Geometryczny magiczny kwadrat
Geometryczny kwadrat magiczny , często w skrócie geomagiczny kwadrat , to uogólnienie magicznych kwadratów wymyślonych przez Lee Sallowsa w 2001 roku. Tradycyjny magiczny kwadrat to kwadratowa tablica liczb (prawie zawsze dodatnich liczb całkowitych ), których suma w dowolnym rzędzie, dowolnej kolumnie, lub na obu przekątnych jest ta sama liczba docelowa . Z drugiej strony kwadrat geomagiczny to kwadratowa tablica kształtów geometrycznych, w których kształty pojawiające się w każdym rzędzie, kolumnie lub przekątnej można dopasować do siebie, tworząc identyczny kształt zwany kształtem docelowym . Podobnie jak w przypadku typów liczbowych, wymagane jest, aby wpisy w kwadracie geomagicznym były różne. Podobnie osiem trywialnych wariantów dowolnego kwadratu wynikających z jego obrotu i/lub odbicia liczy się jako ten sam kwadrat. Przez wymiar geomagicznego kwadratu rozumie się wymiary elementów, których on używa. Dotychczasowe zainteresowanie koncentrowało się głównie na kwadratach 2D wykorzystujących płaskie elementy, ale dozwolone są elementy o dowolnym wymiarze.
Przykłady
Rysunek 1 powyżej przedstawia geomagiczny kwadrat 3 × 3. 3 elementy zajmujące każdy rząd, kolumnę i przekątną układają prostokątny cel, jak widać po lewej i prawej stronie oraz powyżej i poniżej. Tutaj wszystkie 9 elementów to dekomino , ale mogą pojawić się kawałki o dowolnym kształcie i nie jest wymagane, aby były tego samego rozmiaru. Na przykład na rycinie 2 elementy to poliomino o kolejnych rozmiarach od 1 do 9 jednostek. Celem jest kwadrat 4 × 4 z wewnętrznym kwadratowym otworem.
Co zaskakujące, badania komputerowe pokazują, że rysunek 2 jest tylko jednym spośród 4370 różnych geomagicznych kwadratów 3 × 3, w których zastosowano elementy o tych samych rozmiarach i tym samym celu. I odwrotnie, rysunek 1 jest jednym z zaledwie dwóch rozwiązań wykorzystujących kawałki o podobnej wielkości i identyczny cel. Ogólnie rzecz biorąc, powtarzające się rozmiary elementów oznaczają mniej rozwiązań. Jednak obecnie nie ma podstaw teoretycznych, które mogłyby wyjaśnić te ustalenia empiryczne.
Elementy w kwadracie geomagicznym mogą być również rozłączne lub składać się z oddzielnych wysp, jak pokazano na rycinie 3. Ponieważ można je układać tak, aby zachodziły na siebie, rozłączne elementy często są w stanie pokryć obszary, których elementy połączone nie mogą. Korzyści z tej dodatkowej giętkości można często zobaczyć w geomagii, która posiada symetrie niedostępne okazom numerycznym.
Oprócz kwadratów wykorzystujących płaskie kształty istnieją próbki 3D, których komórki zawierają stałe elementy, które połączą się, tworząc ten sam stały stały cel. Rysunek 5 przedstawia przykład, w którym celem jest sześcian.
Historia
Dobrze znany wzór matematyka Édouarda Lucasa charakteryzuje strukturę każdego magicznego kwadratu liczb 3 × 3. Sallows, już autor oryginalnej pracy w tej dziedzinie, od dawna spekulował, że formuła Lucasa może zawierać ukryty potencjał. To przypuszczenie zostało potwierdzone w 1997 roku, kiedy opublikował krótki artykuł, w którym badał kwadraty przy użyciu liczb zespolonych, sztuczka prowadząca do nowego twierdzenia, które korelowało każdy magiczny kwadrat 3 × 3 z unikalnym równoległobokiem na płaszczyźnie zespolonej. Kontynuując w tym samym duchu, decydującym następnym krokiem było zinterpretowanie zmiennych we wzorze Lucasa jako reprezentujących formy geometryczne, dziwaczny pomysł, który bezpośrednio doprowadził do koncepcji geomagicznego kwadratu. Okazało się, że nieoczekiwaną konsekwencją tego odkrycia było to, że tradycyjne kwadraty magiczne stały się teraz jednowymiarowymi kwadratami geomagicznymi.
Zauważyli to także inni badacze. Charles Ashbacher, współredaktor Journal of Recreational Mathematics , mówi o „dramatycznym rozszerzeniu pola magicznych kwadratów ” . nowy kawałek matematyki rekreacyjnej, który zachwyci nie-matematyków i da matematykom do myślenia”. pisarz matematyki Alex Bellos powiedział: „Wymyślenie tego po tysiącach lat badań nad magicznymi kwadratami jest dość niesamowite”. Można zapytać, czy kwadraty geomagiczne mogą mieć zastosowanie poza badaniem zagadek. Cameron jest o tym przekonany, mówiąc: „Od razu widzę wiele rzeczy, które chciałbym z tym zrobić”.
Metody budowy
Z wyjątkiem trywialnych przykładów, nie ma znanych łatwych metod tworzenia geomagicznych kwadratów. Do tej pory zbadano dwa podejścia. Tam, gdzie elementy, które mają być użyte, są poliformami lub kształtami zbudowanymi z powtarzających się jednostek, możliwe staje się wyczerpujące wyszukiwanie za pomocą komputera.
Na przykład, w przypadku fig. 1, pierwszym krokiem byłoby podjęcie decyzji o wielkości kawałków, które mają być użyte (w tym przypadku wszystkie takie same) oraz o kształcie pożądanej tarczy. Początkowy program byłby wówczas w stanie wygenerować listę L odpowiadającą każdemu możliwemu ułożeniu tego docelowego kształtu przez 3 różne dekomino (poliomino o rozmiarze 10). Każde dekomino jest reprezentowane przez unikalną liczbę całkowitą, dzięki czemu L będzie składać się z listy triad liczb całkowitych. Kolejna procedura może następnie przejść i przetestować po kolei każdą kombinację trzech różnych triad. Test będzie polegał na potraktowaniu triad kandydujących jako wpisów wierszy w kwadracie 3 × 3, a następnie sprawdzeniu, czy utworzone w ten sposób kolumny i przekątne zawierają po 3 liczby całkowite, które również należą do L — co oznacza, że są również triadami namierzającymi cel. Jeśli tak, zidentyfikowano geomagiczny kwadrat 3 × 3 wykorzystujący 9 dekomino i wybrany cel. Jeśli to się nie powiedzie, można wypróbować alternatywne kształty docelowe. Rozbudowana wersja tej samej metody może być wykorzystana do wyszukiwania większych kwadratów lub kwadratów zawierających elementy o różnych rozmiarach.
Alternatywna metoda konstruowania zaczyna się od trywialnego geomagicznego kwadratu przedstawiającego powtarzające się elementy, których kształty są następnie modyfikowane, aby każdy był odrębny, ale bez zakłócania magicznych właściwości kwadratu. Osiąga się to za pomocą szablonu algebraicznego, takiego jak pokazano poniżej, w którym różne zmienne są następnie interpretowane jako różne kształty, które można dołączyć lub wyciąć z początkowych elementów, w zależności od ich znaku.
Rysunek 4 ilustruje taką geometryczną interpretację szablonu, w której k jest interpretowane jako mały kwadratowy kształt, podczas gdy a , b , c i d reprezentują wypukłości (+) i/lub wgłębienia (-), za pomocą których zostaje on zmodyfikowany tak, że w wyniku czego powstało 16 odrębnych puzzli.
Stosunek do tradycyjnych magicznych kwadratów
Wbrew pierwszemu wrażeniu, nieporozumieniem jest uważać, że termin „geomagiczny kwadrat” odnosi się do jakiejś kategorii magicznego kwadratu. W rzeczywistości jest dokładnie odwrotnie: każdy (dodatkowy) magiczny kwadrat jest konkretnym przypadkiem geomagicznego kwadratu, ale nigdy odwrotnie. Kwestię tę wyjaśnia poniższy przykład, który pojawia się w szeroko zakrojonym artykule na temat kwadratów geomagicznych autorstwa Jean-Paula Delahaye w Pour la Science , francuskiej wersji Scientific American . W tym przypadku docelowym „kształtem” geomagicznego kwadratu po prawej stronie jest po prostu jednowymiarowy odcinek linii o długości 15 jednostek, przy czym elementy ponownie nie są niczym więcej niż odcinkami linii prostych. Jako taki, ten ostatni jest oczywiście prostym tłumaczeniem liczbowego magicznego kwadratu po lewej stronie na terminy geometryczne.
|
|
Jak mówi Delahaye: „Ten przykład pokazuje, że koncepcja geomagicznego kwadratu uogólnia kwadraty magiczne. Wynik tutaj nie jest spektakularny, ale na szczęście istnieją inne geomagiczne kwadraty, które nie są wynikiem takiego tłumaczenia”.
Chodzi o to, że każdy liczbowy kwadrat magiczny można rozumieć jako jednowymiarowy kwadrat geomagiczny, jak powyżej. Lub, jak sam to ujął Sallows, „Tradycyjne magiczne kwadraty zawierające liczby są następnie ujawniane jako szczególny przypadek„ geomagicznych ”kwadratów, w których wszystkie elementy są jednowymiarowe”. To jednak nie wyczerpuje przypadku 1D, ponieważ istnieją geomagiczne kwadraty 1D, których składnikami są rozłączone segmenty linii i które nie odpowiadają żadnemu numerycznemu kwadratowi magicznemu. Zatem nawet w wymiarze pierwszym tradycyjne typy odpowiadają tylko niewielkiemu podzbiorowi wszystkich geometrycznych magicznych kwadratów.
Specjalne typy
Bogatsza struktura kwadratów geomagicznych znajduje odzwierciedlenie w istnieniu okazów wykazujących znacznie większy stopień „magii” niż jest to możliwe w przypadku typów numerycznych. Zatem kwadrat panmagiczny to taki, w którym każda przekątna, w tym tak zwane przekątne łamane , ma tę samą magiczną właściwość, co wiersze i kolumny. Jednak łatwo można wykazać, że panmagicznego kwadratu o rozmiarze 3 × 3 nie można skonstruować za pomocą liczb, podczas gdy geometryczny przykład można zobaczyć na rycinie 3. Nie zgłoszono jeszcze żadnego porównywalnego przykładu z użyciem połączonych elementów.
Oprócz tego, że są geomagiczne, istnieją kwadraty o właściwościach pomocniczych, które czynią je jeszcze bardziej charakterystycznymi. Na przykład na rysunku 6, który jest magiczny tylko w rzędach i kolumnach, 16 elementów tworzy tak zwany zestaw płytek samoukładających się . Taki zestaw definiuje się jako dowolny zestaw n różnych kształtów, z których każdy może być wyłożony mniejszymi replikami pełnego zestawu n kształtów.
Drugim przykładem jest rysunek 4, który przedstawia tak zwany „samoblokujący się” geomagiczny kwadrat. Tutaj 16 elementów nie jest już zawartych w oddzielnych komórkach, ale same definiują kwadratowe kształty komórek, tak aby połączyć się ze sobą, tworząc kwadratową układankę.
Kwadraty geomagiczne w kulturze popularnej
9 października 2014 poczta Makau wydała serię znaczków opartych na magicznych kwadratach . Do tej kolekcji wybrano znaczek poniżej, przedstawiający jeden z geomagicznych kwadratów stworzonych przez Sallowsa.
Notatki
Źródła
- Sallows, Lee, Geometryczne magiczne kwadraty: wymagający nowy zwrot z użyciem kolorowych kształtów zamiast liczb , Dover Publications, kwiecień 2013, ISBN 0486489094
Linki zewnętrzne
| typy |  |
|
|---|---|---|
| Powiązane kształty | ||
| Wyższe kształty wymiarowe | ||
| Klasyfikacja | ||
| Pojęcia pokrewne | ||