Magiczny sześciokąt

Rząd n = 1 M = 1	Rząd n = 3 M = 38

Sześciokąt magiczny rzędu n to układ liczb w wyśrodkowanym układzie sześciokątnym z n komórkami na każdej krawędzi, w taki sposób, że liczby w każdym rzędzie we wszystkich trzech kierunkach sumują się do tej samej magicznej stałej M . Normalny sześciokąt magiczny zawiera kolejne liczby całkowite od 1 do 3 n ² − 3 n + 1. Okazuje się, że normalne sześciokąty magiczne istnieją tylko dla n = 1 (co jest trywialne, ponieważ składa się tylko z 1 komórki) i n = 3. Co więcej, rozwiązanie rzędu 3 jest zasadniczo unikalne. Meng dał również mniej skomplikowany konstruktywny dowód .

Magiczny sześciokąt rzędu 3 był wielokrotnie publikowany jako „nowe” odkrycie. Wczesną wzmianką i prawdopodobnie pierwszym odkrywcą jest Ernst von Haselberg (1887).

Dowód normalnych magicznych sześciokątów

Liczby w sześciokącie są kolejne i biegną od 1 do ${\ Displaystyle 3n ^ {2} -3n + 1}$ . Stąd ich suma jest liczbą trójkątną , a mianowicie

${\ Displaystyle s = {1 \ ponad {2}}(3n^{2}-3n+1)(3n^{2}-3n+2)={9n^{4}-18n^{3}+18n^{2}-9n+2 \ponad {2}}}$

W dowolnym kierunku (EW, NE-SW lub NW-SE) biegnie r = 2 n − 1 rzędów. Każdy z tych wierszy sumuje się do tej samej liczby M . Dlatego:

${\ Displaystyle M = {s \ ponad {r}} = {9n ^ {4} -18n ^{3}+18n^{2}-9n+2 \ponad {2(2n-1)}}}$

Można to przepisać jako

${\ Displaystyle M = \ lewo ({\ Frac {9n ^ {3}} {4} }-{\frac {27n^{2}}{8}}+{\frac {45n}{16}}-{\frac {27}{32}}\right)+{\frac {5}{32 \lewo(2n-1\prawo)}}}$

Mnożenie przez 32 daje

${\ Displaystyle 32M = 72n ^ {3} -108n ^ {2} + 90n-27 + {5 \ ponad 2n-1} }$

co pokazuje, że musi być liczbą całkowitą, stąd 2 $1 musi$ - współczynnikiem 5, a mianowicie 2 - = ± 1 2 n − 1 = ±5. Jedynymi , które spełniają ten warunek, są $displaystyle$$n = 1}$ i $3}$ , co dowodzi, że nie ma normalnych magicznych sześciokątów rzędu 1 i 3.

Nienormalne magiczne sześciokąty

Chociaż nie ma normalnych magicznych sześciokątów o kolejności większej niż 3, istnieją pewne nienormalne. W tym przypadku nienormalne oznacza rozpoczęcie sekwencji liczb inaczej niż od 1. Arsen Zahray odkrył te sześciokąty rzędu 4 i 5:

Zamów 4 mln = 111	Zamów 5 mln = 244

Sześciokąt rzędu 4 zaczyna się od 3 i kończy na 39, a jego wiersze sumują się do 111. Sześciokąt rzędu 5 zaczyna się od 6, a kończy na 66 i sumuje się do 244.

Kolejność 5 sześciokątów zaczynająca się od 15, kończąca się na 75 i sumująca do 305 jest następująca:

Wyższa suma niż 305 dla zamówienia 5 sześciokątów nie jest możliwa.

Zamów 5 sześciokątów, gdzie „X” to symbole zastępcze dla zamówienia 3 sześciokątów, które uzupełniają sekwencję numerów. Lewy zawiera sześciokąt o sumie 38 (liczby od 1 do 19), a prawy jeden z 26 sześciokątów o sumie 0 (liczby od -9 do 9). Aby uzyskać więcej informacji, odwiedź artykuł w niemieckiej Wikipedii .

Sześciokąt rzędu 6 można zobaczyć poniżej. Został stworzony przez Louisa Hoelblinga, 11 października 2004:

Zaczyna się od 21, kończy na 111, a jego suma wynosi 546.

Ten magiczny sześciokąt rzędu 7 został odkryty za pomocą symulowanego wyżarzania przez Arsena Zahraya 22 marca 2006 r .:

Zaczyna się od 2, kończy na 128, a jego suma wynosi 635.

Magiczny sześciokąt rzędu 8 został wygenerowany przez Louisa K. Hoelblinga 5 lutego 2006 r .:

Zaczyna się od −84 i kończy na 84, a jego suma wynosi 0.

Magiczne T-sześciokąty

Sześciokąty można również konstruować z trójkątów, jak pokazano na poniższych diagramach.

Zamówienie 2	Zamów 2 z numerami 1–24

Ten typ konfiguracji można nazwać sześciokątem T i ma on znacznie więcej właściwości niż sześciokąt sześciokątów.

Podobnie jak powyżej, rzędy trójkątów biegną w trzech kierunkach, aw sześciokącie T rzędu 2 są 24 trójkąty. Ogólnie rzecz biorąc, sześciokąt T rzędu n ma ${\ Displaystyle 6n ^ {2}}$ trójkąty. Suma wszystkich tych liczb jest dana wzorem:

${\ Displaystyle S = 3n ^ {2} (6n ^ {2} + 1)}$

Jeśli spróbujemy skonstruować magiczny T-sześciokąt o boku n , musimy wybrać parzyste n , ponieważ jest r = 2 n wierszy, więc suma w każdym wierszu musi wynosić

${\ Displaystyle M = {\ Frac {S} {R}} = {\ Frac {3n ^ {2} (6n ^ {2} + 1 )}{2n}}}$

Aby to było liczbą całkowitą, n musi być parzyste. Do tej pory odkryto magiczne sześciokąty T rzędu 2, 4, 6 i 8. Pierwszym był magiczny sześciokąt T rzędu 2, odkryty przez Johna Bakera 13 września 2003 r. Od tego czasu John współpracuje z Davidem Kingiem, który odkrył, że istnieje 59 674 527 nieprzystających magicznych sześciokątów T rzędu 2.

Magiczne sześciokąty T mają wiele właściwości wspólnych z magicznymi kwadratami, ale mają też swoje własne cechy szczególne. Najbardziej zaskakujące jest to, że suma liczb w trójkątach skierowanych w górę jest taka sama jak suma liczb w trójkątach skierowanych w dół (bez względu na to, jak duży jest sześciokąt T). W powyższym przykładzie

17 + 20 + 22 + 21 + 2 + 6 + 10 + 14 + 3 + 16 + 12 + 7 = 5

+ 11 + 19 + 9 + 8 + 13 + 4 + 1 + 24 + 15 + 23 + 18 =

150

Notatki

• Piekarz. JE and King, DR (2004) „Wykorzystanie schematu wizualnego do znalezienia właściwości sześciokąta” Visual Mathematics, tom 5, numer 3
• Baker, JE i Baker, AJ (2004) „Sześciokąt, wybór natury” Archimedes, tom 4

Zobacz też

• Sześciokątny problem żółwia
• Magiczny heksagram