestrzeni jest rozłączną sumą trzech zbiorów B , C , D i zbioru przeliczalnego E takiego, że z jednej strony B , C , D są przystające parami, az drugiej strony B jest przystające do sumy C i D . Nazywa się to często paradoksem Hausdorffa .

Związek z wcześniejszymi pracami i rola aksjomatu wyboru

Banach i Tarski wyraźnie uznają konstrukcję zestawu noszącego jego imię Giuseppe Vitali z 1905 r., Paradoks Hausdorffa (1914) i wcześniejszą (1923) pracę Banacha jako prekursorów ich pracy. Konstrukcje Vitalego i Hausdorffa zależą od aksjomatu wyboru Zermelo („ AC ”), który jest również kluczowy dla artykułu Banacha-Tarskiego, zarówno dla udowodnienia ich paradoksu, jak i dla dowodu innego wyniku:

Dwa wielokąty euklidesowe , z których jeden ściśle zawiera drugi, nie są równe .

zauważają:

Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention

(Rola, jaką ten aksjomat odgrywa w naszym rozumowaniu, wydaje nam się godna uwagi)

Wskazują, że chociaż drugi wynik w pełni zgadza się z intuicją geometryczną, jego dowód wykorzystuje AC w ​​jeszcze bardziej istotny sposób niż dowód paradoksu. Zatem Banach i Tarski sugerują, że AC nie należy odrzucać tylko dlatego, że prowadzi do paradoksalnego rozkładu, ponieważ taki argument podważa również dowody geometrycznie intuicyjnych twierdzeń.

Jednak w 1949 roku AP Morse wykazał, że stwierdzenie o wielokątach euklidesowych można udowodnić w teorii mnogości ZF , a zatem nie wymaga aksjomatu wyboru. W 1964 roku Paul Cohen udowodnił, że aksjomat wyboru jest niezależny od ZF – to znaczy, że nie można go udowodnić na podstawie ZF . Słabszą wersją aksjomatu wyboru jest aksjomat wyboru zależnego DC i wykazano, że DC nie wystarcza do udowodnienia paradoksu Banacha-Tarskiego, czyli

Paradoks Banacha-Tarskiego nie jest twierdzeniem ZF , ani ZF + DC .

Duże ilości matematyki używają AC . Jak Stan Wagon na końcu swojej monografii, paradoks Banacha-Tarskiego był bardziej znaczący ze względu na swoją rolę w czystej matematyce niż w przypadku pytań fundamentalnych: zmotywował nowy, owocny kierunek badań, podatność grup, która nie ma nic do zrobić z podstawowymi pytaniami.

W 1991 roku, korzystając z najnowszych wówczas wyników Matthew Foremana i Friedricha Wehrunga, Janusz Pawlikowski udowodnił, że paradoks Banacha-Tarskiego wynika z ZF plus twierdzenie Hahna-Banacha . Twierdzenie Hahna – Banacha nie opiera się na pełnym aksjomacie wyboru, ale można go udowodnić za pomocą słabszej wersji AC zwanej lematem ultrafiltra . Pawlikowski udowodnił więc, że teoria mnogości potrzebna do udowodnienia paradoksu Banacha-Tarskiego, choć silniejsza niż ZF , jest słabsza niż pełna ZFC .

Szkic dowodu

Tutaj naszkicowano dowód, który jest podobny, ale nie identyczny z tym, który podali Banach i Tarski. Zasadniczo paradoksalny rozkład piłki osiąga się w czterech krokach:

1. Znajdź paradoksalny rozkład grupy swobodnej na dwa generatory .
2. Znajdź grupę obrotów w przestrzeni trójwymiarowej izomorficzną z grupą swobodną w dwóch generatorach.
3. Użyj paradoksalnego rozkładu tej grupy i aksjomatu wyboru, aby uzyskać paradoksalny rozkład pustej sfery jednostkowej.
4. Rozszerz ten rozkład kuli na rozkład bryłowej kuli jednostkowej.

Kroki te omówiono bardziej szczegółowo poniżej.

Krok 1

Wykres Cayleya F ₂ , przedstawiający rozkład na zbiory S ( a ) i aS ( a ⁻¹ ). Przechodzenie przez poziomą krawędź wykresu w prawo reprezentuje lewe mnożenie elementu F ₂ przez a ; przechodzenie przez pionową krawędź wykresu w kierunku do góry reprezentuje lewe mnożenie elementu F ₂ przez b . Elementami zbioru S ( a ) są zielone kropki; elementami zbioru aS ( a ⁻¹ ) są kropki niebieskie lub kropki czerwone z niebieską obwódką. Czerwone kropki z niebieską obwódką to elementy zbioru S ( a ⁻¹ ), który jest podzbiorem aS ( a ⁻¹ ).

Wolna grupa z dwoma generatorami aib składa się ze wszystkich skończonych strun, które można utworzyć z czterech symboli a , a ⁻¹ , b i b ⁻¹ tak, że żadne a nie pojawia się bezpośrednio obok a ⁻¹ i żadne b nie pojawia się bezpośrednio obok a b ⁻¹ . Dwa takie ciągi można połączyć i przekształcić w ciąg tego typu, wielokrotnie zastępując „zakazane” podciągi pustym ciągiem. Na przykład: abab ⁻¹ a ⁻¹ połączone z abab ⁻¹ a daje abab ⁻¹ a ⁻¹ abab ⁻¹ a , który zawiera podłańcuch a ⁻¹ a , a więc zostaje zredukowany do abab ⁻¹ bab ⁻¹ a , co zawiera podłańcuch b ⁻¹ b , który zostaje zredukowany do abaab ⁻¹ a . Można sprawdzić, czy zbiór tych ciągów tą operacją tworzy grupę z elementem tożsamości pustym łańcuchem e . Tę grupę można nazwać F ₂ .

Grupę można „paradoksalnie rozłożyć” w następujący sposób: Niech S ( a ) $a$ zbiorem wszystkich niedozwolonych ciągów, które zaczynają się od i definiują ( a ^-1 ), S ( b ) i S ( b ⁻¹ ) podobnie. Wyraźnie,

${\ Displaystyle F_ {2} = \ {e \} \ kubek S (a) \ filiżanka S(a^{-1})\filiżanka S(b)\filiżanka S(b^{-1})}$

ale również

${\ Displaystyle F_ {2} = aS (a ^ {- 1}) \ kubek S (a),}$

I

${\ Displaystyle F_ {2} = bS (b ^ {- 1}) \ kubek S (b),}$

gdzie zapis aS ( a ⁻¹ ) oznacza wziąć wszystkie ciągi w S ( a ⁻¹ ) i połączyć je po lewej stronie z a .

To jest sedno dowodu. $_$$znaków$ w istnieć _ zasady, że $-$ nie może pojawiać się obok , sprowadza się do ciągu . $1}$$displaystyle a ^ {$ } Podobnie $_$${\ Displaystyle aa ^ {- 1} a ^ {- 1}},$ ciągi $_$ _ co sprowadza się do ${\ Displaystyle a ^ {- 1}} )$ . W ten sposób $-$ ciągi zaczynające się od $\ Displaystyle b}$$}$ 1 $^ {-$ i ${\ displaystyle a ^ {- 1}}$ , jak również pusty ciąg mi $\ displaystyle e}$ .

Grupa F ₂ została pocięta na cztery części (plus singleton { e }), a następnie dwie z nich „przesunięto” przez pomnożenie przez a lub b , a następnie „złożono ponownie” jako dwie części, aby wykonać jedną kopię ${\ displaystyle F_ {2}}$ , a pozostali dwaj wykonali kolejną kopię. ${\ displaystyle F_ {2}}$ . To jest dokładnie to, co ma zrobić z piłką.

Krok 2

Aby znaleźć swobodną grupę obrotów przestrzeni 3D, tj. która zachowuje się dokładnie tak samo (lub „jest izomorficzna ”) jak swobodna grupa F ₂ , przyjmuje się dwie ortogonalne osie (np. osie x i z ). Wtedy przyjmuje się, A jest obrotem o ${\textstyle \ theta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)}$ wokół osi x , a B być obrotem wokół $osi$ z (istnieje wiele innych odpowiednich par irracjonalnych wielokrotności π, których również można by tu użyć)

Grupa obrotów generowanych przez A i B będzie nazywana H . Niech $będzie$ elementem H , który zaczyna się od dodatniego obrotu wokół ${\ Displaystyle \ omega = \ldots B ^ {k_ {3}} A ^ {k_ {2}} B ^ {k_ {1}}}$ z , czyli elementem postaci z ${\ Displaystyle k_{1}>0,\ k_{2},k_{3},\ldots, k_{n}\neq 0,\ n\geq 1}$ . Można wykazać przez indukcję, że $\$ punkt $Displaystyle (1,0,0)}$ na ${\ textstyle \left({\frac {k}{3^{N}}},{\frac {l{\sqrt {2}}}{3^{N}}},{\frac {m}{3^ {N}}} \ prawej)}$ , dla niektórych ${\ Displaystyle k, l, m \ in \ mathbb {Z}, N \ in \ mathbb {N}}$ . Analizując $} Ten sam argument powtórzony (przez$ , można pokazać, że ${\ displaystyle k, l}$ i m $\ displaystyle m$$symetrię$ problemu) jest ważny, gdy zaczyna się od ujemnego obrotu wokół osi z lub obrotu wokół x . To pokazuje, że jeśli jest podane przez nietrywialne słowo w $A$ i B , to $Displaystyle \ omega \ neq e}$ . Zatem grupa H jest grupą wolną, izomorficzną _z F2 .

Te dwie rotacje zachowują się dokładnie tak, jak elementy a i b w grupie F ₂ : mamy teraz paradoksalny rozkład H .

Tego kroku nie można wykonać w dwóch wymiarach, ponieważ obejmuje on obroty w trzech wymiarach. Jeśli wykonamy dwa obroty wokół tej samej osi, wynikowa grupa będzie abelową grupą kołową i nie będzie miała właściwości wymaganej w kroku 1.

Alternatywny arytmetyczny dowód istnienia wolnych grup w pewnych specjalnych grupach ortogonalnych przy użyciu kwaternionów całkowych prowadzi do paradoksalnych dekompozycji grupy rotacyjnej .

Krok 3

Kula jednostkowa S ² jest podzielona na orbity przez działanie naszej grupy H : dwa punkty należą do tej samej orbity wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje obrót w H , który przesuwa pierwszy punkt do drugiego. (Zauważ, że orbita punktu jest zbiorem gęstym w S ² .) Aksjomatu wyboru można użyć do wybrania dokładnie jednego punktu z każdej orbity; zebrać te punkty w zbiór M . Działanie H na danej orbicie jest swobodne i przechodnie , więc każdą orbitę można utożsamić z H . Innymi słowy, każdy punkt w S ² można osiągnąć dokładnie w jeden sposób, stosując odpowiedni obrót z H na właściwy element z M . Z tego powodu paradoksalny rozkład H daje paradoksalny rozkład S ² na cztery części A 1 _, A 2 _, A 3 _, A 4 _w następujący sposób:

${\ Displaystyle A_ {1} = S (a) M \ kubek M \ kubek B}$

${\ Displaystyle A_ {2 } = S (a ^ {-1}) M \ setminus b}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle A_ {3} = S (b) M}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle A_ {4} = S (b ^ {-1}) M}$

gdzie definiujemy

${\ Displaystyle S (a) M = \ {s (x) | s \ w S (a), x \ w M \}}$

i podobnie dla innych zestawów, i gdzie zdefiniujemy

${\ Displaystyle B = a ^ {- 1} M \ kubek a ^ {- 2} M \ kubek \ kropki}$

(Pięć „paradoksalnych” części F ₂ nie zostało użytych bezpośrednio, ponieważ pozostawiłyby M jako dodatkową figurę po podwojeniu, ze względu na obecność pojedynczego elementu { e }!)

(Większość) sfery została teraz podzielona na cztery zestawy (każdy gęsty na kuli), a kiedy dwa z nich są obracane, wynik jest dwukrotnie większy niż wcześniej:

${\ Displaystyle aA_ {2} = A_ {2} \ kubek A_ {3} \ kubek A_ {4}}$

${ \displaystyle bA_{4}=A_{1}\filiżanka A_{2}\filiżanka A_{4}}$

Krok 4

Na koniec połącz każdy punkt na S ² półotwartym odcinkiem z początkiem układu współrzędnych; paradoksalny rozkład S ² daje następnie paradoksalny rozkład bryłowej kuli jednostkowej minus punkt w środku kuli. (Ten punkt środkowy wymaga nieco więcej uwagi, patrz poniżej).

NB Ten szkic pomija niektóre szczegóły. Trzeba uważać na zbiór punktów na kuli, które akurat leżą na osi pewnego obrotu w H . Jednak takich punktów jest tylko policzalnie wiele i podobnie jak w przypadku punktu w środku kuli, możliwe jest załatanie dowodu, aby uwzględnić je wszystkie. (Patrz poniżej).

Kilka szczegółów, dopracowanych

W kroku 3 kulę podzielono na orbity naszej grupy H . Aby usprawnić dowód, pominięto omówienie punktów, które są ustalane przez pewien obrót; ponieważ paradoksalna dekompozycja F ₂ polega na przesuwaniu pewnych podzbiorów, fakt, że niektóre punkty są stałe, może powodować pewne problemy. Ponieważ dowolny obrót S ² (inny niż obrót zerowy) ma dokładnie dwa stałe punkty , a H , które jest izomorficzne z F ₂ , jest policzalne , istnieje policzalnie wiele punktów S ² , które są ustalone przez pewien obrót w H . Oznaczmy ten zbiór punktów stałych jako D . Krok 3 dowodzi, że S ² − D dopuszcza rozkład paradoksalny.

To, co pozostaje do pokazania, to Twierdzenie : S ² − D jest jednakowo rozkładalne z S ² .

Dowód. Niech λ będzie pewną linią przechodzącą przez początek układu współrzędnych, która nie przecina żadnego punktu w D . Jest to możliwe, ponieważ D jest policzalne. Niech J będzie zbiorem kątów α, takich, że dla pewnej liczby naturalnej n i pewnego P w D , r ( n α)P jest również w D , gdzie r ( n α) jest obrotem n α wokół λ. Wtedy J jest policzalne. Istnieje więc kąt θ nie w J . Niech ρ będzie obrotem wokół λ o θ. Wtedy ρ działa na S ² bez punktów stałych w D , tj. ρ ⁿ ( D ) jest rozłączne z D , a dla naturalnego m < n , ρ ⁿ ( D ) jest rozłączne z ρ ^m ( D ). Niech E będzie sumą rozłączną ρ ⁿ ( D ) nad n = 0, 1, 2, ... . Wtedy S ² = mi ∪ ( S ² - mi ) ~ ρ( mi ) ∪ ( S ² - mi ) = ( mi - re ) ∪ ( S ² - mi ) = S ² - re , gdzie ~ oznacza "jest jednakowo rozkładany na ".

W kroku 4 wykazano już, że kula pomniejszona o punkt dopuszcza paradoksalny rozkład; pozostaje do wykazania, że ​​piłka pomniejszona o punkt jest równo rozkładana z piłką. Rozważmy okrąg wewnątrz kuli, zawierający punkt w środku kuli. Używając argumentu takiego jak ten użyty do udowodnienia twierdzenia, można zobaczyć, że pełne koło jest równe rozkładowi z okręgiem minus punkt w środku kuli. (Zasadniczo policzalny zbiór punktów na okręgu można obrócić, aby dać sobie plus jeszcze jeden punkt). Należy zauważyć, że obejmuje to obrót wokół punktu innego niż początek, więc paradoks Banacha-Tarskiego obejmuje izometrie euklidesowej 3-przestrzeni a nie tylko SO(3) .

Wykorzystuje się fakt, że jeśli A ~ B i B ~ C , to A ~ C . Rozkładu A na C można dokonać za pomocą liczby części równej iloczynowi liczb potrzebnych do przeniesienia A do B i do przeniesienia B do C .

Dowód naszkicowany powyżej wymaga 2 × 4 × 2 + 8 = 24 części - współczynnik 2 do usunięcia stałych punktów, współczynnik 4 z kroku 1, współczynnik 2 do odtworzenia stałych punktów i 8 dla punktu środkowego drugiej kuli . Ale w kroku 1, kiedy przenosimy { e } i wszystkie struny postaci a ⁿ do S ( a ⁻¹ ), zrób to na wszystkich orbitach z wyjątkiem jednej. Przenieś { e } tej ostatniej orbity do punktu środkowego drugiej kuli. To sprowadza sumę do 16 + 1 sztuk. Mając więcej algebry, można również rozłożyć ustalone orbity na 4 zestawy, jak w kroku 1. Daje to 5 części i jest najlepsze z możliwych.

Uzyskanie nieskończenie wielu piłek z jednej

Korzystając z paradoksu Banacha-Tarskiego, można otrzymać k kopii piłki w euklidesowej przestrzeni n z jedynki dla dowolnych liczb całkowitych n ≥ 3 i k ≥ 1, czyli kulę można pociąć na k części tak, że każda z można je równomiernie rozłożyć na kulę tego samego rozmiaru co oryginał. Wykorzystując fakt, że wolna grupa F ₂ rzędu 2 dopuszcza wolną podgrupę przeliczalnie nieskończonego rzędu, podobny dowód prowadzi do tego, że sferę jednostkową S ^{n −1} można podzielić na przeliczalnie nieskończenie wiele części, z których każda jest jednakowo rozkładana (z dwoma sztuk) do S ^{n −1} za pomocą obrotów. Wykorzystując właściwości analityczne grupy rotacyjnej SO( n ) , która jest spójną analityczną grupą Liego , można dodatkowo udowodnić, że sferę S ^{n −1} można podzielić na tyle części, ile jest liczb rzeczywistych (czyli ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ kawałków), tak że każdy kawałek można równomiernie rozłożyć z dwoma kawałkami do S ^{n -1} za pomocą obrotów. Wyniki te rozciągają się następnie na kulę jednostkową pozbawioną pochodzenia. Artykuł Walerija Churkina z 2010 roku przedstawia nowy dowód ciągłej wersji paradoksu Banacha – Tarskiego.

Paradoks von Neumanna na płaszczyźnie euklidesowej

Główny artykuł: paradoks von Neumanna

Na płaszczyźnie euklidesowej dwie figury, które są równomiernie rozkładane w odniesieniu do grupy ruchów euklidesowych , mają koniecznie ten sam obszar, a zatem paradoksalny rozkład kwadratu lub dysku typu Banacha-Tarskiego, który wykorzystuje tylko kongruencje euklidesowe, jest niemożliwy. Konceptualne wyjaśnienie rozróżnienia między przypadkami płaskimi i wielowymiarowymi zostało podane przez Johna von Neumanna : w przeciwieństwie do grupy SO (3) obrotów w trzech wymiarach, grupa E (2) ruchów euklidesowych płaszczyzny jest rozwiązywalna , co implikuje istnienie skończenie addytywnej miary na E (2) i R ² , która jest niezmienna przy translacjach i rotacjach oraz wyklucza paradoksalne dekompozycje zbiorów nie pomijalnych. Von Neumann postawił następnie następujące pytanie: czy można skonstruować taki paradoksalny rozkład, jeśli dopuszcza się większą grupę równoważności?

Jest oczywiste, że jeśli dopuści się podobieństwa , dowolne dwa kwadraty na płaszczyźnie stają się równoważne nawet bez dalszego podziału. Motywuje to ograniczenie uwagi do grupy SA ₂ zachowujących obszar przekształceń afinicznych . Ponieważ obszar jest zachowany, jakakolwiek paradoksalna dekompozycja kwadratu w odniesieniu do tej grupy byłaby sprzeczna z intuicją z tych samych powodów, co dekompozycja piłki Banacha-Tarskiego. W rzeczywistości grupa SA ₂ zawiera jako podgrupę specjalną grupę liniową SL (2, R ) , która z kolei zawiera wolną grupę F ₂ z dwoma generatorami jako podgrupą. To sprawia, że ​​​​jest prawdopodobne, że dowód paradoksu Banacha-Tarskiego można naśladować na płaszczyźnie. Główna trudność polega tutaj na tym, że kwadrat jednostkowy nie jest niezmienny pod działaniem grupy liniowej SL (2, R ), stąd nie można po prostu przenieść paradoksalnego rozkładu z grupy na kwadrat, jak w trzecim kroku powyższy dowód paradoksu Banacha-Tarskiego. Ponadto stałe punkty grupy stwarzają trudności (na przykład początek jest ustalony dla wszystkich przekształceń liniowych). Dlatego von Neumann użył większej grupy SA ₂ wraz z translacjami i skonstruował paradoksalny rozkład kwadratu jednostkowego w odniesieniu do powiększonej grupy (w 1929 r.). Stosując metodę Banacha-Tarskiego, paradoks kwadratu można wzmocnić w następujący sposób:

Dowolne dwa ograniczone podzbiory płaszczyzny euklidesowej z niepustymi wnętrzami można jednakowo rozłożyć w odniesieniu do map afinicznych zachowujących obszar.

Jak zauważa von Neumann:

"Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives dodatki Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 kapelusz), das gegenüber allen Abbildungen von A ₂ invariant ware."

„Zgodnie z tym już na płaszczyźnie nie ma nieujemnej miary addytywnej (dla której kwadrat jednostkowy ma miarę 1), która jest niezmienna względem wszystkich przekształceń należących do A 2 [ grupa _{zachowujących} powierzchnię przekształcenia afiniczne]”.

Aby wyjaśnić dalej, pytanie, czy istnieje miara skończenie addytywna (która jest zachowana przy pewnych przekształceniach), zależy od tego, jakie przekształcenia są dozwolone. Miara Banacha zbiorów na płaszczyźnie, która jest zachowywana przez translacje i obroty, nie jest zachowywana przez przekształcenia nieizometryczne, nawet jeśli zachowują one obszar wielokątów. Punkty płaszczyzny (inne niż początek) można podzielić na dwa gęste zbiory , które można nazwać A i B . Jeśli A danego wielokąta zostaną przekształcone przez pewną transformację zachowującą obszar, a punkty B przez inną, oba zbiory mogą stać się podzbiorami punktów A w dwóch nowych wielokątach. Nowe wielokąty mają taki sam obszar jak stary wielokąt, ale dwa przekształcone zestawy nie mogą mieć takiej samej miary jak poprzednio (ponieważ zawierają tylko część punktów A) , a zatem nie ma miary, która „działa”.

Klasa grup wyodrębniona przez von Neumanna w trakcie badania zjawiska Banacha-Tarskiego okazała się bardzo ważna dla wielu dziedzin matematyki: są to grupy podatne , czyli grupy o niezmiennej średniej i obejmują wszystkie skończone i wszystkie rozwiązywalne grupy . Ogólnie rzecz biorąc, paradoksalne dekompozycje pojawiają się, gdy grupa używana dla równoważności w definicji equidecomposability nie podlega.

Ostatnie postępy

• 2000: Artykuł Von Neumanna pozostawił otwartą możliwość paradoksalnego rozkładu wnętrza kwadratu jednostkowego w odniesieniu do grupy liniowej SL (2, R ) (Wagon, pytanie 7.4). W 2000 roku Miklós Laczkovich udowodnił, że taki rozkład istnieje. Dokładniej, niech A będzie rodziną wszystkich ograniczonych podzbiorów płaszczyzny z niepustym wnętrzem i dodatnią odległością od początku, a B rodziną wszystkich zbiorów planarnych z właściwością, że suma skończenie wielu przekłada się pod pewnymi elementami z SL (2, R ) zawiera przebite sąsiedztwo początku. Wtedy wszystkie zbiory w rodzinie A są SL(2, R )-równodzielne i podobnie dla zbiorów w B . Wynika z tego, że obie rodziny składają się ze zbiorów paradoksalnych.
• 2003: Od dawna wiadomo było, że pełna płaszczyzna jest paradoksalna w stosunku do SA ₂ , a minimalna liczba elementów równałaby się czterem, o ile istnieje lokalnie przemienna podgrupa wolna SA ₂ . W 2003 roku Kenzi Satô skonstruował taką podgrupę, potwierdzając, że wystarczą cztery utwory.
• 2011: Artykuł Laczkovicha pozostawił otwartą możliwość istnienia wolnej grupy F odcinkowych transformacji liniowych działających na przebity dysk D \{0,0} bez punktów stałych. Taką grupę skonstruował Grzegorz Tomkowicz pokazując, że układ kongruencji A ≈ B ≈ C ≈ B U C można zrealizować za pomocą F i D \{0,0}.
• 2017: Od dawna wiadomo, że w płaszczyźnie hiperbolicznej H ^{2 istnieje} zbiór E , który jest trzecim, czwartym i ... i za ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} }$ -ta część H ² . Wymóg ten został spełniony przez zachowanie orientacji izometrii H ² . Analogiczne wyniki uzyskali John Frank Adams i Jan Mycielski , którzy wykazali, że sfera jednostkowa S ² zawiera zbiór E , który jest połową, trzecią, czwartą i ... i a ${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$ -ta część S ² . Grzegorz Tomkowicz wykazał, że konstrukcję Adamsa i Mycielskiego można uogólnić, aby otrzymać zbiór E z H ² o takich samych właściwościach jak w S ² .
• 2017: Paradoks von Neumanna dotyczy płaszczyzny euklidesowej, ale są też inne klasyczne przestrzenie, w których paradoksy są możliwe. Na przykład, można zapytać, czy istnieje paradoks Banacha-Tarskiego w płaszczyźnie hiperbolicznej H ² . Pokazali to Jan Mycielski i Grzegorz Tomkowicz. Tomkowicz udowodnił również, że większość klasycznych paradoksów jest prostą konsekwencją teoretycznego wyniku grafów i faktu, że badane grupy są wystarczająco bogate.
• 2018: W 1984 roku Jan Mycielski i Stan Wagon skonstruowali paradoksalną dekompozycję płaszczyzny hiperbolicznej H ² , która wykorzystuje zbiory Borela. Paradoks polega na istnieniu właściwie nieciągłej podgrupy grupy izometrii H ² . Podobny paradoks uzyskuje Grzegorz Tomkowicz, który skonstruował swobodną właściwie nieciągłą podgrupę G grupy afinicznej SA (3, Z ). Istnienie takiej grupy implikuje istnienie podzbioru E z Z ³ takiego, że dla dowolnego skończonego F z Z ³ istnieje element g z G taki, że ${\ Displaystyle g (E) = E \ trójkąt F$ } $symetryczną$ oznacza różnicę E i .
• 2019: Paradoks Banacha – Tarskiego wykorzystuje skończenie wiele elementów w powielaniu. W przypadku przeliczalnie wielu elementów dowolne dwa zestawy z niepustymi wnętrzami można jednakowo rozłożyć za pomocą translacji. Ale dopuszczając tylko mierzalne części Lebesgue'a, otrzymujemy: jeśli A i B są podzbiorami Rn z niepustymi wnętrzami, to mają one równe miary Lebesgue'a wtedy i tylko wtedy, gdy są policzalnie jednakowo rozkładane przy użyciu mierzalnych części Lebesgue'a ^. Jan Mycielski i Grzegorz Tomkowicz rozszerzyli ten wynik na skończenie wymiarowe grupy Liego i drugie przeliczalne lokalnie zwarte grupy topologiczne, które są całkowicie odłączone lub mają przeliczalnie wiele połączonych składników.

Zobacz też

• paradoks Hausdorffa
• Zestaw Nikodym
• Paradoksy teorii mnogości
• Problem Tarskiego z kwadratem koła - Problem cięcia i ponownego składania dysku w kwadrat
• paradoks von Neumanna

Notatki

• Banach, Stefan ; Tarskiego, Alfreda (1924). „Sur la décomposition des zespoły punktów i odpowiednich partii zgodnych” (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 6 : 244–277. doi : 10.4064/fm-6-1-244-277 .
•   Czurkin, Wirginia (2010). „Ciągła wersja paradoksu Hausdorffa – Banacha – Tarskiego”. Algebra i logika . 49 (1): 91–98. doi : 10.1007/s10469-010-9080-y . S2CID 122711859 .
• Edward Kasner i James Newman (1940) Matematyka i wyobraźnia , s. 205–7, Simon & Schuster .
•   Stromberg, Karl (marzec 1979). „Paradoks Banacha – Tarskiego”. Amerykański miesięcznik matematyczny . Amerykańskie Stowarzyszenie Matematyczne. 86 (3): 151–161. doi : 10.2307/2321514 . JSTOR 2321514 .
• Su, Francis E. „Paradoks Banacha – Tarskiego” (PDF) .
• von Neumann, Jan (1929). „Zur allgemeinen Theorie des Masses” (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 13 : 73–116. doi : 10.4064/fm-13-1-73-116 .
•   Wagon, Stan (1994). Paradoks Banacha-Tarskiego . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-45704-1 .
•   Wapner, Leonard M. (2005). Groszek i słońce: paradoks matematyczny . Wellesley, Massachusetts: AK Peters. ISBN 1-56881-213-2 .
•   Tomkowicz, Grzegorz; Wagon, Stan (2016). Paradoks Banacha-Tarskiego 2. wydanie . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107042599 .

Linki zewnętrzne

• Paradoks Banacha – Tarskiego w ProofWiki
• Paradoks Banacha-Tarskiego autorstwa Stana Wagona ( Macalester College ), projekt Wolfram Demonstrations .
• Nieregularny komiks internetowy! # 2339 autorstwa Davida Morgana-Mara zawiera nietechniczne wyjaśnienie paradoksu. Zawiera demonstrację krok po kroku, jak utworzyć dwie sfery z jednej.
• Vsauce. „Paradoks Banacha – Tarskiego” - za pośrednictwem YouTube zawiera przegląd podstawowych podstaw paradoksu.
• Banach-Tarski i paradoks nieskończonego klonowania