Pandiagonalny magiczny kwadrat

Pandiagonal magiczny kwadrat lub panmagiczny kwadrat (również diaboliczny kwadrat , diaboliczny kwadrat lub diaboliczny magiczny kwadrat ) to magiczny kwadrat z dodatkową właściwością, że łamane przekątne , tj. magiczna stała .

Pandiagonalny magiczny kwadrat pozostaje magiczny po przekątnej nie tylko podczas obrotu lub odbicia , ale także wtedy, gdy wiersz lub kolumna zostanie przesunięty z jednej strony kwadratu na przeciwną. Jako taki $,$$magiczny$ można uznać

3 × 3 pandiagonalne magiczne kwadraty

Można wykazać, że nietrywialne pandiagonalne kwadraty magiczne rzędu 3 nie istnieją. Załóżmy kwadrat

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {| c | c | c |} \ hline \! \! \! \; a_ {11} \!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\; a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hlinia \!\! \!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{tablica}}}$

jest pandiagonalnie magiczna ze stałą magiczną ${\ displaystyle s}$ . Dodawanie sum ${\ Displaystyle a_ {11} + a_ {22} + a_ {33}}$${\ Displaystyle a_ {12} + a_ {22 } + a_ {32},}$ i ${\ Displaystyle a_ {13} + a_ {22} + a_ {31}}$ daje ${\ Displaystyle 3s}$ . Odejmowanie $\ Displaystyle a_ {11} + a_ {12} + a_ {13}}$ i ${\ Displaystyle a_ {31} + a_ {32} + a_ {33},}$ otrzymujemy ${\ Displaystyle 3a_ {22} = s}$ . Jeśli jednak przesuniemy trzecią kolumnę do przodu i wykonamy ten sam argument, otrzymamy ${\ Displaystyle 3a_ {22} = s}$ . $symetrii$ rzeczywistości, używając magicznych kwadratów 3 × 3, wszystkie komórki muszą . Dlatego wszystkie magiczne kwadraty pandiagonalne 3 × 3 muszą być trywialne.

Jeśli jednak koncepcja magicznego kwadratu zostanie uogólniona tak, aby obejmowała kształty geometryczne zamiast liczb - geometryczne magiczne kwadraty odkryte przez Lee Sallowsa - istnieje pandiagonalny magiczny kwadrat 3 × 3.

4 × 4 pandiagonalne magiczne kwadraty

Diagram Eulera wymagań niektórych typów magicznych kwadratów 4 × 4. Komórki tego samego koloru sumują się do magicznej stałej.

Najmniejsze nietrywialne pandiagonalne magiczne kwadraty to kwadraty 4 × 4. Wszystkie magiczne kwadraty pandiagonalne 4 × 4 muszą być translacyjnie symetryczne względem formy

A	a + b + c + mi	a + c + re	za + b + re + mi
za + b + do + re	a + re + mi	a + b	a + c + mi
a + b + e	a + do	za + b + do + re + mi	a + d
za + do + re + mi	a + b + d	a + e	a + b + do

Ponieważ każdy podkwadrat 2 × 2 sumuje się do stałej magicznej, kwadraty magiczne pandiagonalne 4 × 4 są najdoskonalszymi kwadratami magicznymi . Ponadto dwie liczby w przeciwległych rogach dowolnego kwadratu 3 × 3 sumują się do połowy stałej magicznej. W konsekwencji wszystkie pandiagonalne kwadraty magiczne 4 × 4, które są asocjacyjne , muszą mieć zduplikowane komórki.

Wszystkie magiczne kwadraty pandiagonalne 4 × 4 z liczbami 1-16 bez duplikatów są uzyskiwane przez pozostawienie równej 1; niech b , c , d i e będą równe 1, 2, 4 i 8 w jakiejś kolejności; i zastosowanie niektórych tłumaczeń . Na przykład przy b = 1 , c = 2 , d = 4 i e = 8 mamy magiczny kwadrat

1	12	7	14
8	13	2	11
10	3	16	5
15	6	9	4

Liczba magicznych kwadratów pandiagonalnych 4 × 4 wykorzystujących liczby 1-16 bez duplikatów wynosi 384 (16 razy 24, gdzie 16 odpowiada za translację, a 24 odpowiada za 4! sposoby przypisania 1, 2, 4 i 8 do b , c , d i e ).

5 × 5 pandiagonalnych magicznych kwadratów

Istnieje wiele magicznych kwadratów pandiagonalnych o wymiarach 5 × 5. W przeciwieństwie do pandiagonalnych magicznych kwadratów 4 × 4, mogą one być asocjacyjne . Poniżej znajduje się asocjacyjny pandiagonalny magiczny kwadrat 5 × 5:

20	8	21	14	2
11	4	17	10	23
7	25	13	1	19
3	16	9	22	15
24	12	5	18	6

Oprócz rzędów, kolumn i przekątnych, pandiagonalny magiczny kwadrat 5 × 5 pokazuje również swoją magiczną stałą w czterech wzorach „ quincunx ”, którymi w powyższym przykładzie są:

17+25+13+1+9 = 65 (środek plus sąsiednie kwadraty w rzędach i kolumnach)

21+7+13+19+5 = 65 (środek plus pozostałe kwadraty w rzędach i kolumnach)

4+10+13+16+22 = 65 (środek plus kwadraty sąsiadujące po przekątnej)

20+2+13+24+6 = 65 (środek plus pozostałe kwadraty na jego przekątnych)

Każdy z tych kwinkunksów można przenieść na inne pozycje na kwadracie poprzez cykliczną permutację wierszy i kolumn (zawijanie), co w pandiagonalnym magicznym kwadracie nie wpływa na równość stałych magicznych. Prowadzi to do 100 sum kwinkunksów, w tym złamanych kwinkunksów analogicznych do złamanych przekątnych.

Sumy kwinkunksa można udowodnić, biorąc liniowe kombinacje sum wierszy, kolumn i przekątnych. Rozważ pandiagonalny magiczny kwadrat

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {| c | c | c | c | c |} \ hline \! \! \! \; a_ {11} \! \! \! & \! \! a_ {12 }\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\! \\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\! \!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\! \!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\! \!a_{35}\!\!\\\hlinia \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\! \!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\! \;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54 }\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}}$

ze stałą magiczną s . Aby udowodnić sumę kwinkunksa ${\ Displaystyle a_ {11} + a_ {15} + a_ {33} + a_ {51} + a_ {55} = s }$ (odpowiadające podanemu powyżej przykładowi 20+2+13+24+6 = 65), możemy dodać do siebie:

$_$ sum _ ${\ Displaystyle a_ {15} + a_ {24} + a_ {33} + a_ {42} + a_ {51}}$ ,

przekątna sumuje się ${\ Displaystyle a_ {11} + a_ {25} + a_ {34} + a_ {43} + a_ {52}}$ , ${\ Displaystyle a_ {12} + a_ {23} + a_ {34} + a_ {45} + a_ {51}}$ za $\ Displaystyle a_ {14} +a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}$ i $a_ {43} + a_ {54}}$ ,

wiersz podsumowuje ${\ Displaystyle a_ {11} + a_ {12} + a_ {13} + a_ {14} + a_ {15}}$ 51 ${\ Displaystyle a_ {51} + a_ {52} + a_ {53} + a_ {54} + a_ {55}}$ .

Od tej sumy odejmij:

Wiersz sumuje ${\ Displaystyle a_ {21} + a_ {22} + a_ {23} + a_ {24} + a_ {25}}$ i ${\ Displaystyle a_ {41} + a_ {42} + a_ {43} + a_ {44} + a_ {45}}$ ,

suma kolumn ${\ Displaystyle a_ {13} + a_ {23} + a_ {33} + a_ {43} + a_ {53}}$ ,

Dwa razy każda z kolumn sumuje ${\ Displaystyle a_ {12} + a_ {22} + a_ {32} + a_ {42} + a_ {52}}$ i ${\ Displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$ .

Wynik netto to ${\ Displaystyle 5a_ {11} + 5a_ {15} + 5a_ {33} + 5a_ {51} + 5a_ {55}=5s}$ , co podzielone przez 5 daje sumę kwinkunksa. Podobne kombinacje liniowe można skonstruować dla innych wzorów kwinkunksa ${\ Displaystyle a_ {23} + a_ {32} + a_ {33} + a_ {34} + a_ {43}}$ , ${\ Displaystyle a_ { 13} + a_ {31} + a_ {33} + a_ {35} + a_ {53}}$ i ${\ Displaystyle a_ {22} + a_ {24 }+a_{33}+a_{42}+a_{44}}$ .

(4 n +2) × (4 n +2) pandiagonalne magiczne kwadraty z nienastępującymi po sobie elementami

Żaden magiczny kwadrat pandiagonalny nie istnieje rzędu ${\ displaystyle 4n + 2} , jeśli$ używane są kolejne liczby całkowite . Ale pewne $sekwencje$ niekolejnych liczb całkowitych dopuszczają porządek - ( kwadraty

Rozważmy sumę 1+2+3+5+6+7 = 24. Tę sumę można podzielić na pół, biorąc odpowiednie grupy trzech dodatków, lub na tercje, używając grup dwóch dodatków:

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

Dodatkowy równy podział sumy kwadratów gwarantuje właściwość półbimagiczną opisaną poniżej:

1 ² + 5 ² + 6 ² = 2 ² + 3 ² + 7 ² = 62

Zauważ, że kolejna suma liczb całkowitych 1+2+3+4+5+6 = 21, suma nieparzysta , nie ma podziału na pół.

Przy dostępnych obu równych przegrodach liczby 1, 2, 3, 5, 6, 7 można ułożyć w pandigonalne wzory 6 × 6 A i B , odpowiednio określone przez:

1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3
1	5	6	7	3	2
5	6	1	3	2	7
6	1	5	2	7	3

6	5	1	6	5	1
1	6	5	1	6	5
5	1	6	5	1	6
2	3	7	2	3	7
7	2	3	7	2	3
3	7	2	3	7	2

Następnie (gdzie $panprzekątny$ magicznym kwadratem z 1 dla wszystkich komórek) daje :

6	33	36	48	19	8
29	41	5	15	13	47
40	1	34	12	43	20
2	31	42	44	17	14
35	37	3	21	9	45
38	7	30	10	49	16

z maksymalnym elementem 49 i magiczną stałą pandiagonalną równą 150. Ten kwadrat jest pandiagonalny i semi-bimagiczny, co oznacza, że ​​suma wierszy, kolumn, głównych przekątnych i łamanych przekątnych wynosi 150 i jeśli podniesiemy do kwadratu wszystkie liczby w kwadrat, tylko wiersze i kolumny są magiczne i mają sumę 5150.

Dla 10. rzędu podobna konstrukcja jest możliwa przy użyciu równych podziałów sumy 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70:

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35 1

+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1 ² + 3 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² = 2 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² + 13 ² = 335 (równy podział kwadratów; własność semi-bimagiczna)

Prowadzi to do kwadratów mających maksymalny element 169 i pandiagonalną magiczną stałą równą 850, które są również pół-bimagiczne, a suma kwadratów w każdym rzędzie lub kolumnie wynosi 102 850.

(6 n ±1) × (6 n ±1) pandiagonalne magiczne kwadraty

ZA ${\ Displaystyle (6n \ pm 1) \ razy (6n \ pm 1)}$ pandiagonalny magiczny kwadrat można zbudować za pomocą następującego algorytmu.

1. $pierwszą$ kwadratu z naturalnymi

   1
   2
   3
   4
   5
   6
   7

2. Skopiuj pierwszą kolumnę do drugiej kolumny, ale przesuń ją wzdłuż pierścienia o 2 wiersze.

   1	6
   2	7
   3	1
   4	2
   5	3
   6	4
   7	5

3. Kontynuuj kopiowanie bieżącej kolumny do następnej kolumny z przesunięciem pierścieniowym o 2 wiersze, aż kwadrat zostanie całkowicie wypełniony.

   1	6	4	2	7	5	3
   2	7	5	3	1	6	4
   3	1	6	4	2	7	5
   4	2	7	5	3	1	6
   5	3	1	6	4	2	7
   6	4	2	7	5	3	1
   7	5	3	1	6	4	2

4. Zbuduj drugi kwadrat i skopiuj do niego transpozycję pierwszego kwadratu.

   A 1 6 4 2 7 5 3 2 7 5 3 1 6 4 3 1 6 4 2 7 5 4 2 7 5 3 1 6 5 3 1 6 4 2 7 6 4 2 7 5 3 1 7 5 3 1 6 4 2

   ${\ Displaystyle A ^ {T}}$ 1 2 3 4 5 6 7 6 7 1 2 3 4 5 4 5 6 7 1 2 3 2 3 4 5 6 7 1 7 1 2 3 4 5 6 5 6 7 1 2 3 4 3 4 5 6 7 1 2

5. Zbuduj ostatni kwadrat, mnożąc drugi kwadrat $,$$odejmując$ i każdej

   Przykład: ${\ Displaystyle A + (6n \ pm 1) A ^ {T} - (6n \ pm 1) B}$ , gdzie B to magia kwadrat ze wszystkimi komórkami jako 1.

   1	13	18	23	35	40	45
   37	49	5	10	15	27	32
   24	29	41	46	2	14	19
   11	16	28	33	38	43	6
   47	3	8	20	25	30	42
   34	39	44	7	12	17	22
   21	26	31	36	48	4	9

4 n × 4 n pandiagonalnych magicznych kwadratów

Pandiagonalny magiczny $.$ następującego

1. $Umieść$ pierwsze $naturalne$ w pierwszym rzędzie i kolumnach

   1	2	3	4

2. $Umieść$ następne naturalne pod pierwszymi $liczbami$ naturalnymi w Każda para pionowa musi mieć taką samą sumę.

   1	2	3	4
   8	7	6	5

3. $displaystyle 2 \ razy 2n}$ ten prostokąt ${\$ prostokąt

   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5
   1	2	3	4
   8	7	6	5

4. $do$ lewy $prostokąt$ prawego ale przesuń

   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4
   1	2	3	4	8	7	6	5
   8	7	6	5	1	2	3	4

5. $Zbuduj$ drugi pierwszy kwadrat, ale obróć go o 90

   A 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 6 5 1 2 3 4 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 6 5 1 2 3 4 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 6 5 1 2 3 4 1 2 3 4 8 7 6 5 8 7 6 5 1 2 3 4

   B 5 4 5 4 5 4 5 4 6 3 6 3 6 3 6 3 7 2 7 2 7 2 7 2 8 1 8 1 8 1 8 1 4 5 4 5 4 5 4 5 3 6 3 6 3 6 3 6 2 7 2 7 2 7 2 7 1 8 1 8 1 8 1 8

6. Zbuduj ostatni kwadrat, mnożąc drugi kwadrat przez $w$$dodając$ pierwszy kwadrat i komórce kwadratu

   Przykład: gdzie $displaystyle A + 4nB-4nC}$ to magiczny kwadrat ze wszystkimi komórkami równymi 1. ZA

   33	26	35	28	40	31	38	29
   48	23	46	21	41	18	43	20
   49	10	51	12	56	15	54	13
   64	7	62	5	57	2	59	4
   25	34	27	36	32	39	30	37
   24	47	22	45	17	42	19	44
   9	50	11	52	16	55	14	53
   8	63	6	61	1	58	3	60

$4n \ razy 4n}, to każdy$ zbudujemy pandiagonalny magiczny kwadrat ${\ displaystyle$ kwadrat w $4n}$$displaystyle 4n \$ kwadrat będzie miał taką samą sumę. Dlatego wiele symetrycznych wzorców $dowolna$ ma taką samą sumę jak dowolny wiersz i ${\ displaystyle 4n \ razy 4n}$ kwadrat. Zwłaszcza każdy $prostokąt$ każdy $dowolny$ wiersz i dowolna kolumna $Displaystyle 4n\razy 4n}$ kwadrat. Kwadrat $_$ . _ _

(6 n +3) × (6 n +3) pandiagonalne magiczne kwadraty

$_$ kwadrat _

1. Utwórz $_$$liczbami$ pierwszymi naturalnymi Możesz to zrobić, zaczynając od magicznego kwadratu 3 × 3 i ustawiając pozostałe komórki prostokąta w stylu meandrowym . Możesz także użyć wzoru pokazanego w poniższych przykładach.

   Dla kwadratu 9 × 9 1 2 3 5 6 4 9 7 8 suma pionowa = 15

   Dla kwadratu 15 × 15 1 2 3 5 6 4 9 7 8 10 11 12 15 14 13 suma pionowa = 40

   Dla kwadratu 21 × 21 1 2 3 5 6 4 9 7 8 10 11 12 15 14 13 16 17 18 21 20 19 suma pionowa = 77

2. $rogu$ lewym górnym pod pierwsze 3 kolumny kwadratu są całkowicie wypełnione.

   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8
   1	2	3
   5	6	4
   9	7	8

3. Skopiuj lewe 3 kolumny do następnych 3 kolumn, ale przesuń je wzdłuż pierścienia o 1 wiersz.

   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4
   1	2	3	9	7	8
   5	6	4	1	2	3
   9	7	8	5	6	4

4. Kontynuuj kopiowanie bieżących 3 kolumn do następnych 3 kolumn, przesuniętych o 1 wiersz wzdłuż pierścienia, aż kwadrat zostanie całkowicie wypełniony.

   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3
   1	2	3	9	7	8	5	6	4
   5	6	4	1	2	3	9	7	8
   9	7	8	5	6	4	1	2	3

5. Zbuduj drugi kwadrat i skopiuj do niego transpozycję pierwszego kwadratu.

   A 1 2 3 9 7 8 5 6 4 5 6 4 1 2 3 9 7 8 9 7 8 5 6 4 1 2 3 1 2 3 9 7 8 5 6 4 5 6 4 1 2 3 9 7 8 9 7 8 5 6 4 1 2 3 1 2 3 9 7 8 5 6 4 5 6 4 1 2 3 9 7 8 9 7 8 5 6 4 1 2 3

   ${\ Displaystyle A ^ {T}}$ 1 5 9 1 5 9 1 5 9 2 6 7 2 6 7 2 6 7 3 4 8 3 4 8 3 4 8 9 1 5 9 1 5 9 1 5 7 2 6 7 2 6 7 2 6 8 3 4 8 3 4 8 3 4 5 9 1 5 9 1 5 9 1 6 7 2 6 7 2 6 7 2 4 8 3 4 8 3 4 8 3

6. Zbuduj ostatni kwadrat, mnożąc drugi kwadrat $w$$,$ i kwadratu

   Przykład: ${\ Displaystyle A + (6n + 3) A ^ {T} - (6n + 3) B}$ , gdzie B jest magicznym kwadratem z wszystkie komórki jako 1.

   1	38	75	9	43	80	5	42	76
   14	51	58	10	47	57	18	52	62
   27	34	71	23	33	67	19	29	66
   73	2	39	81	7	44	77	6	40
   59	15	49	55	11	48	63	16	53
   72	25	35	68	24	31	64	20	30
   37	74	3	45	79	8	41	78	4
   50	60	13	46	56	12	54	61	17
   36	70	26	32	69	22	28	65	21

• WS Andrews, Magiczne kwadraty i kostki . New York: Dover, 1960. Pierwotnie wydrukowano w 1917 r. Patrz zwłaszcza rozdział X.

• Ollerenshaw, K., Brée, D.: Most-perfect pandiagonal magic squares. IMA, Southend-on-Sea (1998)

Linki zewnętrzne

• Plac Panmagic w MathWorld
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares