Multimagiczny kwadrat

W matematyce P -multimagiczny kwadrat ( znany również jako szatański kwadrat ) jest magicznym kwadratem , który pozostaje magiczny, nawet jeśli wszystkie jego liczby zostaną zastąpione przez ich k -te potęgi dla 1 ≤ k ≤ P. 2-multimagiczne kwadraty nazywane są bimagicznymi , 3-multimagiczne kwadraty nazywane są trimagicznymi , 4-multimagiczne kwadraty tetramagiczne , a 5-multimagiczne kwadraty kwadraty pentamagiczne .

Stałe dla normalnych kwadratów

Jeśli kwadraty są normalne , stałą kwadratów mocy można wyznaczyć w następujący sposób:

Sumy serii Bimagic dla bimagicznych kwadratów są również powiązane z sekwencją liczbową piramidy kwadratowej w następujący sposób: - Kwadraty 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, .... (sekwencja A000290 w OEIS ) Suma kwadratów 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, ... (sekwencja A000330 w OEIS ) ) liczba jednostek w piramidzie opartej na kwadracie) Seria bimagic jest pierwszą, 4, 9 w tej serii (podzielone przez 1, 2, 3, n ) itd., więc wartości dla wierszy i kolumn w kolejności-1, kolejności-2, kolejności-3 Kwadraty Bimagic wyniosłyby 1, 15, 95, 374, 1105, 2701, 5775, 11180, ... (sekwencja A052459 w OEIS )

Seria trymagiczna byłaby powiązana w ten sam sposób z sekwencją hiperpiramidalną zagnieżdżonych kostek. Kostki 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... (sekwencja A000578 w OEIS ) Suma kostek 0, 1, 9, 36, 100, ... (sekwencja A000537 w OEIS ) Wartość dla Trimagiczne kwadraty 1, 50, 675, 4624, ... (sekwencja A052460 w OEIS )

Podobnie tetramagiczna sekwencja 4-Power 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, ... (sekwencja A000583 w OEIS ) Suma 4-Power 0, 1, 17, 98, 354, 979, 2275, ... (sekwencja A000538 w OEIS ) Sumy dla kwadratów Tetramagic 0, 1, 177, ... (sekwencja A052461 w OEIS )

Bimagiczny kwadrat

Kwadrat bimagiczny to magiczny kwadrat, który pozostaje magiczny, gdy wszystkie jego liczby zostaną zastąpione odpowiednimi kwadratami .

Pierwszy znany kwadrat bimagiczny ma rząd 8 i stałą magiczną 260 oraz stałą bimagiczną 11180.

Bensen i Jacoby przypuszczali, że nie istnieją żadne nietrywialne [ wymagane ^{wyjaśnienie ] bimagiczne} kwadraty rzędu mniejszego niż 8. Zostało to pokazane dla magicznych kwadratów zawierających elementy od 1 do n ² przez Boyera i Trumpa.

Jednak JR Hendricks był w stanie wykazać w 1998 roku, że nie istnieje żaden bimagiczny kwadrat rzędu 3, z wyjątkiem trywialnego bimagicznego kwadratu zawierającego tę samą liczbę dziewięć razy. Dowód jest dość prosty: niech następujący będzie naszym bimagicznym kwadratem .

A	B	C
D	mi	F
G	H	I

Powszechnie wiadomo, że właściwością magicznych kwadratów jest to, że za $\ Displaystyle a + i = 2e}$ . Podobnie ${\ Displaystyle a ^ {2} + i ^ {2} = 2e ^ {2}}$ . Dlatego ${\ Displaystyle (ai) ^ {2} = 2 (a ^ {2} + i ^ {2}) - (a + i) ^ {2} = 4e ^ {2} - 4e^{2}=0}$ . Wynika z tego, że ${\ displaystyle a = e = i}$ mi To samo dotyczy wszystkich linii przechodzących przez środek.

W przypadku kwadratów 4 × 4 Luke Pebody był w stanie wykazać podobnymi metodami, że jedyne bimagiczne kwadraty 4 × 4 (do symetrii) mają postać

A	B	C	D
C	D	A	B
D	C	B	A
B	A	D	C

Lub

A	A	B	B
B	B	A	A
A	A	B	B
B	B	A	A

Bimagiczny kwadrat 8 × 8.

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

Nietrywialne bimagiczne kwadraty są obecnie (2010) znane z dowolnego rzędu od ośmiu do 64. Li Wen z Chin stworzył pierwsze znane bimagiczne kwadraty rzędów 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 58, 59, 61 , 62 wypełniając luki ostatnich nieznanych zamówień.

W 2006 roku Jarosław Wróblewski zbudował nienormalny bimagiczny kwadrat rzędu 6. Nienormalny oznacza, że używa niekolejnych liczb całkowitych .

Również w 2006 roku Lee Morgenstern zbudował kilka nienormalnych bimagicznych kwadratów rzędu 7.

Kwadrat trymagiczny

Trójmagiczny kwadrat to magiczny kwadrat, który pozostaje magiczny, gdy wszystkie jego liczby zostaną zastąpione ich kostkami .

Do tej pory odkryto trymagiczne kwadraty rzędów 12, 32, 64, 81 i 128; jedyny znany trymagiczny kwadrat rzędu 12, podany poniżej, został znaleziony w czerwcu 2002 roku przez niemieckiego matematyka Waltera Trumpa .

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

Wyższy porządek

Pierwszy 4-magiczny kwadrat został skonstruowany przez Charlesa Devimeux w 1983 roku i był kwadratem 256-rzędowym.

Kwadrat 4-magiczny rzędu 512 został skonstruowany w maju 2001 roku przez André Viricela i Christiana Boyera.

Pierwszy 5-magiczny kwadrat, rzędu 1024, przybył około miesiąc później, w czerwcu 2001 roku, ponownie przez Viricela i Boyera. W styczniu 2003 roku zaprezentowali również mniejszy 4-magiczny kwadrat rzędu 256. Kolejny 5-magiczny kwadrat rzędu 729 został skonstruowany w czerwcu 2003 roku przez Li Wen.

Zobacz też

Weisstein, Eric W. „Bimagic Square” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Plac trymagiczny” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Kwadrat tetramagiczny” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Pentamagiczny kwadrat” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Kwadrat multimagiczny” . MathWorld .

Linki zewnętrzne

Magiczne wielokąty
typy	Magiczny krąg Magiczny sześciokąt Magiczny heksagram Magiczny kwadrat Magiczna gwiazda Magiczny trójkąt
Powiązane kształty	Alfamagiczny kwadrat Kwadrat antymagiczny Kwadrat Geomagiczny heterokwadrat Pandiagonalny magiczny kwadrat Najdoskonalszy magiczny kwadrat
Wyższe kształty wymiarowe	Klasy magicznej kostki Magiczny hipersześcian Magiczny hiperpromień
Klasyfikacja	Asocjacyjny magiczny kwadrat Pandiagonalny magiczny kwadrat Multimagiczny kwadrat
Pojęcia pokrewne	kwadrat łaciński Krzyżówka Scrabble liczbowe Układanka ośmiu królowych Magiczna stała Magiczny wykres Magiczna seria

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94

16	41	36	5	27	62	55	18
26	63	54	19	13	44	33	8
1	40	45	12	22	51	58	31
23	50	59	30	4	37	48	9
38	3	10	47	49	24	29	60
52	21	32	57	39	2	11	46
43	14	7	34	64	25	20	53
61	28	17	56	42	15	6	35

1	22	33	41	62	66	79	83	104	112	123	144
9	119	45	115	107	93	52	38	30	100	26	136
75	141	35	48	57	14	131	88	97	110	4	70
74	8	106	49	12	43	102	133	96	39	137	71
140	101	124	42	60	37	108	85	103	21	44	5
122	76	142	86	67	126	19	78	59	3	69	23
55	27	95	135	130	89	56	15	10	50	118	90
132	117	68	91	11	99	46	134	54	77	28	13
73	64	2	121	109	32	113	36	24	143	81	72
58	98	84	116	138	16	129	7	29	61	47	87
80	34	105	6	92	127	18	53	139	40	111	65
51	63	31	20	25	128	17	120	125	114	82	94