Karol Ferdynand Degen

Carl Ferdinand Degen (1 listopada 1766-08 kwietnia 1825) był duńskim matematykiem . Jego najważniejszy wkład dotyczył teorii liczb iw decydujący sposób doradzał młodemu, początkującemu norweskiemu matematykowi Nielsowi Henrikowi Abelowi . Degenowi przypisuje się w dużej mierze wprowadzenie bardziej nowoczesnej i zaawansowanej matematyki do duńsko-norweskiego systemu szkolnego.

Urodził się w Brunszwiku w Niemczech , ale rodzina przeniosła się do Kopenhagi w 1771 roku, kiedy jego ojciec Johan Philip Degen dostał posadę w Królewskiej Duńskiej Orkiestrze . Jako muzyk miał niską pensję, ale jego syn Carl Ferdinand otrzymał stypendium, dzięki któremu mógł chodzić do szkoły w Helsingør . Ukończył tam studia w 1783 i kontynuował naukę na Uniwersytecie Kopenhaskim . Zamiast podążać normalną ścieżką studiów, młody Degen podążał za własnymi zainteresowaniami i czytał języki klasyczne , filozofię , nauki przyrodnicze , aw szczególności matematykę . Kiedy uniwersytet w 1792 roku po raz pierwszy ogłosił konkurs na esej z nagrodami w kilku różnych dziedzinach z nagrodą 40 riksdalerów w każdej, Degen zdobył nagrodę zarówno w teologii , jak iw matematyce. Biegle władał łaciną , greką i hebrajskim , dobrze znał języki romańskie i germańskie , czytał po rosyjsku i polsku . W tym okresie był nauczycielem matematyki dla młodego księcia, który później został królem Danii Chrystianem VIII . W 1798 Degen został doktorem filozofii na podstawie tezy o filozofii Kanta i został wybrany do Królewskiej Duńskiej Akademii Nauk i Literatury w 1800.

W 1802 Degen otrzymał swoją pierwszą posadę naukową jako główny nauczyciel matematyki i fizyki w szkole katedralnej w Odense . Po kilku latach został mianowany rektorem odpowiedniej szkoły w Viborgu . Pozostał tam do 1814 roku, kiedy został profesorem matematyki na Uniwersytecie w Kopenhadze. Chociaż jego wykłady nie były tak dobrze zorganizowane, był kochany przez swoich studentów i nasycał kursy nową i bardziej nowoczesną matematyką. Jednocześnie prowadził własne badania i publikował wyniki w wielu różnych kierunkach. wówczas najbardziej cenionym matematykiem w Skandynawii .

Kiedy Niels Henrik Abel jako student odwiedził Degena w Kopenhadze, opisał go jako bardzo miłego, ale trochę dziwnego, z dużą, prywatną biblioteką. Degen pozostał tam aż do swojej śmierci w 1825 roku. Z tego powodu nie dożył wielkiej sławy, jaką młody Abel uzyskał wkrótce potem dzięki odkryciu funkcji eliptycznych , do którego zachęcał Degen. Został pochowany na Assistens Kirkegård w Nørrebro w Kopenhadze.

Wkłady matematyczne

Degen pracował w wielu gałęziach ówczesnej współczesnej matematyki. Większość jego wkładów dotyczyła problemów z zakresu teorii liczb , ale pisał także prace z geometrii i mechaniki .

Równanie Pella

W 1817 roku Degen wydrukował swoją obszerną pracę na temat podstawowych rozwiązań ( x , y ) równania Pella x ² – ny ² = 1, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą. Euler wykazał wcześniej, że można je systematycznie obliczać za pomocą ułamków ciągłych . Degen zastosował tę metodę i przedstawił rozwiązania całkowitoliczbowe dla wszystkich n < 1000. Te same obliczenia dały również przybliżone, ale bardzo dokładne wyniki racjonalne dla pierwiastka kwadratowego z n . Ponadto znalazł również rozwiązania równania sprzężonego z −1 po prawej stronie dla wartości n , gdy istniały. Te tabele wyników liczbowych stały się w następnych latach standardowym odniesieniem do równania Pella.

Tożsamość ośmiu kwadratów

Chociaż jego pracę nad równaniem Pella można uznać za kontynuację wcześniejszych wkładów Eulera , Lagrange'a i Legendre'a w ten problem, odkrycie przez Degena tożsamości ośmiu kwadratów było jego najważniejszym i oryginalnym odkryciem. Najprawdopodobniej wynikało to z jego prób uogólnienia równania Pella.

Tożsamość dwóch kwadratów

${\ Displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2}) (c ^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}}$

znany był od czasów Diofantosa . Pod koniec XVII wieku wyjaśniła, dlaczego norma iloczynu dwóch liczb zespolonych jest równa iloczynowi ich norm . Mniej więcej w tym samym czasie Euler wykazał, że istnieje również podobna tożsamość czterech kwadratów . Później okazało się, że ma to związek z normą kwaternionów odkrytą przez Williama Rowana Hamiltona . W 1818 roku Degen przedstawił Akademii Nauk w Petersburgu , gdzie pracował Euler, swoją ośmiokwadratową tożsamość o dokładnie takiej samej strukturze jak dwie poprzednie tożsamości. W następnym roku został wybrany jako „członek korespondent” tego samego towarzystwa akademickiego.

Jego praca nad tożsamością ośmiu kwadratów została po raz pierwszy opublikowana w 1822 r. Prawie trzydzieści lat później jego tożsamość została ponownie odkryta przez Johna T. Gravesa i Arthura Cayleya , zgodnie z normą oktonionów . Były one rozszerzeniem kwaternionów Hamiltona. W 1898 roku Adolf Hurwitz udowodnił, że takie tożsamości obejmujące 2 ^k kwadratów mogą istnieć tylko dla k = 0, 1, 2 i 3 .

Spotkanie z Ablem

W 1821 roku Niels Henrik Abel był bardzo zdolnym uczniem ostatniej klasy szkoły katedralnej w Oslo . Był przekonany, że znalazł sposób na rozwiązanie równania kwintycznego . Żaden z jego nauczycieli ani profesorów na Uniwersytecie w Oslo nie mógł znaleźć niczego złego w jego pracy. Profesor astronomii Christopher Hansteen zasugerował wówczas, aby artykuł został opublikowany przez Akademię Nauk w Kopenhadze. W ten sposób trafił w ręce Degena do oceny. Ponownie nie mógł wskazać żadnych błędów, ale poprosił, aby najpierw wypróbować tę nową metodę na praktycznym przykładzie. W liście do Hansteena zaproponował równanie x ⁵ − 2 x ⁴ + 3 x ² − 4 x + 5 = 0. Zakończył list życzeniem, aby

... czas i wysiłki, które w moich oczach pan Abel poświęca temu raczej jałowemu tematowi, należy zainwestować w problem, którego rozwój będzie miał największe konsekwencje dla analizy matematycznej i jej zastosowań w badaniach praktycznych. Odnoszę się do transcendentali eliptycznych. Poważny badacz z odpowiednimi kwalifikacjami do badań tego rodzaju nie byłby w żaden sposób ograniczony do wielu dziwnych i pięknych właściwości tych najbardziej niezwykłych funkcji, ale mógłby odkryć Cieśninę Magellana prowadzącą na rozległe przestrzenie rozległego Oceanu Analitycznego.

Wkrótce okaże się to bardzo proroczą radą. Sam Abel wkrótce odkrył błąd w swoich badaniach równania kwintycznego, ale nadal pracował nad istnieniem rozwiązań. Dwa lata później mógł udowodnić, że na ogół nie mają one rozwiązań algebraicznych .

Zalecenie Degena, aby zamiast tego skoncentrować się na całce eliptycznej, najprawdopodobniej wywarło pewne wrażenie na młodym studencie. Latem 1823 roku Abel przebywał z krótką wizytą w Kopenhadze, gdzie spotkał Degena. W liście do swojego przyjaciela i byłego nauczyciela Bernta Michaela Holmboe z Oslo napisał, że skonstruował funkcje eliptyczne poprzez odwrócenie odpowiednich całek . W następnym roku w liście do Degena mógł zgłosić, że te nowe funkcje miały dwa okresy . Chociaż odkrycie to wyznacza początek nowej i bardzo ważnej gałęzi współczesnej matematyki, Abel czekał z publikacją swoich wyników. Stało się to po raz pierwszy w 1827 roku. Degen w międzyczasie zmarł i dlatego nie był świadomy pięknych odkryć, których dokonał Abel i które prorokował.