Twierdzenie o komutacji dla śladów

W matematyce twierdzenie o komutacji dla śladów wyraźnie identyfikuje komutanta określonej algebry von Neumanna działającej na przestrzeni Hilberta w obecności śladu .

Pierwszy taki wynik został udowodniony przez Francisa Josepha Murraya i Johna von Neumanna w latach trzydziestych XX wieku i dotyczy algebry von Neumanna generowanej przez grupę dyskretną lub układ dynamiczny związany z mierzalną transformacją z zachowaniem miary prawdopodobieństwa .

Innym ważnym zastosowaniem jest teoria jednolitych reprezentacji jednomodułowych grup lokalnie zwartych , gdzie teoria została zastosowana do reprezentacji regularnej i innych blisko spokrewnionych reprezentacji. W szczególności te ramy doprowadziły do ​​​​abstrakcyjnej wersji twierdzenia Plancherela dla jednomodułowych grup lokalnie zwartych dzięki Irvingowi Segalowi i Forrestowi Stinespringowi oraz abstrakcyjnego twierdzenia Plancherela dla funkcji sferycznych związanych z parą Gelfanda dzięki Rogerowi Godementowi . Ostateczny kształt ich pracy nadał w latach pięćdziesiątych XX wieku Jacques Dixmier w ramach teorii algebr Hilberta .

Dopiero pod koniec lat sześćdziesiątych XX wieku, częściowo zainspirowany wynikami algebraicznej kwantowej teorii pola i kwantowej mechaniki statystycznej dzięki szkole Rudolfa Haaga , opracowano bardziej ogólną, nietrasową teorię Tomita-Takesaki , zwiastując nową erę w teorii algebr von Neumanna.

Twierdzenie o komutacji dla skończonych śladów

Niech H będzie przestrzenią Hilberta , a M algebrą von Neumanna na H z wektorem jednostkowym Ω takim, że

• M Ω jest gęsty w H
• M'Ω jest gęsty w H , gdzie M ' oznacza komutanta M
• ( ab Ω, Ω) = ( ba Ω, Ω) dla wszystkich a , b w M .

Wektor Ω nazywany jest wektorem śladowym rozdzielającym cyklicznie . Nazywa się to wektorem śledzenia, ponieważ ostatni warunek oznacza, że ​​współczynnik macierzy odpowiadający Ω definiuje stan śledzenia na M . Nazywa się to cyklicznym, ponieważ Ω generuje H jako topologiczny M -moduł. Nazywa się to rozdzielaniem, ponieważ jeśli a Ω = 0 dla a w M , to aM' Ω = (0), a zatem a = 0.

Wynika z tego, że mapa

${\ Displaystyle Ja \ Omega = a ^ {*} \ Omega}$

ponieważ a w M definiuje sprzężoną izometrię liniową H z kwadratem tożsamości, J ² = I . Operator J jest zwykle nazywany operatorem koniugacji modularnej .

Natychmiast sprawdza się, czy JMJ i M dojeżdżają do pracy w podprzestrzeni M Ω, tak że

${\ Displaystyle JMJ \ subseteq M ^ {\ pierwsza}.}$

Stwierdza to twierdzenie Murraya i von Neumanna o komutacji

${\ Displaystyle JMJ = M ^ {\ pierwsza}}$

Jednym z najłatwiejszych sposobów sprawdzenia tego jest wprowadzenie K , domknięcia rzeczywistej podprzestrzeni M _sa Ω, gdzie M _sa oznacza elementy samosprzężone w M . Wynika, że

${\ Displaystyle H = K \ oplus iK,}$

ortogonalna suma bezpośrednia części rzeczywistej iloczynu wewnętrznego. To jest po prostu rzeczywisty rozkład ortogonalny dla ±1 przestrzeni własnych J . Z drugiej strony dla a w M _sa i b w M' _sa iloczyn wewnętrzny ( ab Ω, Ω) jest rzeczywisty, ponieważ ab jest samosprzężony. Stąd K jest niezmienione, jeśli M jest zastąpione przez M '.

W szczególności Ω jest wektorem śladowym dla M' , a J pozostaje niezmienione, jeśli M jest zastąpione przez M '. A więc inkluzja przeciwna

${\ Displaystyle JM ^ {\ pierwsza} J \ subseteq M}$

następuje przez odwrócenie ról M i M' .

Przykłady

• Jednym z najprostszych przypadków twierdzenia o komutacji, w którym można to łatwo zobaczyć bezpośrednio, jest grupa skończona Γ działająca na skończoną wymiarową przestrzeń iloczynu wewnętrznego ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (\ Gamma )}$ przez lewą i prawą reprezentację regularną λ i ρ. Te jednolite reprezentacje są podane za pomocą wzorów
  $${\ Displaystyle (\ lambda (g) f) (x) = f(g^{-1}x),\,\,(\rho (g)f)(x)=f(xg)}$$
  dla fa w ${\ Displaystyle \ ell ^ {2} (\ Gamma)}$ i twierdzenie o komutacji implikuje, że
  $${\ Displaystyle \ lambda (\ Gamma) ^ {\ pierwsza \ pierwsza} = \ rho (\ Gamma) ^ {\ pierwsza}, \, \, \ rho (\ Gamma) ^ {\ pierwsza \ pierwsza} = \ lambda ( \Gamma )^{\prim }.}$$
  Operator J jest określony wzorem
  $${\ Displaystyle Jf (g) = {\ overline {f (g ^ {- 1})}}.}$$
  Dokładnie te same wyniki pozostają prawdziwe, jeśli Γ może być dowolną policzalną grupą dyskretną . Algebra von Neumanna λ(Γ)' ' jest zwykle nazywana algebrą grupową von Neumanna Γ.
• Innym ważnym przykładem jest przestrzeń prawdopodobieństwa ( X , μ). Algebra Abela von Neumanna A = L ^∞ ( X , μ) działa poprzez operatory mnożenia na H = L ² ( X , μ), a stała funkcja 1 jest wektorem śladowym rozdzielającym cyklicznie. Wynika, że
  $${\ Displaystyle A' = A,}$$
  tak, że A jest maksymalną podalgebrą abelową B ( H ) , algebrą von Neumanna wszystkich operatorów ograniczonych na H .
• Trzecia klasa przykładów łączy w sobie dwa powyższe. Wychodząc z teorii ergodycznej , była to jedna z pierwotnych motywacji von Neumanna do studiowania algebr von Neumanna. Niech ( X , μ) będzie przestrzenią prawdopodobieństwa i niech Γ będzie przeliczalną dyskretną grupą przekształceń zachowujących miarę ( X , μ). Grupa działa zatem unitarnie na przestrzeni Hilberta H = L ² ( X , μ) zgodnie ze wzorem
  $${\ Displaystyle U_ {g} f (x) = f (g ^ {- 1} x),}$$
  dla f w H i normalizuje algebrę Abela von Neumanna A = L ^∞ ( X , μ). Pozwalać
  $${\ Displaystyle H_ {1} = H \ czasami \ ell ^ {2} (\ Gamma),}$$
  iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta. Konstrukcja przestrzeni grupowo-miarowej lub algebra von Neumanna iloczynu skrzyżowanego
  $${\ Displaystyle M = A \ rtimes \ Gamma}$$
  jest zdefiniowana jako algebra von Neumanna na $)}$ generowana _przez i operatory normalizujące $\ otimes I}$${\ Displaystyle$ . Wektor $_$ _ Ponadto operator koniugacji modularnej J i komutant M ' mogą być jednoznacznie zidentyfikowane.

Jednym z ważniejszych przypadków konstrukcji przestrzeni grupowo-miarowej jest przypadek, gdy Γ jest grupą liczb całkowitych Z , czyli przypadek pojedynczej odwracalnej mierzalnej transformacji T . Tutaj T musi zachować miarę prawdopodobieństwa μ. Półskończone ślady są wymagane do obsługi przypadku, gdy T (lub bardziej ogólnie Γ) zachowuje tylko nieskończoną równoważną miarę; a pełna siła teorii Tomity-Takesakiego jest wymagana, gdy w klasie równoważności nie ma niezmiennej miary, mimo że klasa równoważności miary jest zachowana przez T (lub Γ).

Twierdzenie o komutacji dla śladów półskończonych

Niech M będzie algebrą von Neumanna i M ₊ zbiorem operatorów dodatnich w M . Z definicji ślad półskończony (lub czasami po prostu ślad ) na M jest funkcjonałem τ od M ₊ do [0, ∞] takim, że

1. ${\ Displaystyle \ tau (\ lambda a + \ mu b) = \ lambda \ tau (a) + \ mu \ tau (b)}$ dla a , b w M ₊ i λ, μ ≥ 0 ( półliniowość );
2. ${\ Displaystyle \ tau \ lewo (uau ^ {*} \ prawej) = \ tau (a)}$ dla a w M ₊ i u operatora unitarnego w M ( jednostkowa niezmienność );
3. τ jest całkowicie addytywne na ortogonalnych rodzinach odwzorowań w M ( normalność );
4. każdy rzut w M jest jako prostopadła suma rzutów ze skończonym śladem ( półskończoność ).

Jeżeli dodatkowo τ jest niezerowe na każdej niezerowej projekcji, to τ nazywamy śladem wiernym .

Jeśli τ jest wiernym śladem na M , niech H = L ² ( M , τ) będzie dopełnieniem przestrzeni Hilberta wewnętrznej przestrzeni iloczynu

${\ Displaystyle M_ {0} = \ lewo \ {a \ w M \ środkowy \ tau \ lewo (a ^ {*} a \ prawo) <\ infty \right\}}$

w odniesieniu do produktu wewnętrznego

${\ Displaystyle (a, b) = \ tau \ lewo (b ^ {*} a \ prawo).}$

Algebra von Neumanna M działa przez lewe mnożenie na H i można ją utożsamiać z jej obrazem. Pozwalać

${\ Displaystyle Ja = a ^ {*}}$

₀ dla w M. _ _ Operator J jest ponownie nazywany modułowym operatorem koniugacji i rozciąga się na sprzężoną izometrię liniową H spełniającą J ² = I. Twierdzenie Murraya i von Neumanna o komutacji

${\ Displaystyle JMJ = M ^ {\ pierwsza}}$

jest ponownie ważny w tym przypadku. Wynik ten można udowodnić bezpośrednio różnymi metodami, ale wynika on bezpośrednio z wyniku dla skończonych śladów, poprzez wielokrotne użycie następującego elementarnego faktu:

Jeśli M ₁ ⊇ M ₂ są dwiema algebrami von Neumanna takimi, że p _n M ₁ = p _n M ₂ dla rodziny rzutów p _n w komutantze M ₁ rosnącym do I w topologii silnego operatora , to M ₁ = M ₂ .

Algebry Hilberta

Zobacz także: teoria Tomity – Takesaki

Teoria algebr Hilberta została wprowadzona przez Godementa (pod nazwą „algebry unitarne”), Segala i Dixmiera w celu sformalizowania klasycznej metody definiowania śladu dla operatorów klas śladowych, zaczynając od operatorów Hilberta – Schmidta . Zastosowania w teorii reprezentacji grup w naturalny sposób prowadzą do przykładów algebr Hilberta. Każda algebra von Neumanna wyposażona w półskończony ślad ma powiązaną z nią kanoniczną „ukończoną” lub „pełną” algebrę Hilberta; i odwrotnie, ukończoną algebrę Hilberta dokładnie w tej postaci można kanonicznie powiązać z każdą algebrą Hilberta. Teorię algebr Hilberta można wykorzystać do wydedukowania twierdzeń o komutacji Murraya i von Neumanna; równie dobrze główne wyniki dotyczące algebr Hilberta można również wywnioskować bezpośrednio z twierdzeń o komutacji dla śladów. Teoria algebr Hilberta została uogólniona przez Takesakiego jako narzędzie do udowadniania twierdzeń o komutacji dla wag półskończonych w teorii Tomita-Takesaki ; można ich zrezygnować w kontaktach z państwami.

Definicja

Algebra Hilberta to algebra z inwolucją x → x * i iloczynem wewnętrznym (,) takim, że ZA {\ displaystyle {\ mathfrak $A}}}$

1. ( za , b ) = ( b *, za *) za , b w ZA $\ Displaystyle {\ mathfrak {A}}}$ ;
2. lewe mnożenie przez ustaloną a in jest operatorem ograniczonym ZA $\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$
3. * jest sprzężeniem, innymi słowy ( xy , z ) = ( y , x * z );
4. liniowa rozpiętość wszystkich produktów xy jest gęsta w ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$ .

Przykłady

• Operatory Hilberta-Schmidta w nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta tworzą algebrę Hilberta z iloczynem wewnętrznym ( a , b ) = Tr ( b * a ).
• Jeśli ( X , ^μ ) jest nieskończoną przestrzenią miary , algebra ^jest algebrą Hilberta ze zwykłym iloczynem $wewnętrznym$ z L ² X ) .
• ₀ Jeśli M jest algebrą von Neumanna z wiernym półskończonym śladem τ, to zdefiniowana powyżej *-podalgebrą M jest algebrą Hilberta z iloczynem wewnętrznym ( a , b ) = τ ( b * a ).
• Jeśli G jest jednomodułową lokalnie zwartą grupą , algebra splotów L ¹ ( sol ) ${\ Displaystyle \ cap}$ L ² ( sol ) jest algebrą Hilberta ze zwykłym iloczynem wewnętrznym z L ² ( sol ).
• Jeśli ( G , K ) jest parą Gelfanda , algebra splotu L ¹ ( K \ G / K ) ${\ Displaystyle \ cap}$ L ² ( K \ G / K ) jest algebrą Hilberta ze zwykłym iloczynem wewnętrznym z L ² ( G ); tutaj L ^p ( K \ G / K ) oznacza zamkniętą podprzestrzeń K -biniezmiennych funkcji w L ^p ( G ).
• Każda gęsta *-podalgebra algebry Hilberta jest również algebrą Hilberta.

Nieruchomości

Niech H będzie uzupełnieniem przestrzeni Hilberta $J$ odniesieniu do iloczynu wewnętrznego i niech oznacza rozszerzenie inwolucji do sprzężonej inwolucji liniowej H . Zdefiniuj reprezentację λ i antyreprezentację ρ ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}}$ siebie przez mnożenie w lewo iw prawo: ZA

${\ Displaystyle \ lambda (a) x = topór, \, \, \ rho (a) x = xa.}$

Działania te rozciągają się w sposób ciągły na działania na H . W tym przypadku stwierdza to twierdzenie o komutacji dla algebr Hilberta

${\ Displaystyle \ lambda ({\ mathfrak {A}}) ^ {\ pierwsza \ pierwsza} = \ rho ({\ mathfrak {A}}) ^ {\ pierwsza} }$

Ponadto jeśli

${\ Displaystyle M = \ lambda ({\ mathfrak {A}}) ^ {\ pierwsza \ pierwsza},}$

algebra von Neumanna wygenerowana przez operatory λ( a ), a następnie

${\ Displaystyle JMJ = M ^ {\ pierwsza}}$

Wyniki te zostały niezależnie udowodnione przez Godementa (1954) i Segala (1953) .

Dowód opiera się na pojęciu „elementów ograniczonych” w uzupełnieniu przestrzeni Hilberta H .

się , że element x w H jest ograniczony ${\ displaystyle {\ mathfrak {A}}$ względem ), jeśli odwzorowanie na H rozciąga się na $}$ ograniczony operator na H , oznaczony przez λ( x ). W tym przypadku łatwo udowodnić, że:

• Jx jest również elementem ograniczonym, oznaczonym jako x *, a λ( x *) = λ( x )*;
• a → ax jest dane przez ograniczony operator ρ( x ) = J λ( x *) J na H ;
• M ' jest generowane przez ρ( x ) z x ograniczonym;
• λ( x ) i ρ( y ) dojeżdżają do x , y ograniczone.

Twierdzenie o komutacji wynika bezpośrednio z ostatniego twierdzenia. W szczególności

$${\ Displaystyle M = \ lambda ({\ mathfrak {B}}) ''.}$$

Przestrzeń wszystkich elementów ograniczonych $Hilberta$$algebrę$ zawierającą jako gęstą * -podalgebrę Mówi się, że jest $ukończony$ lub pełny , $ponieważ$ każdy element w H ograniczony względem musi faktycznie już leżeć Funkcjonalny τ na M ₊ zdefiniowany przez

$${\ Displaystyle \ tau (x) = (a, a)}$$

jeśli x = λ ( a )* λ ( a ) i ∞ w przeciwnym razie daje wierny półskończony ślad na M z

$${\ Displaystyle M_ {0} = {\ mathfrak {B}}.}$$

Zatem:

Istnieje zgodność jeden-jeden między algebrami von Neumanna na H z wiernym półskończonym śladem i pełnymi algebrami Hilberta z dopełnieniem przestrzeni Hilberta H.

Zobacz też

• algebry von Neumanna
• Operator stowarzyszony
• Teoria Tomity-Takesakiego

Notatki

•   Bratteli, O.; Robinson, DW (1987), Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, wydanie drugie , Springer-Verlag, ISBN 3-540-17093-6
•   Connes, A. (1979), Sur la théorie non commutative de l'intégration , Lecture Notes in Mathematics, tom. (Algèbres d'Opérateurs), Springer-Verlag, s. 19–143, ISBN 978-3-540-09512-5
•   Dieudonné, J. (1976), Traktat o analizie, tom. II , Prasa Akademicka, ISBN 0-12-215502-5
• Dixmier, J. (1957), Les algèbres d'operateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann , Gauthier-Villars
•   Dixmier, J. (1981), algebry Von Neumanna , Holandia Północna, ISBN 0-444-86308-7 (tłumaczenie angielskie)
•   Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1
•   Dixmier, J. (1977), algebry C * , Holandia Północna, ISBN 0-7204-0762-1 (tłumaczenie angielskie)
• Godement, R. (1951), „Mémoire sur la théorie des caractères dans les groupes localement compacts unimodulaires”, J. Math. Pures Appl. , 30 : 1–110
•   Godement, R. (1954), "Théorie des caractères. I. Algèbres unitaires", Ann. z matematyki. , Annals of Mathematics, 59 (1): 47–62, doi : 10.2307/1969832 , JSTOR 1969832
•   Murray, FJ ; von Neumann, J. (1936), "O pierścieniach operatorów", Ann. z matematyki. , 2, Annals of Mathematics, 37 (1): 116–229, doi : 10.2307/1968693 , JSTOR 1968693
•   Murray, FJ ; von Neumann, J. (1937), "O pierścieniach operatorów II", przeł. Amer. Matematyka soc. , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, 41 (2): 208–248, doi : 10.2307/1989620 , JSTOR 1989620
•   Murray, FJ ; von Neumann, J. (1943), "O pierścieniach operatorów IV", Ann. z matematyki. , 2, Annals of Mathematics, 44 (4): 716–808, doi : 10.2307/1969107 , JSTOR 1969107
•   Pedersen, GK (1979), algebry C * i ich grupy automorfizmów , London Mathematical Society Monographs, tom. 14, Prasa Akademicka, ISBN 0-12-549450-5
• Rieffel, MA; van Daele, A. (1977), „Ograniczone podejście operatora do teorii Tomity – Takesaki”, Pacific J. Math. , 69 : 187–221, doi : 10.2140/pjm.1977.69.187
•   Segal, IE (1953), „Nieprzemienne rozszerzenie abstrakcyjnej integracji”, Ann. z matematyki. , Annals of Mathematics, 57 (3): 401–457, doi : 10.2307/1969729 , JSTOR 1969729 (sekcja 5)
•   Simon, B. (1979), Trace ideały i ich zastosowania , London Mathematical Society Lecture Note Series, tom. 35, Cambridge University Press, ISBN 0-521-22286-9
•   Takesaki, M. (1979), Teoria algebr operatorów I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42914-X
•   Takesaki, M. (2002), Theory of Operator Algebras II , Springer-Verlag, ISBN 3-540-42248-X