Magiczny hipersześcian
W matematyce magiczny hipersześcian to k -wymiarowe uogólnienie magicznych kwadratów i magicznych kostek , to znaczy tablica liczb całkowitych n × n × n × ... × n , taka, że sumy liczb na każdym filarze (wzdłuż dowolnego osi), jak również na głównych przekątnych przestrzeni są takie same. Wspólna suma nazywana jest magiczną stałą hipersześcianu i czasami jest oznaczana jako M k ( n ). Jeśli magiczny hipersześcian składa się z liczb 1, 2, ..., n k , to ma liczbę magiczną
- .
Dla k = 4 magiczny hipersześcian można nazwać magicznym tesseraktem , z sekwencją liczb magicznych podaną przez OEIS : A021003 .
Długość boku n magicznego hipersześcianu nazywamy jego rzędem . Cztero-, pięcio-, sześcio-, siedmio- i ośmiowymiarowe magiczne hipersześciany rzędu trzeciego zostały skonstruowane przez JR Hendricksa .
Marian Trenkler udowodnił następujące twierdzenie: p -wymiarowy hipersześcian magiczny rzędu n istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy p > 1 oraz n jest różne od 2 lub p = 1. Z dowodu wynika konstrukcja hipersześcianu magicznego.
Język programowania R zawiera moduł, library(magic)
, który tworzy magiczne hipersześciany o dowolnym wymiarze z n będącym wielokrotnością 4.
Doskonałe magiczne hipersześciany
Jeśli dodatkowo liczby na każdej przekątnej przekroju również sumują się do magicznej liczby hipersześcianu, hipersześcian nazywany jest idealnym hipersześcianem magicznym ; w przeciwnym razie nazywa się to półdoskonałym magicznym hipersześcianem . Liczba n nazywana jest rzędem magicznego hipersześcianu.
Ta definicja „doskonałego” zakłada, że używana jest jedna ze starszych definicji idealnych magicznych kostek. Uniwersalny system klasyfikacji hipersześcianów (John R. Hendricks) wymaga, aby dla dowolnego wymiaru hipersześcianu wszystkie możliwe linie sumowały się poprawnie, aby hipersześcian można było uznać za doskonałą magię. Z powodu pomyłki z terminem doskonały , nasik jest obecnie preferowanym terminem dla każdego magicznego hipersześcianu, w którym wszystkie możliwe linie sumują się do S . Nasik został w ten sposób zdefiniowany przez C. Plancka w 1905 r 1/2 komórek . Magiczny hipersześcian nasik ma (3 n - 1) wierszy m liczb przechodzących przez każdą z m n .
Magiczne hipersześciany Nasika
hipersześcian Nasik to magiczny hipersześcian z dodatkowym ograniczeniem, że wszystkie możliwe linie przechodzące przez każdą komórkę sumują się poprawnie do gdzie S = magiczna stała, m = kolejność, a n = wymiar hipersześcianu.
Lub, mówiąc bardziej zwięźle, wszystkie pan- r -agony sumują się poprawnie dla r = 1... n . Ta definicja jest taka sama jak definicja doskonałości Hendricksa , ale różni się od definicji Boyera/Trumpa.
Termin nasik odnosiłby się do wszystkich wymiarów magicznych hipersześcianów, w których liczba prawidłowo sumujących się ścieżek (linii) przechodzących przez dowolną komórkę hipersześcianu wynosi P = (3 n - 1)/2
Pandiagonalny magiczny kwadrat byłby wtedy kwadratem nasik , ponieważ 4 linie magiczne przechodzą przez każdą z komórek m 2 . To była oryginalna definicja nasika AH Frosta. kostka nasika miałaby 13 magicznych linii przechodzących przez każdą z jej m 3 komórek. (Ten sześcian zawiera również 9 m pandiagonalnych magicznych kwadratów rzędu m .) Magiczny tesserakt nasik miałby 40 linii przechodzących przez każdą z jego m 4 komórek.
I tak dalej.
Historia
W 1866 i 1878 r. wielebny AH Frost ukuł termin Nasik dla rodzaju magicznego kwadratu, który powszechnie nazywamy pandiagonalnym i często nazywamy idealnym . Następnie zademonstrował tę koncepcję za pomocą sześcianu rzędu 7, który obecnie klasyfikujemy jako pandiagonalny , oraz sześcianu rzędu 8, który klasyfikujemy jako pantrójkątny . W innym artykule z 1878 roku pokazał inny magiczny sześcian pandiagonalny i sześcian, w którym wszystkie 13- metrowe linie sumują się poprawnie, tj. Hendricks jest doskonały . Odniósł się do wszystkich tych sześcianów jako nasik jako szacunek dla wielkiego indyjskiego matematyka DR Kaprekar , który pochodzi z Deolali w dystrykcie Nasik w stanie Maharasztra w Indiach . W 1905 roku dr Planck rozwinął ideę nasika w swojej Teorii ścieżek Nasik. We wstępie do swojego artykułu napisał;
Analogia sugeruje, że w wyższych wymiarach powinniśmy używać terminu nasik jako sugerującego istnienie sumowań magicznych równoległych do dowolnej przekątnej, a nie ograniczać go do przekątnych w odcinkach równoległych do ścian płaskich. Termin ten jest używany w tym szerszym znaczeniu w całym artykule.
— C. Planck, MA,MRCS, The Theory of Paths Nasik, 1905
W 1917 roku dr Planck ponownie napisał na ten temat.
Nietrudno zauważyć, że jeśli przesuniemy analogię Nasika do wyższych wymiarów, liczba magicznych kierunków przechodzących przez dowolną komórkę k-krotnego musi wynosić ½(3 k -1).
— WS Andrews, Magic Squares and Cubes, Dover Publ., 1917, strona 366
W 1939 roku B. Rosser i RJ Walker opublikowali serię artykułów na temat diabolicznych (doskonałych) magicznych kwadratów i kostek. Wspomnieli konkretnie, że sześciany te zawierały 13 m 2 poprawnie sumujących się linii. Mieli także 3 m pandiagonalnych magicznych kwadratów równoległych do ścian sześcianu i 6 m pandiagonalnych magicznych kwadratów równoległych do płaszczyzn trójkąta.
Notacje
aby mieć wszystko pod ręką, opracowano specjalny zapis:
- : pozycje w hipersześcianie
- : wektor przechodzący przez hipersześcian
Uwaga: Notacja dla pozycji może być również użyta dla wartości na tej pozycji. Następnie, tam gdzie jest to właściwe, można do niego dodać wymiar i porządek, tworząc w ten sposób: n [ k i] m
Jak wskazano, „k” przebiega przez wymiary, podczas gdy współrzędna „i” przebiega przez wszystkie możliwe wartości, gdy wartości „i” są poza zakresem, po prostu cofa się do zakresu, dodając lub odejmując odpowiednie wielokrotności m, ponieważ magiczny hipersześcian znajduje się w n-wymiarowej przestrzeni modułowej.
W nawiasie może znajdować się wiele „k”, nie mogą one mieć tej samej wartości, chociaż w nieokreślonej kolejności, co wyjaśnia równość:
Oczywiście przy danym 'k' jest mowa również o jednej wartości 'i'. Gdy wymieniona jest konkretna wartość współrzędnych, inne wartości można przyjąć jako 0, co ma szczególnie miejsce, gdy ilość „k” jest ograniczona za pomocą pe. #k=1 jak w:
(„osiowy” - sąsiad )
(#j=n-1 można pozostawić nieokreślone) j przebiega teraz przez wszystkie wartości w [0..k-1,k+1..n-1].
Dalej: bez ograniczeń podane „k” oraz „i” przebiegają przez wszystkie możliwe wartości, w kombinacjach te same litery przyjmują takie same wartości. W ten sposób umożliwia określenie określonej linii w hipersześcianie (patrz r-agonalny w sekcji Pathfinder)
Uwaga: o ile mi wiadomo, ta notacja nie jest jeszcze w powszechnym użyciu (?), Hipersześciany nie są ogólnie analizowane w ten szczególny sposób.
Dalej: „ perm(0..n-1) ” określa permutację n liczb 0..n-1.
Budowa
Oprócz bardziej szczegółowych konstrukcji zauważalne są jeszcze dwie bardziej ogólne metody konstrukcji:
Konstrukcja KnightJump
Ta konstrukcja uogólnia ruch koni na szachownicy (wektory do bardziej ogólnych ruchów (wektory 0 ). Metoda zaczyna się od pozycji P, a kolejne liczby są kolejno umieszczane na pozycjach dalej, aż (po m krokach) zostanie osiągnięta pozycja, która jest już zajęta, potrzebny jest kolejny wektor, aby znaleźć pozycja. Zatem metodę określa macierz n na n+1:
To ustawia liczbę „k” na pozycji:
C. Planck podaje w swoim artykule z 1905 roku „ Teoria Path Nasik ” warunki do tworzenia tą metodą „Path Nasik” (lub nowoczesnych {perfect}) hipersześcianów.
Konstrukcja recepty łacińskiej
0 (równania modułowe). Ta metoda jest również określona przez macierz n na n+1. Jednak tym razem mnoży wektor n+1 [x ,..,x n-1 ,1], Po tym mnożeniu wynik przyjmuje moduł m, aby uzyskać n (łac.) hipersześcianów:
LP k = ( l=0 Σ n-1 LP k,l x l + LP k,n ) % m
podstawników m liczb (zwanych też „ cyframi ”). Na tych LP k „ zmiana cyfr ” (tj. Podstawowa manipulacja) jest generalnie stosowana przed połączeniem tych LP k w hipersześcian:
n H m = k=0 Σ n-1 LP k m k
JRHendricks często używa równania modułowego, warunki tworzenia hipersześcianów o różnej jakości można znaleźć na http://www.magichypercubes.com/Encyclopedia w kilku miejscach (zwłaszcza w sekcji p)
Obie metody wypełniają hipersześcian liczbami, skok rycerski gwarantuje (przy odpowiednich wektorach), że każda liczba jest obecna. Recepta łacińska tylko wtedy, gdy elementy są ortogonalne (żadne dwie cyfry nie zajmują tej samej pozycji)
Mnożenie
Spośród różnych sposobów łączenia, mnożenie można uznać za najbardziej podstawową z tych metod. Podstawowe mnożenie jest podane przez:
n H m 1 * n H m 2 : n [ k ja] m 1 m 2 = n [ [[ k ja \ m 2 ] m 1 m 1 n ] m 2 + [ k ja % m 2 ] m 2 ] m 1m 2 _
Większość metod łączenia można postrzegać jako wariacje powyższego. Ponieważ większość kwalifikatorów jest niezmienna podczas mnożenia, można na przykład umieścić dowolny aspektowy wariant n H m 2 w powyższym równaniu , poza tym na wyniku można zastosować manipulację w celu poprawy jakości . Można więc określić podwojenie JR Hendricksa / M. Trenklara. Te rzeczy wykraczają poza zakres tego artykułu.
Aspekty
Hipersześcian zna n! 2 n Warianty aspektowe, które są uzyskiwane przez odbicie współrzędnych ([ k i] --> [ k (-i)]) i permutacje współrzędnych ([ k i] --> [ perm[k] i]) skutecznie dając wariant:
n Hm ~ R perm(0..n-1) ; R = k=0 Σ n-1 ((odbicie (k)) ? 2 k : 0) ; perm(0..n-1) permutacja 0..n-1
Tam, gdzie odbicie(k) prawdziwa współrzędna iff jest odzwierciedlona k, tylko wtedy 2 k jest dodawane do R. Jak łatwo zauważyć, tylko n współrzędnych może być odzwierciedlone wyjaśniając 2 n , n! permutacja n współrzędnych wyjaśnia drugi czynnik całkowitej liczby „wariantów aspektowych”!
Warianty aspektowe są ogólnie postrzegane jako równe. Zatem każdy hipersześcian może być przedstawiony w „normalnej pozycji” przez:
[ k 0] = min([ k θ ; θ ε {-1,0}]) (przez odbicie) [ k 1 ; #k=1] < [ k+1 1 ; #k=1] ; k = 0..n-2 (przez permutację współrzędnych)
(wyraźnie podane tutaj: [ k 0] minimum wszystkich punktów narożnych. Osiowy sąsiad sekwencyjnie na podstawie liczby osiowej)
Podstawowe manipulacje
Oprócz bardziej szczegółowych manipulacji, poniższe mają charakter bardziej ogólny
- #[perm(0..n-1)] : permutacja składowa
- ^[perm(0..n-1)] : permutacja współrzędnych (n == 2: transpozycja)
- _2 oś [perm(0..m-1)] : permutacja monagonalna (oś ε [0..n-1])
- =[perm(0..m-1)] : zmiana cyfry
Uwaga: „#”, „^”, „_” i „=” są istotną częścią notacji i służą jako selektory manipulacji.
Permutacja składowa
Zdefiniowane jako wymiana składników, zmieniając w ten sposób współczynnik m k w m perm(k) , ponieważ istnieje n hipersześcianów składowych, permutacja dotyczy tych n składowych
Permutacja współrzędnych
Zamiana współrzędnej [ k i] na [ perm(k) i], ponieważ ze względu na n współrzędnych wymagana jest permutacja po tych n kierunkach. Termin transpozycja (zwykle oznaczany przez t ) jest używany z macierzami dwuwymiarowymi, chociaż ogólnie być może preferowana byłaby „permutacja współrzędnych”.
Permutacja monagonalna
Zdefiniowane jako zmiana [ ki ] na [ k perm(i) ] wzdłuż danego kierunku „osiowego”. Równe permutacje wzdłuż różnych osi można łączyć, dodając czynniki 2 oś . Definiując w ten sposób wszystkie rodzaje permutacji r-agonalnych dla dowolnego r. Łatwo zauważyć, że wszystkie możliwości są dane przez odpowiednią permutację m liczb.
Należy zauważyć, że odbicie jest szczególnym przypadkiem:
~R = _R[n-1,...,0]
Ponadto, gdy wszystkie osie przechodzą tę samą permutację (R = 2 n -1), uzyskuje się permutację n-agonalną . W tym szczególnym przypadku „R” jest zwykle pomijane, więc:
_[perm(0..n-1)] = _(2 n -1)[perm(0..n-1)]
Zmiana cyfr
Zwykle jest stosowany na poziomie komponentu i może być postrzegany jako podany przez [ ki ] w perm ([ ki ] ), ponieważ komponent jest wypełniony podstawami m cyfr, permutacja po m liczbach jest odpowiednim sposobem ich oznaczenia.
tropiciele
JR Hendricks nazwał kierunki w hipersześcianach „ tropicielami ”. Kierunki te są najprościej oznaczone w potrójnym systemie liczbowym jako:
Pf p gdzie: p = k=0 Σ n-1 ( k ja + 1) 3 k <==> < k ja> ; ja ε {-1,0,1}
Daje to 3 n kierunków. ponieważ każdy kierunek jest pokonywany w obie strony, można ograniczyć się do górnej połowy [(3 n -1)/2,..,3 n -1)] pełnego zakresu.
Za pomocą tych wyszukiwarek ścieżek można określić dowolną linię, która ma zostać zsumowana (lub r-agonalna):
0 [ j k l q ; #j=1 #k=r-1 ; k > jot ] < jot 1 k θ l 0 ; θ ε {-1,1} > ; p,q ε [0,..,m-1]
który określa wszystkie (łamane) r-agonały, zakresy p i q można pominąć w tym opisie. Główne (nieprzerwane) r-agony są zatem podane przez niewielką modyfikację powyższego:
0 0 [ j k l -1 s p ; #j=1 #k+#l=r-1 ; k, l > j ] < jot 1 k 1 l -1 s 0 >
Kwalifikacje
Hipersześcian n H m z liczbami z zakresu liczb analitycznych [0..m n -1] ma magiczną sumę:
n S m = m (m n - 1) / 2.
Oprócz bardziej szczegółowych kwalifikacji najważniejsze są następujące, „sumowanie” oznacza oczywiście „poprawne sumowanie do magicznej sumy”
- { r-agonalny } : wszystkie główne (nieprzerwane) r-agonalne sumują się.
- { pan r-agonal } : wszystkie (nieprzerwane i łamane) r-agony sumują się.
- { magic } : {1-agonalny n-agonalny}
- { doskonały } : {pan r-agonalny; r = 1..n}
Uwaga: ta seria nie zaczyna się od 0, ponieważ nill-agonalny nie istnieje, liczby odpowiadają zwykłemu nazywaniu: 1-agonal = monagonalny, 2-agonal = przekątna, 3-agonalny = trójkątny itd. Poza tym liczba odpowiada ilości „-1” i „1” w odpowiednim wyszukiwarce ścieżek.
W przypadku, gdy hipersześcian również sumuje się, gdy wszystkie liczby są podnoszone do potęgi p, otrzymujemy p-multimagiczne hipersześciany. Powyższe kwalifikatory są po prostu dodawane do kwalifikatora p-multimagic. To definiuje kwalifikacje jako {r-agonal 2-magic}. Tutaj również „2-” jest zwykle zastępowane przez „bi”, „3-” przez „tri” itd. („1-magiczny” byłby „monomagiczny”, ale „mono” jest zwykle pomijany). Sumę hipersześcianów p-Multimagic można znaleźć za pomocą wzoru Faulhabera i podzielić przez m n-1 .
Zwykle przyjmuje się również „magiczny” (tj. {1-agonal n-agonal}), sześcian Trumpa/Boyera {przekątna} jest technicznie widziany jako {1-agonal 2-agonal 3-agonal}.
Magiczny hipersześcian Nasik podaje argumenty przemawiające za używaniem { nasik } jako synonimu { doskonały }. Dziwne uogólnienie kwadratu „doskonały” na użycie go jako synonimu {diagonal} w kostkach jest jednak również rozwiązywane przez umieszczenie kwalifikatorów w nawiasach klamrowych, więc { perfect } oznacza {pan r-agonal; r = 1..n} (jak wspomniano powyżej).
niektóre drobne kwalifikacje to:
- { n zwarty } : {wszystkie rzędy 2 kostek podrzędnych sumują się do 2 n n S m / m}
- { n kompletne } : {wszystkie pary dzielą na pół n-agonalną sumę równą (to (m n - 1)}
{ n zwarty } można zapisać w notacji jako: (k) Σ [ j ja + k 1] = 2 n n S m / m . { n zupełny } można po prostu zapisać jako: [ j i] + [ j i + k (m/2) ; #k=n ] = m n - 1 . Gdzie: (k) Σ jest symbolem sumowania wszystkich możliwych k, istnieje 2 n możliwości dla k 1. [
j i + k 1] wyraża [ j i] i wszystkich jego r-agonalnych sąsiadów. dla {complete} dopełnienie [ j i] znajduje się na pozycji [ j i + k (m/2) ; #k=n].
dla kwadratów: { 2 zwarty 2 kompletny } to „nowoczesna/alternatywna kwalifikacja” tego, co Dame Kathleen Ollerenshaw nazwała najdoskonalszym magicznym kwadratem , { n zwarty n kompletny } to kwalifikator funkcji w więcej niż 2 wymiarach Uwaga: niektórzy ludzie wydaje się utożsamiać {compact} z { 2 compact} zamiast { n compact}. Ponieważ ten artykuł wprowadzający nie jest miejscem do omawiania tego rodzaju zagadnień, umieściłem wymiarowy indeks górny n
dla obu tych kwalifikatorów (które są zdefiniowane jak pokazano) konsekwencją { n compact} jest to, że kilka figur również się sumuje, ponieważ można je utworzyć przez dodanie/odjęcie rzędu 2 pod-hipersześcianów. Kwestie tego typu wykraczają poza zakres tego artykułu.
Magiczny hiperpromień
Magiczna hiperwiązka ( n-wymiarowy magiczny prostokąt ) to odmiana magicznego hipersześcianu, w której rzędy wzdłuż każdego kierunku mogą być różne. Jako taki magiczny hiperpromień uogólnia dwuwymiarowy magiczny prostokąt i trójwymiarowy magiczny promień , serię, która naśladuje serię magiczny kwadrat , magiczną kostkę i magiczną hipersześcian. Ten artykuł będzie szczegółowo naśladował artykuł o magicznych hipersześcianach i tak jak ten artykuł służy jedynie jako wprowadzenie do tematu.
Konwencje
Zwyczajowo wymiar oznacza się literą „n”, a rzędy hiperwiązki literą „m” (z dodanym numerem kierunku, którego dotyczy).
- ( n ) Wymiar : ilość kierunków w hiperwiązce.
- ( m k ) Porządek : liczba liczb wzdłuż k -tego monagonalnego k = 0, ..., n − 1.
używany jest zakres liczb analitycznych [0.. k=0 Π n-1 m k -1].
Notacje
aby mieć wszystko pod ręką, opracowano specjalny zapis:
- [ k ja; k=[0..n-1]; i=[0..m k -1] ] : pozycje w hiperwiązce
- < ki ; k=[0..n-1]; i=[0..m k -1] > : wektory przechodzące przez hiperwiązkę
Uwaga: Notacja dla pozycji może być również użyta dla wartości na tej pozycji. Tam gdzie jest to odpowiedni wymiar i można do niego dodać rzędy tworząc w ten sposób: n [ ki ] 0 m ,..,m n-1
Budowa
Podstawowy
Opis bardziej ogólnych metod można by tu umieścić, nieczęsto tworzę hyperbeamy, więc nie wiem czy Knightjump czy Latin Prescription tu działają. Czasami wystarczą inne, bardziej adhoc metody, gdy potrzebuję hiperwiązki.
Mnożenie
Spośród różnych sposobów łączenia, mnożenie można uznać za najbardziej podstawową z tych metod. Podstawowe mnożenie jest podane przez:
n B (m..) 1 * n B (m..) 2 : n [ k ja] (m..) 1 (m..) 2 = n [ [[ k ja \ m k2 ]] (m. .) 1 k=0 Π n-1 m k1 ] (m..) 2 + [ k i % m k2 ] (m..) 2 ] (m..) 1 (m..) 2
0
(m..) skróty: m ,..,m n-1 . (m..) 1 (m..) 2 skróty: m 0 1 m 0 2 ,..,m n-1 1 m n-1 2 .
ciekawostki
wszystkie zamówienia są parzyste lub nieparzyste
Fakt, który można łatwo zauważyć, ponieważ sumy magiczne to:
S k = m k ( j=0 Π n-1 m j - 1) / 2
Kiedy którykolwiek z rzędów m k jest parzysty, iloczyn jest parzysty, a zatem jedyny sposób, w jaki S k okazuje się liczbą całkowitą, to sytuacja, w której wszystkie m k są parzyste. Wystarczy więc: wszystkie m k są albo parzyste, albo nieparzyste.
Jest to oczywiście z wyjątkiem m k = 1, co pozwala na ogólne tożsamości, takie jak:
- Nm t = Nm ,1 * N1 ,m
- Nm = N 1,m * Nm ,1
Co wykracza poza zakres tego artykułu wprowadzającego
Tylko jeden kierunek z zamówieniem = 2
ponieważ każda liczba ma tylko jedno uzupełnienie, tylko jeden z kierunków może mieć m k = 2.
Aspekty
Hiperwiązka zna 2 n wariantów aspektowych, które uzyskuje się przez współrzędne odbicia ([ k i] --> [ k (-i)]), skutecznie dając wariant aspektowy:
nB 0 (m..mn - ) ~ 1 R ; R = k=0 Σ n-1 ((odbicie (k)) ? 2 k : 0) ;
Tam, gdzie odbicie (k) true iff coördinate k jest odzwierciedlone, tylko wtedy do R dodaje się 2 k .
W przypadku, gdy ktoś postrzega różne orientacje wiązki jako równe, można zobaczyć liczbę aspektów n! 2 n Podobnie jak w przypadku magicznych hipersześcianów , kierunki o równych rzędach składają się na współczynniki zależne od rzędów hiperwiązki. Wykracza to poza zakres tego artykułu.
Podstawowe manipulacje
Oprócz bardziej szczegółowych manipulacji, poniższe mają charakter bardziej ogólny
- ^[perm(0..n-1)] : permutacja współrzędnych (n == 2: transpozycja)
- _2 oś [perm(0..m-1)] : permutacja monagonalna (oś ε [0..n-1])
Uwaga: „^” i „_” są istotną częścią notacji i są używane jako selektory manipulacji.
Permutacja współrzędnych
Zamiana współrzędnych na [ k i] na [ perm(k) i], ponieważ n współrzędnych wymaga permutacji po tych n kierunkach. Termin transpozycja (zwykle oznaczany przez t ) jest używany z macierzami dwuwymiarowymi, chociaż ogólnie może preferowana byłaby „permutacja współrzędnych”.
Permutacja monagonalna
Zdefiniowane jako zmiana [ ki ] na [ k perm(i) ] wzdłuż danego kierunku „osiowego”. Równe permutacje wzdłuż różnych osi z równymi rzędami można połączyć, dodając czynniki 2 oś . Definiując w ten sposób wszystkie rodzaje permutacji r-agonalnych dla dowolnego r. Łatwo zauważyć, że wszystkie możliwości są dane przez odpowiednią permutację m liczb.
normalna pozycja
W przypadku, gdy nie są brane pod uwagę żadne ograniczenia dotyczące n-kątów, magiczna hiperwiązka może być przedstawiona w „normalnej pozycji” przez:
[ k ja] < [ k (i+1)] ; i = 0..m k -2 (przez permutację monagonalną)
Kwalifikacja
Kwalifikacja hiperwiązki jest mniej rozwinięta niż w przypadku magicznych hipersześcianów, w rzeczywistości tylko k-ty kierunek monagonalny musi sumować się do:
S k = m k ( j=0 Π n-1 m j - 1) / 2
dla wszystkich k = 0..n-1 aby hiperwiązka była kwalifikowana { magic }
Gdy rzędy nie są względnie pierwsze, sumę n-agonalną można ograniczyć do:
S = lcm(m ja ; i = 0..n-1) ( j=0 Π n-1 m j - 1) / 2
przy wszystkich zamówieniach stosunkowo pierwszorzędnych osiąga maksimum:
S max = j=0 Π n-1 m jot ( j=0 Π n-1 m j - 1) / 2
Specjalne hiperwiązki
Następujące hiperwiązki służą celom specjalnym:
„Normalna hiperwiązka”
n N 0 m ,..,m n-1 : [ k ja] = k=0 Σ n-1 k ja m k k
Ta hiperwiązka może być postrzegana jako źródło wszystkich liczb. Procedura zwana „numeracją dynamiczną” wykorzystuje izomorfizm każdej hiperwiązki z tą normalną, zmieniając źródło, zmienia hiperwiązkę. Podstawowe multiplikacje normalnych hiperwiązek odgrywają szczególną rolę w „Dynamicznej numeracji” magicznych hipersześcianów rzędu k=0 Π n-1 m k .
„Stała 1”
n 1 0 m ,..,m n-1 : [ k ja] = 1
Hiperwiązka, która jest zwykle dodawana w celu zmiany używanego tutaj „analitycznego” zakresu liczb na „zwykły” zakres liczb. Inne stałe hiperwiązki są oczywiście wielokrotnościami tego jednego.
Zobacz też
Dalsza lektura
- Thomas R. Hagedorn, O istnieniu magicznych n-wymiarowych prostokątów, Discrete Mathematics 207 (1999), 53-63.
- Thomas R. Hagedorn, Magiczne prostokąty ponownie, Discrete Mathematics 207 (1999), 65-72.
- Harvey D. Heinz i John R. Hendricks, Magic Square Lexicon: ilustrowany, publikacja własna, 2000, ISBN 0-9687985-0-0 .
- JRHendricks: Magic Squares to Tesseract by Computer, publikacja własna, 1998, 0-9684700-0-9
- Planck, C., MA,MRCS, The Theory of Paths Nasik, 1905, wydrukowany do obiegu prywatnego. List wprowadzający do gazety
- Marián Trenkler, Magiczne prostokąty, The Mathematical Gazette 83(1999), 102-105.
Linki zewnętrzne
- Magicznej Encyklopedii autorstwa Aale de Winkel
-
Magiczne kostki i hipersześciany - Literatura zebrana przez Mariana Trenklera
- Algorytm tworzenia magicznych kostek autorstwa Mariana Trenklera
- multimagie.com Artykuły autorstwa Christiana Boyera
- magichypercube.com Generator magicznych kostek
- Historia, definicje i przykłady doskonałych magicznych kostek i innych wymiarów.
- Alternatywna definicja doskonałości, z historią ostatnich odkryć
- Więcej informacji na temat tej alternatywnej definicji.
- Encyklopedia Magic Hypercube z szeroką gamą materiałów
- Zunifikowany system klasyfikacji hipersześcianów
- Ambitne trwające prace nad klasyfikacją magicznych kostek i tesseraktów
- Różnorodne materiały Johna R. Hendricksa, napisane pod jego kierunkiem
- http://www.magichypercubes.com/Encyklopedia
- Marián Trenklar Cube-Ref.html
- Mitsutoshi Nakamura: Prostokąty