Zmienna silnika

W matematyce funkcja zmiennej motorycznej jest funkcją z argumentami i wartościami na płaszczyźnie liczb zespolonych , podobnie jak funkcje zmiennej zespolonej obejmują zwykłe liczby zespolone . William Kingdon Clifford ukuł termin silnik dla operatora kinematycznego w swoim „Wstępnym szkicu biquaternions” (1873). Używał podzielonych liczb zespolonych dla skalarów w swoich podzielonych biquaternions . Zmienna silnika jest tutaj używana zamiast zmienna typu split-complex dla eufonii i tradycji.

Na przykład,

${\ Displaystyle f (z) = u (z) + j \ v (z), \ z = x + jy, \ x, y \ w R, \ quad j ^ {2} = + 1, \ quad u ( z),v(z)\w R.}$

Funkcje zmiennej silnikowej zapewniają kontekst do rozszerzenia analizy rzeczywistej i zapewniają zwartą reprezentację odwzorowań płaszczyzny. Jednak teoria ta znacznie odbiega od teorii funkcji na zwykłej płaszczyźnie zespolonej . Niemniej jednak niektóre aspekty konwencjonalnej analizy złożonej mają interpretację podaną za pomocą zmiennych motorycznych, a bardziej ogólnie w analizie hiperzłożonej .

Funkcje elementarne

Niech D = ${\ Displaystyle \ {z = x + jy: x, y \ w R \}}$ , płaszczyzna złożona z podziałem. Następujące przykładowe funkcje f mają dziedzinę i zakres w D :

Działanie hiperbolicznego wersora $u = \ exp (aj) = \ cosh a + j \ sinh$ Displaystyle a } Transformacja afiniczna

${\ Displaystyle f (z) = uz + c \ }$ . Kiedy c = 0, funkcja jest równoważna mapowaniu przez ściskanie .

Funkcja do kwadratu nie ma analogii w zwykłej arytmetyce zespolonej. Pozwalać

${\ Displaystyle f (z) = z ^ {2} \ }$ i zauważ, że ${\ Displaystyle f (- 1)=f(j)=f(-j)=1.\ }$

W rezultacie cztery ćwiartki są odwzorowane w jeden, składnik tożsamości :

${\ Displaystyle U_ {1} = \ {z \ in D: \ mid y \ mid <x \}}$ .

Zauważ, że ${\ Displaystyle zz ^ {*} = 1 \ }$ tworzy hiperbolę jednostkową ${\ Displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}$ . Zatem odwzajemnienie

${\ Displaystyle f (z) = 1/z = z ^ {*}/\ mid z \ mid ^ { 2}{\text{gdzie}}\mid z\mid ^{2}=zz^{*}}$

obejmuje hiperbolę jako krzywą odniesienia w przeciwieństwie do okręgu w C.

Liniowe przekształcenia ułamkowe

Korzystając z koncepcji linii rzutowej na pierścieniu , tworzona jest linia rzutowa P( D ). Konstrukcja wykorzystuje jednorodne współrzędne ze składnikami liczb zespolonych. Prosta rzutowa P( D ) jest przekształcana przez liniowe przekształcenia ułamkowe :

$\ Displaystyle [z: 1] {\ rozpocząć {pmatrix} a & c \\ b & d \ koniec {pmatrix}} = [ az + b: cz + d],}$ czasami pisane

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {az + b} {cz + d}}}$ pod warunkiem, że cz + d jest jednostką w D .

Elementarne liniowe przekształcenia ułamkowe obejmują

• obroty hiperboliczne ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} u & 0 \\ 0 i 1 \ koniec {pmatrix}},}$
• tłumaczenia ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i 0 \\ t & 1 \ koniec {pmatrix}},}$ i
• inwersja ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ 1 i 0 \ koniec {pmatrix}}.}$

Każdy z nich ma odwrotność, a kompozycje wypełniają grupę liniowych przekształceń ułamkowych. Zmienna motoryczna charakteryzuje się kątem hiperbolicznym we współrzędnych biegunowych, a kąt ten jest zachowywany przez ułamkowe transformacje liniowe zmiennej motorycznej, tak jak kąt kołowy jest zachowywany przez transformacje Möbiusa zwykłej płaszczyzny zespolonej. Transformacje zachowujące kąty nazywane są konforemnymi , więc liniowe transformacje ułamkowe są mapami konforemnymi .

Obszary ograniczające transformacje można porównać: na przykład na zwykłej płaszczyźnie zespolonej transformata Cayleya przenosi górną półpłaszczyznę na dysk jednostkowy , ograniczając go w ten sposób. Odwzorowanie komponentu tożsamości U ₁ z D na prostokąt zapewnia porównywalne działanie ograniczające:

${\ Displaystyle f (z) = {\ Frac {1} {z + 1/2}}, \ quad f: U_ {1} \ do T}$

gdzie T = { z = x + j y : | y | < x < 1 lub | y | < 2 – x gdy 1 ≤ x <2}.

Aby zrealizować liniowe przekształcenia ułamkowe jako bijekcje na linii rzutowej, stosuje się kompaktację D. Zobacz sekcję podaną poniżej.

Exp, log i pierwiastek kwadratowy

Funkcja wykładnicza przenosi całą płaszczyznę D do U ₁ :

${\ Displaystyle e ^ {x} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ ponad n!} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x^{2n}}{(2n)!}}+\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}= \cosh x+\sinh x}$ .

Zatem gdy x = b j, to ex ^jest wersorem hiperbolicznym. Dla ogólnej zmiennej motorycznej z = a + b j, mamy

${\ Displaystyle e ^ {z} = e ^ {a} (\ cosh b + j \ \ sinh b) \ }$ .

W teorii funkcji zmiennej motorycznej szczególną uwagę należy zwrócić na funkcje pierwiastkowe i logarytmiczne. W szczególności płaszczyzna podzielonych liczb zespolonych składa się z czterech połączonych składników ${\ Displaystyle \ {U_ {1}, -U_ {1}, jU_ {1},-jU_{1}\},}$ oraz zbiór punktów osobliwych, które nie mają odwrotności: przekątne z = x ± x j, x ∈ R . Składnik tożsamości , a mianowicie { z : x > | y | } = U ₁ , jest zakresem funkcji kwadratowej i wykładniczej. Jest to zatem dziedzina funkcji pierwiastka kwadratowego i logarytmu. Pozostałe trzy ćwiartki nie należą do dziedziny, ponieważ pierwiastek kwadratowy i logarytm są zdefiniowane jako jeden do jednego funkcji kwadratowej i funkcji wykładniczej.

Graficzny opis logarytmu D został podany przez Mottera i Rosę w artykule „Hyperbolic Calculus” (1998).

Funkcje D-holomorficzne

Cauchy'ego -Riemanna , które charakteryzują funkcje holomorficzne w dziedzinie na płaszczyźnie zespolonej, mają odpowiednik dla funkcji zmiennej motorycznej. Podejście do funkcji D-holomorficznych z wykorzystaniem pochodnej Wirtingera podali Motter i Rossa:

Funkcja f = u + j v nazywana jest D-holomorficzną kiedy

${\ Displaystyle 0 \ = \ ({\ częściowe \ nad \ częściowe x} -j {\ częściowe \ nad \ częściowe y}) (u + jv) = \ u_ {x} -j ^ {2} v_ {y} +j(v_{x}-u_{y}).}$

Biorąc pod uwagę składniki rzeczywiste i urojone, spełnia funkcję D-holomorficzną

${\ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, \ quad v_ {x} = u_ {y}.}$

Równania te zostały opublikowane w 1893 roku przez Georga Scheffersa , dlatego nazwano je warunkami Scheffersa .

Porównywalne podejście w teorii funkcji harmonicznych można zobaczyć w tekście Petera Durena. Jest oczywiste, że składowe u i v funkcji D-holomorficznej f spełniają równanie falowe , związane z D'Alembertem , podczas gdy składowe funkcji C-holomorficznych spełniają równanie Laplace'a .

Lekcje La Platy

Na Uniwersytecie Narodowym w La Plata w 1935 roku JC Vignaux, ekspert w dziedzinie zbieżności szeregów nieskończonych , napisał cztery artykuły na temat zmiennej motorycznej do corocznego periodyku uniwersyteckiego. Jest jedynym autorem wstępnej, aw sprawie pozostałych konsultował się z kierownikiem swojego wydziału A. Durañona y Vedia. W Sobre las series de numeros complejos hiperbolicos mówi (s. 123):

Ten system hiperbolicznych liczb zespolonych [zmiennych motorycznych] jest bezpośrednią sumą dwóch pól izomorficznych z ciałem liczb rzeczywistych; Właściwość ta pozwala na eksplikację teorii szeregów i funkcji hiperbolicznej zmiennej zespolonej poprzez wykorzystanie własności pola liczb rzeczywistych.

Następnie przechodzi na przykład do uogólnienia twierdzeń Cauchy'ego, Abela, Mertensa i Hardy'ego na dziedzinę zmiennej motorycznej.

W głównym artykule, cytowanym poniżej, rozważa funkcje D-holomorficzne i spełnienie równania d'Alemberta przez ich składowe. Prostokąt o bokach równoległych do przekątnych y = x i y = - x nazywa prostokątem izotropowym , ponieważ jego boki leżą na izotropowych liniach . Kończy swoje streszczenie tymi słowami:

Prostokąty izotropowe odgrywają fundamentalną rolę w tej teorii, ponieważ tworzą dziedziny istnienia dla funkcji holomorficznych, dziedziny zbieżności szeregów potęgowych i dziedziny zbieżności szeregów funkcyjnych.

Vignaux zakończył swoją serię sześciostronicową notatką na temat przybliżenia funkcji D-holomorficznych w jednostkowym prostokącie izotropowym za pomocą wielomianów Bernsteina . Chociaż w tej serii jest kilka błędów typograficznych, a także kilka technicznych potknięć, Vignaux udało się wytyczyć główne linie teorii, która leży między rzeczywistą a zwykłą analizą zespoloną. Tekst jest szczególnie imponujący jako dokument instruktażowy dla uczniów i nauczycieli ze względu na jego wzorcowe rozwinięcie z elementów. Co więcej, cała wycieczka jest zakorzeniona w „swoim stosunku do Émile'a Borela ”, aby potwierdzić jej motywację.

Zmienna birealna

W 1892 Corrado Segre przypomniał algebrę tesarine jako liczby dwuzespolone . W naturalny sposób powstała podalgebra tesaryn rzeczywistych, którą zaczęto nazywać liczbami birealnymi .

W 1946 roku U. Bencivenga opublikował esej na temat liczb podwójnych i liczb zespolonych z podziałem, w którym użył terminu liczba birealna. Opisał również niektóre z teorii funkcji zmiennej bireal. Esej był studiowany na Uniwersytecie Kolumbii Brytyjskiej w 1949 roku, kiedy Geoffrey Fox napisał swoją pracę magisterską „Teoria funkcji elementarnych zmiennej hiperzłożonej i teoria odwzorowania konforemnego w płaszczyźnie hiperbolicznej”. Na stronie 46 Fox donosi: „Bencivenga wykazał, że funkcja zmiennej birealistycznej odwzorowuje płaszczyznę hiperboliczną na siebie w taki sposób, że w tych punktach, dla których pochodna funkcji istnieje i nie znika, kąty hiperboliczne są zachowane w odwzorowaniu”.

G. Fox przedstawia rozkład biegunowy zmiennej dwurzeczywistej i omawia ortogonalność hiperboliczną . Wychodząc od innej definicji, udowadnia na stronie 57

Twierdzenie 3.42: Dwa wektory są wzajemnie ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory jednostkowe są wzajemnymi odbiciami na jednej z przekątnych przechodzących przez 0.

Fox skupia się na ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta, \ gamma, \ delta}$ transformacjach dwuliniowych” $\ Displaystyle w = {\ Frac {\ alfa z + \ beta } {\ gamma z + \ delta}}}$ , δ w to stałe birealistyczne. Aby poradzić sobie z osobliwością, powiększa płaszczyznę o jeden punkt w nieskończoności (strona 73).

Wśród jego nowatorskich wkładów w teorię funkcji znajduje się koncepcja systemu powiązanego . Fox pokazuje, że dla birealistycznego k jest satysfakcjonujące

( za - b ) ² < | k | < ( za + b ) ²

hiperbole

| z | = a ² i | z - k | = b ²

nie przecinają się (tworzą zazębiony system). Następnie pokazuje, że ta właściwość jest zachowywana przez dwuliniowe przekształcenia zmiennej birealistycznej.

zagęszczanie

Multiplikatywna funkcja odwrotna jest tak ważna, że ​​podejmuje się ekstremalne środki, aby uwzględnić ją w odwzorowaniach geometrii różniczkowej . Na przykład płaszczyzna zespolona jest zwijana do sfery Riemanna w przypadku zwykłej arytmetyki zespolonej. W przypadku arytmetyki ze złożonymi rozszczepionymi zamiast kuli stosuje się hiperboloidę : ${\ Displaystyle H = \ {(x, y, z): z ^ {2} + x ^ {2} -y ^ {2} = 1 \}.} Podobnie jak$ w przypadku sfery Riemanna, metodą jest rzut stereograficzny z P = (0, 0, 1) do t = ( x , y , 0) do hiperboloidy. Prosta L = Pt jest sparametryzowana przez s w ${\ Displaystyle L = \ {(sx, sy, 1-s): s \ w R \}}$ tak, że mija P , gdy s wynosi zero, a t , gdy s wynosi jeden.

Z H ∩ L wynika, że

${\ Displaystyle (1-s) ^ {2} + (sx) ^ {2} - (sy) ^ {2} = 1, {\ tekst {tak, że}} \ quad s = {\ Frac {2} 1+x^{2}-y^{2}}}.}$

Jeśli t jest na stożku zerowym , to s = 2 i (2 x , ±2 x , – 1) jest na H , przeciwne punkty (2 x , ±2 x , 1) tworzą stożek światła w nieskończoności , czyli obraz stożka zerowego pod inwersją.

Zauważ, że dla t z ${\ Displaystyle y ^ {2}> 1 + x ^ {2},}$ s jest ujemne. Wynika z tego, że promień wsteczny przechodzący przez P do t zapewnia punkt na H . Te punkty t znajdują się powyżej i poniżej sprzężenia hiperboli z hiperbolą jednostkową.

Kompaktowanie musi być zakończone w P ³ R o współrzędnych jednorodnych ( w, x, y, z ), gdzie w = 1 określa używaną dotychczas przestrzeń afiniczną ( x, y, z ). Hiperboloida H jest absorbowana w stożku rzutowym $\ Displaystyle \ {(w, x, y, z) \ w P ^ {3} R: z ^ {2} + x ^ {2} = y ^ {2} + w ^ {2} \ },}$ , która jest przestrzenią zwartą .

Walter Benz dokonał zagęszczenia, korzystając z mapowania opracowanego przez Hansa Becka. Isaak Yaglom zilustrował dwuetapowe zagęszczanie jak powyżej, ale z płaszczyzną rozszczepionego kompleksu styczną do hiperboloidy. W 2015 roku Emanuello i Nolder przeprowadzili zagęszczenie, najpierw osadzając płaszczyznę silnika w torusie , a następnie czyniąc ją rzutową, identyfikując punkty antypodalne .

• Francesco Catoni, Dino Boccaletti i Roberto Cannata (2008) Matematyka czasoprzestrzeni Minkowskiego , Birkhäuser Verlag , Bazylea. Rozdział 7: Funkcje zmiennej hiperbolicznej.
• Shahram Dehdasht + siedem innych osób (2021) „Conformal Hyperbolic Optics”, Physical Review Research 3,033281 doi : 10.1103/PhysRevResearch.3.033281