Asocjacyjny magiczny kwadrat

Na kwadracie Lo Shu pary przeciwnych liczb sumują się do 10

Fragment z Melencolia I przedstawiający kwadrat asocjacyjny 4 × 4

Asocjacyjny magiczny kwadrat to magiczny kwadrat , dla którego każda para liczb symetrycznie przeciwnych do środka sumuje się do tej samej wartości. Dla n × n wypełnionego liczbami od 1 do n ² ta wspólna suma musi być równa n ² + 1. Kwadraty te nazywane są również skojarzonymi kwadratami magicznymi , zwykłymi kwadratami magicznymi , kwadratami regmagicznymi lub symetrycznymi kwadratami magicznymi .

Przykłady

Na przykład Kwadrat Lo Shu – unikalny magiczny kwadrat 3 × 3 – jest asocjacyjny, ponieważ każda para przeciwległych punktów tworzy linię kwadratu wraz z punktem środkowym, więc suma dwóch przeciwległych punktów jest równa sumie linia minus wartość punktu środkowego, niezależnie od tego, które dwa przeciwległe punkty zostaną wybrane. Magiczny kwadrat 4 × 4 z ryciny Melencolia I Albrechta Dürera z 1514 r . - również znaleziony w liście Benjamina Franklina z 1765 r . - jest również asocjacyjny, a każda para przeciwnych liczb sumuje się do 17.

Istnienie i wyliczanie

Liczby możliwych asocjacyjnych n × n magicznych kwadratów dla n = 3,4,5,…, licząc dwa kwadraty jako takie same, ilekroć różnią się one tylko obrotem lub odbiciem, to:

1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (sekwencja A081262 w OEIS )

Liczba zero dla n = 6 jest przykładem bardziej ogólnego zjawiska: asocjacyjne magiczne kwadraty nie istnieją dla wartości n , które są pojedynczo parzyste (równe 2 modulo 4). Każdy asocjacyjny magiczny kwadrat parzystego rzędu tworzy pojedynczą macierz , ale asocjacyjne magiczne kwadraty nieparzystego rzędu mogą być pojedyncze lub nieosobliwe.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. , „Asocjacyjny magiczny kwadrat” , MathWorld