Wielki odwrócony zadarty dwudziestościan

Wielki odwrócony zadarty dwudziestościan

Typ	Jednolity wielościan gwiazdy
Elementy	F = 92, E = 150 V = 60 (χ = 2)
Twarze po bokach	(20+60){3}+12{5/2}
Diagram Coxetera
Symbol Wythoffa	\| 5/3 2 3
Grupa symetrii	I, [5,3] ⁺ , 532
Odnośniki do indeksu	U ₆₉ , C ₇₃ , W ₁₁₆
Podwójny wielościan	Wielki odwrócony pięciokątny sześciokąt
figura wierzchołka	3 ⁴ .5/3
skrót Bowersa	Gisid

Model 3D wielkiego odwróconego dwudziestościanu zadartego

W geometrii wielki odwrócony dwunastościan z zadarciem (lub wielki dwudziestościan wierzchołkowy ) jest jednolitym wielościanem gwiazdy , indeksowanym jako U ₆₉ . Podano mu symbol Schläfliego sr { 5 / 3,3 } i diagram Coxetera-Dynkina . W książce Polyhedron Models autorstwa Magnusa Wenningera wielościan jest błędnie nazywany wielkim zadartym dwudziestościanem i odwrotnie.

współrzędne kartezjańskie

Współrzędne kartezjańskie wierzchołków wielkiego odwróconego dwudziestościanu zadartego są wszystkie parzystymi permutacjami

(±2α, ±2, ±2β),

(±(α−βτ−1/τ), ±(α/τ+β−τ), ±(−ατ−β/τ−1)), (±

( ατ−β/τ+1), ±(−α−βτ+1/τ), ±(−α/τ+β+τ)), (±(ατ−β/τ−1), ±(α

+ βτ+1/τ), ±(−α/τ+β−τ)) i

(±(α−βτ+1/τ), ±(−α/τ−β−τ), ±(−ατ−β /τ+1)),

z parzystą liczbą znaków plus, gdzie

α = ξ-1/ξ

I

β = −ξ/τ+1/τ ² −1/(ξτ),

gdzie τ = (1+ √ 5 )/2 jest złotym środkiem , a ξ jest większym dodatnim rozwiązaniem rzeczywistym dla ξ ³ −2ξ=−1/τ, czyli w przybliżeniu 1,2224727. Biorąc nieparzyste permutacje powyższych współrzędnych z nieparzystą liczbą znaków plus, otrzymujemy inną postać, enancjomorf drugiej .

Promień okręgu dla jednostkowej długości krawędzi wynosi

{\ Displaystyle R = {\ Frac {1} {2}}} {\ sqrt {\ Frac {2-x} {1-x}}} = 0,816081 \ kropki }

gdzie ${\ Displaystyle x}$ jest odpowiednim pierwiastkiem ${\ Displaystyle x ^ {3} + 2x ^ {2} = {\ duży (}{\ tfrac { 1\pm {\sqrt {5}}}{2}}{\Duży)}^{2}}$ . Cztery pozytywne rzeczywiste korzenie sekstyku w R $\ Displaystyle R ^ {2},}$

{\ Displaystyle 4096R ^ {12} -27648R ^ {10} + 47104R ^ {8} -35776R ^ { 6}+13872R^{4}-2696R^{2}+209=0}

to promienie okalające dwudziestościan zadarty (U ₂₉ ), dwudziestościan wielki zadarty ( U ₅₇ ), dwudziestościan wielki odwrócony zadarty ( U ₆₉ ) i dwudziestościan wielki retrosnub ( U ₇₄ ).

Powiązane wielościany

Wielki odwrócony pięciokątny sześciokąt

Wielki odwrócony pięciokątny sześciokąt

Typ	Gwiazda wielościanu
Twarz
Elementy	F = 60, E = 150 V = 92 (χ = 2)
Grupa symetrii	I, [5,3] ⁺ , 532
Odnośniki do indeksu	DU ₆₉
podwójny wielościan	Wielki odwrócony zadarty dwudziestościan

Model 3D wielkiego odwróconego pięciokątnego sześciokąta

Wielki odwrócony pięciokątny sześciościan (lub płatkowy trisicosahedron ) to niewypukły wielościan izoedryczny . Składa się z 60 wklęsłych pięciokątnych ścian, 150 krawędzi i 92 wierzchołków.

Jest to podwójny z jednolitego wielkiego odwróconego icosidodecahedron wielkiego odwróconego.

Proporcje

Oznacz złoty podział przez ${\ displaystyle \ phi}$ . Niech $będzie$ $dodatnim$ wielomianu . Wtedy każda pięciokątna ściana ma cztery równe kąty $\ Displaystyle \ arccos (\ xi) \ około 75,357 \, 903 \, 417 \, 42 ^ {\ circ}}$ i jeden kąt ${\ Displaystyle 360 ^ {\ circ} - \ arccos (- \ phi ^ {- 1} + \ phi ^ {- 2} \ xi) \ około 238,568 \ 386 \$ . Każda ściana ma trzy długie i dwie krótkie krawędzie. stosunek ${\ displaystyle l}$ między długościami długich i krótkich krawędzi jest podane przez

{\ Displaystyle l = {\ Frac {2-4 \ xi ^ {2}} {1-2 \ xi}} \ około 3,528 \ 053 \ ,034\,81}

.

Kąt dwuścienny jest równy ${\ Displaystyle \ arccos (\ xi / (\ xi + 1)) \ około 78,359 \, 199 \, 060 \, 62 ^ {\cyrk}}$ . Część każdej ściany leży wewnątrz bryły, dlatego jest niewidoczna w modelach bryłowych. Pozostałe dwa zera wielomianu $rolę$ w opisie wielkiego pięciokąta sześciokątnego i wielki pentagramowy heksekontahedr .

Zobacz też

Wenninger, Magnus (1983), modele podwójne , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5 , MR 0730208 s. 126

Linki zewnętrzne