Kwadrat antymagiczny

Antymagiczny kwadrat rzędu n to taki układ liczb od 1 do n 2 w kwadracie, że sumy n wierszy , n kolumn i dwóch przekątnych tworzą ciąg 2 n + 2 kolejnych liczb całkowitych . Najmniejsze kwadraty antymagiczne mają rząd 4. Kwadraty antymagiczne kontrastują z kwadratami magicznymi , gdzie każdy wiersz, kolumna i suma przekątnych muszą mieć tę samą wartość.

Przykłady

Zamów 4 antymagiczne kwadraty


↙ 34 		2 15 5 13 → 35
16 3 7 12 → 38
9 8 14 1 → 32
6 4 11 10 → 31

↓ 33
↓ 30
↓ 37
↓ 36
↘ 29

↙ 32 		1 13 3 12 → 29
15 9 4 10 → 38
7 2 16 8 → 33
14 6 11 5 → 36

↓ 37
↓ 30
↓ 34
↓ 35
↘ 31

W obu tych antymagicznych kwadratach rzędu 4 rzędy, kolumny i przekątne sumują się do dziesięciu różnych liczb z zakresu 29–38.

Zamów 5 antymagicznych kwadratów

5 8 20 9 22
19 23 13 10 2
21 6 3 15 25
11 18 7 24 1
12 14 17 4 16
21 18 6 17 4
7 3 13 16 24
5 20 23 11 1
15 8 19 2 25
14 12 9 22 10

W antymagicznym kwadracie rzędu 5 po lewej stronie rzędy, kolumny i przekątne sumują się do liczb od 60 do 71. W antymagicznym kwadracie po prawej stronie rzędy, kolumny i przekątne sumują się do liczb z zakresu 59–70 .

Otwarte problemy

Następujące pytania dotyczące antymagicznych kwadratów nie zostały rozwiązane. [ potrzebne źródło ]

  • Ile istnieje antymagicznych kwadratów danego rzędu?
  • Czy kwadraty antymagiczne istnieją dla wszystkich rzędów większych niż 3?
  • Czy istnieje prosty dowód na to, że nie istnieje żaden antymagiczny kwadrat rzędu 3?

Uogólnienia

Rzadki antymagiczny kwadrat (SAM) to kwadratowa macierz o rozmiarze n na n nieujemnych liczb całkowitych, których niezerowe wpisy są kolejnymi liczbami całkowitymi dla pewnego , i którego sumy wierszy i sum kolumn stanowią zbiór kolejnych liczb całkowitych. Jeśli przekątne są zawarte w zbiorze kolejnych liczb całkowitych, tablica jest znana jako rzadki całkowicie antymagiczny kwadrat (STAM). Należy zauważyć, że STAM niekoniecznie jest SAM i odwrotnie.

Wypełnienie kwadratu n × n liczbami od 1 do n 2 w kwadracie, tak że suma wierszy, kolumn i przekątnych daje różne wartości, nazwano heterokwadratem . (Jest to zatem relaksacja, w której nie są wymagane żadne określone wartości dla sum wierszy, kolumn i przekątnych.) Nie ma heterokwadratów rzędu 2, ale istnieją heterokwadraty dla dowolnego rzędu n ≥ 3: jeśli n jest nieparzyste , wypełnienie kwadrat we wzorze spiralnym da heterokwadrat, a jeśli n jest parzyste , heterokwadrat wynika z zapisania liczb od 1 do n 2 w kolejności, a następnie zamiany 1 i 2. Podejrzewa się, że istnieje dokładnie 3120 zasadniczo różnych heterokwadratów rzędu 3 .

Zobacz też


Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Antimagic_square&oldid=1135427641 ”