Magiczny krąg (matematyka)

W przypadku innych zastosowań zobacz Magiczny krąg (ujednoznacznienie) .

Magiczne koncentryczne kręgi Yang Hui - liczby na każdym okręgu i średnicy (ignorując środkową 9) sumują się do 138

Magiczne kręgi zostały wynalezione przez chińskiego matematyka Yang Hui z dynastii Song (960–1279) (ok. 1238–1298). Jest to układ liczb naturalnych na okręgach , w którym suma liczb na każdym okręgu i suma liczb na średnicach są identyczne. Jeden z jego magicznych kręgów został zbudowany z liczb naturalnych od 1 do 33 ułożonych na czterech koncentrycznych okręgach, z 9 w środku.

Magiczne kręgi Yang Hui

Seria magicznych kręgów Yang Hui została opublikowana w jego Xugu Zhaiqi Suanfa 《續古摘奇算法》(Sequel to Excerpts of Mathematical Wonders) z 1275 roku. Jego seria magicznych kręgów obejmuje: magiczne 5 kół w kwadracie, 6 kół w pierścieniu, magiczne osiem kół w kwadracie magiczne koncentryczne kręgi, magiczne 9 kręgów w kwadracie.

Magiczny koncentryczny krąg Yang Hui

Magiczny koncentryczny krąg Yang Hui ma następujące właściwości

• Suma liczb na czterech średnicach = 147,
  • 28 + 5 + 11 + 25 + 9 + 7 + 19 + 31 + 12 = 147
• Suma 8 liczb plus 9 w środku = 147;
  • 28 + 27 + 20 + 33 + 12 + 4 + 6 + 8 + 9 = 147
• Suma ośmiu promieni bez 9 = magiczna liczba 69: np. 27 + 15 + 3 + 24 = 69
• Suma wszystkich liczb na każdym kole (bez 9) = 2 × 69
• Istnieje 8 półokręgów , gdzie suma liczb = liczba magiczna 69; istnieje 16 segmentów linii (półokręgów i promieni) z magiczną liczbą 69, więcej niż magiczny kwadrat 6-rzędowy z tylko 12 magicznymi liczbami.

Yang Hui magiczne osiem kręgów w kwadracie

Yang Hui 8 magicznych kręgów w kwadracie 八阵图

64 liczby układają się w kręgi po osiem liczb, suma całkowita 2080, suma pozioma / pionowa = 260.

Licząc od narożnika NW w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, suma 8-cyfrowych okręgów to:

40 + 24 + 9 + 56 + 41 + 25 + 8 + 57 = 260

14 + 51 + 46 + 30 + 3 + 62 + 35 + 19 = 260

45 + 29 + 4 + 61 + 36 + 20 + 13 + 52 = 260

37 + 21 + 12 + 53 + 44 + 28 + 5 + 60 = 260 47

+ 31 + 2 + 63 + 34 + 18 + 15 + 50 = 260

7 + 58 + 39 + 23 + 10 + 55 + 42 + 26 = 260

38 + 22 + 11 + 54 + 43 + 27 + 6 + 59 = 260

48 + 32 + 1 + 64 + 33 + 17 + 16 + 49 = 260

Również suma ośmiu liczb wzdłuż osi WE/NS

14 + 51 + 62 + 3 + 7 + 58 + 55 + 10 = 260

49 + 16 + 1 + 64 + 60 + 5 + 12 + 53 = 260

Ponadto suma 16 liczb wzdłuż dwóch przekątnych równa się 2 razy 260:

40 + 57 + 41 + 56 + 50 + 47 + 34 + 63 + 29 + 4 + 13 + 20 + 22 + 11 + 6 + 27 = 2 × 260 = 520

Yang Hui magiczne dziewięć kręgów w kwadracie

Yang Hui 9 magicznych kręgów w kwadracie 连环图

72 cyfry od 1 do 72, ułożone w dziewięć kręgów po osiem cyfr w kwadracie; z sąsiednimi liczbami tworzącymi cztery dodatkowe osiem kręgów liczbowych: w ten sposób łącznie 13 ośmiu kręgów liczbowych:

północny zachód		N		NE
	x1		x2
W		C		mi
	x3		x4
południowy zachód		S		SE

Dodatkowe koło x1 zawiera liczby z kół NW, N, C i W; x2 zawiera liczby z N, NE, E i C; x3 zawiera liczby z W, C, S i SW; x4 zawiera liczby z C, E, SE i S.

• Całkowita suma 72 liczb = 2628;
• suma liczb w dowolnym kole z ośmioma liczbami = 292;
• sumy trzech okręgów wzdłuż linii poziomych = 876;
• suma trzech okręgów wzdłuż linii pionowych = 876;
• suma trzech okręgów wzdłuż przekątnych = 876.

Magiczne kręgi Ding Yidong

Magiczne kręgi Ding Yidong – liczby na każdym kole (jednolity kolor) sumują się do 200, a liczby na każdej średnicy (przerywana szara) sumują się do 325

Ding Yidong był matematykiem współczesnym Yang Hui. W jego magicznym kręgu z 6 pierścieniami numery jednostek 5 zewnętrznych pierścieni w połączeniu z numerem jednostki środkowego pierścienia tworzą następujący magiczny kwadrat :

4	9	2
3	5	7
8	1	6

Metoda budowy:

Niech promienista grupa 1 =1,11,21,31,41

Niech promienista grupa 2=2,12,22,32,42

Niech promienista grupa 3=3,13,23,33,43

Niech promienista grupa 4=4,14 ,24,34,44

Niech grupa radialna 6=6,16,26,36,46

Niech grupa radialna 7=7,17,27,37,47

Niech grupa radialna 8=8,18,28,38,48

Niech radialna grupa 9=9,19,29,39,49

Niech grupa środkowa =5,15,25,35,45

Ułóż grupę 1,2,3,4,6,7,9 promieniście tak, że

• każda liczba zajmuje jedno miejsce na kole
• zamień kierunek tak, aby jeden radialny miał najmniejszy numer na zewnątrz, sąsiedni radialny miał największy numer na zewnątrz.
• Każda grupa zajmuje pozycję radialną odpowiadającą liczbie na magicznym kwadracie Luoshu, tj. grupa 1 na 1 pozycji, grupa 2 na 2 pozycji itd.
• Na koniec ustaw środkową grupę w środkowym kole, tak aby

numer 5 w grupie 1 radialny

numer 10 w grupie 2 radialny

numer 15 w grupie 3 radialny

...

numer 45 w grupie 9 radialny

Magiczne kręgi Cheng Dawei

Cheng Dawei, matematyk z dynastii Ming, w swojej książce Suanfa Tongzong wymienił kilka magicznych kręgów

• 
• 
• 

Rozszerzenie do wyższych wymiarów

Kula Andrewsa z numerami od 1 do 62 ułożona wzdłuż przecięć 5 okręgów szerokości geograficznej (przerywana szara) i 6 okręgów długości geograficznej (jednolita kolorowa)

W 1917 roku WS Andrews opublikował układ liczb 1, 2, 3 i 62 w jedenastu okręgach po dwanaście liczb na kuli reprezentującej równoleżniki i południki Ziemi, tak że każdy okrąg ma 12 liczb, w sumie 378.

Związek z magicznymi kwadratami

Magiczny krąg wywodzący się z magicznego kwadratu

Magiczny krąg można wyprowadzić z jednego lub więcej magicznych kwadratów, umieszczając liczbę na każdym przecięciu koła i szprychy. Dodatkowe szprychy można dodać, powielając kolumny magicznego kwadratu.

W przykładzie na rysunku poniższy najdoskonalszy magiczny kwadrat 4 × 4 został skopiowany do górnej części magicznego kręgu. Każda liczba, z dodanymi 16, została umieszczona na przecięciu symetrycznie względem środka okręgów. W rezultacie powstaje magiczny krąg zawierający liczby od 1 do 32, przy czym każdy okrąg i średnica mają łącznie 132.

6	15	4	9
3	10	5	16
13	8	11	2
12	1	14	7

• Lam Lay Yong: A Critical Study of Hang Hui Suan Fa 《杨辉算法》 Singapore University Press 1977
•   Wu Wenjun (redaktor naczelny), Grand Series of History of Chinese Mathematics, tom 6, część 6 Yang Hui, sekcja 2 Magiczny krąg (吴文俊主编沈康身执笔《中国数学史大系》第六卷第六篇《杨辉》 第二节 《幻圆》) ISBN 7-303-04926-6 /O