Opcja azjatycka

Opcja azjatycka (lub opcja o średniej wartości ) to specjalny rodzaj kontraktu opcyjnego . W przypadku opcji azjatyckich wypłata jest określana na podstawie średniej ceny instrumentu bazowego w określonym z góry okresie. Różni się to od zwykłej opcji europejskiej i opcji amerykańskiej , gdzie wypłata kontraktu opcyjnego zależy od ceny instrumentu bazowego w momencie wykonania; Opcje azjatyckie są więc jedną z podstawowych form opcji egzotycznych . Istnieją dwa rodzaje opcji azjatyckich: fixed strike, w przypadku których zamiast ceny instrumentu bazowego stosowana jest cena uśredniona; i cena ustalona, ​​gdzie zamiast ceny wykonania stosuje się cenę uśrednioną.

Jedną z zalet opcji azjatyckich jest to, że zmniejszają one ryzyko manipulacji na rynku instrumentem bazowym w terminie zapadalności. Kolejną zaletą opcji azjatyckich jest względny koszt opcji azjatyckich w porównaniu z opcjami europejskimi lub amerykańskimi. Ze względu na funkcję uśredniania opcje azjatyckie zmniejszają zmienność właściwą opcji; dlatego opcje azjatyckie są zazwyczaj tańsze niż opcje europejskie czy amerykańskie. Może to być korzystne dla korporacji, które podlegają Rady ds. Standardów Rachunkowości Finansowej nr 123, które wymaga, aby korporacje ponosiły koszty opcji na akcje dla pracowników.

Etymologia

W latach 80. Mark Standish pracował w londyńskim Bankers Trust, pracując nad instrumentami pochodnymi o stałym dochodzie i handlem arbitrażowym na prawach własności. David Spaughton pracował jako analityk systemowy na rynkach finansowych w Bankers Trust od 1984 r., kiedy to Bank Anglii po raz pierwszy udzielił bankom licencji na wystawianie opcji walutowych na rynku londyńskim. W 1987 roku Standish i Spaughton byli w Tokio w interesach, kiedy „opracowali pierwszą komercyjnie stosowaną formułę cenową dla opcji powiązanych ze średnią ceną ropy naftowej”. Nazwali tę egzotyczną opcję opcją azjatycką, ponieważ byli w Azji.

Permutacje opcji azjatyckiej

Istnieje wiele permutacji opcji azjatyckiej; najbardziej podstawowe są wymienione poniżej:

• Naprawiono strajk (znany również jako średni kurs) Azjatycka wypłata połączenia do

$) = {\ tekst {max}} \ lewo (A ( 0,T)-K,0\right),}$

gdzie A oznacza średnią cenę w okresie [0, T], a K to cena wykonania. Równoważna opcja sprzedaży jest dana przez

${\ Displaystyle P (T) = {\ tekst {max}} \ lewo (KA (0, T), 0 \ prawo).} Azjatycka opcja$

• kupna zmiennego wykonania (lub zmiennego kursu) ma wypłatę

${\ Displaystyle C (T) = {\ tekst {max}} \ lewo (S (T) -kA (0, T), 0 \ prawo) ,}$

gdzie S(T) jest ceną w terminie zapadalności, a k jest wagą, zwykle 1, tak często pomijaną w opisach. Równoważna wypłata opcji sprzedaży jest dana przez

${\ Displaystyle P (T) = {\ tekst {max}} \ lewo (kA (0, T) -S (T), 0 \ prawo).}$

Rodzaje uśredniania

Średnią $.$ uzyskać na wiele sposobów Konwencjonalnie oznacza to średnią arytmetyczną . W ciągłym uzyskuje się to przez

${\ Displaystyle A (0, T) = {\ Frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} S (t) dt.}$

W przypadku monitorowania dyskretnego (z monitorowaniem w czasach ${\ Displaystyle 0 = t_ {0}, t_ {1}, t_ {2}, \ kropki, t_ {n} = T}$ i ${\ Displaystyle t_ {i} = i \ cdot {\ Frac {T} {n}}} )$ mamy średnią podaną przez

${\ Displaystyle A (0, T) = {\ Frac {1} {n}} \ suma _ {i = 1} ^ {n} S (t_ {i}).}$

Istnieją również opcje azjatyckie ze średnią geometryczną ; w przypadku ciągłym jest to podane przez

${\ Displaystyle A (0, T) = \ exp \ lewo ({\ Frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} \ ln (S (t)) dt \ prawej).}$

Wycena opcji azjatyckich

Omówienie problemu wyceny opcji azjatyckich metodami Monte Carlo zostało przedstawione w artykule Kemny i Vorsta.

W podejściu całkowym ścieżki do wyceny opcji problem średniej geometrycznej można rozwiązać za pomocą efektywnego potencjału klasycznego Feynmana i Kleinerta .

Rogers i Shi rozwiązują problem cenowy za pomocą podejścia PDE.

Model Variance Gamma można skutecznie wdrożyć przy wycenie opcji w stylu azjatyckim. Następnie użycie reprezentacji szeregów Bondessona do generowania procesu wariancji gamma może zwiększyć wydajność obliczeniową azjatyckiej wyceny opcji.

W ramach modeli Lévy'ego problem wyceny geometrycznych opcji azjatyckich nadal można rozwiązać. W przypadku arytmetycznej opcji azjatyckiej w modelach Lévy'ego można polegać na metodach numerycznych lub na granicach analitycznych.

Europejskie azjatyckie opcje kupna i sprzedaży ze średnią geometryczną

Jesteśmy w stanie wyprowadzić rozwiązanie w formie zamkniętej dla geometrycznej opcji azjatyckiej; gdy jest używany w połączeniu ze zmiennymi kontrolnymi w symulacjach Monte Carlo , wzór jest przydatny do wyprowadzania wartości godziwych dla arytmetycznej opcji azjatyckiej.

Zdefiniuj średnią geometryczną w czasie ciągłym jako: ${\ displaystyle G_ {T}}$

$${\ Displaystyle G_ {T} = \ exp \ lewo [{1 \ ponad {T}} \ int _ {0} ^ {T} \log S(t)dt\prawo]}$$

$gdzie$ bazowy standardowym ruchem Browna Łatwo stąd obliczyć, że:

$${\ Displaystyle G_ {T} = S_ {0} e ^ {{1 \ ponad {2 }}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{0}^{T}(Tt )dW_{t}}}$$

$zauważ$ całkę stochastyczną ,

$${\ Displaystyle d [(Tt) W_ {t}] = (Tt) dW_ {t} -W_ {t} dt}$$

Może to potwierdzić lemat Itô . Całkując to wyrażenie i wykorzystując fakt, że $są równoważne , okaże się$ że całki są równoważne - przyda się to później w wyprowadzaniu. Stosując wycenę martyngałową , wartość wywołania europejsko-azjatyckiego z uśrednianiem geometrycznym jest określona wzorem: do ${G}}$

$${\ Displaystyle C_ {G} = e ^{-rT}\mathbb {E} \left[(G_{T}-K)_{+}\right]={e^{-rT} \over {\sqrt {2\pi}}}\int _{\ell }^{\infty}\left(G_{T}-K\right)e^{-x^{2}/2}dx}$$

Aby znaleźć , musimy znaleźć takie, że: $\ displaystyle \ ell$$}$

$${\ Displaystyle G_ {T} \ geq K \ implikuje S_ {0} e ^{{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T}e^{{\sigma \over {T}}\int _{ 0}^{T}(Tt)dW_{t}}\geq K}$$

Po pewnej algebrze stwierdzamy, że:

$${\ Displaystyle {\ sigma \ ponad {T}} \ int _ {0} ^ {T }(Tt)dW_{t}\geq \log {K \over {S_{0}}}-{1 \over {2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2 }\prawo)T}$$

W tym momencie całka stochastyczna jest punktem spornym przy znalezieniu rozwiązania tego problemu. Łatwo jednak sprawdzić, że całka ma rozkład normalny jako:

$${\ Displaystyle {\ sigma \ ponad {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t} \sim {\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}{T \over {3}}\right)}$$

Jest to równoważne z powiedzeniem, że ${\ textstyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ { t} = \ sigma {\ sqrt {T \ ponad {3}}} x}$ z ${\ textstyle x \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)}$ . Dlatego mamy, że:

$${\ Displaystyle x \ geq {\ log {K \ ponad {S_ {0}}} - {1 \ ponad { 2}}\left(r-{1 \over {2}}\sigma ^{2}\right)T \over {\sigma {\sqrt {T/3}}}}\równoważnik \ell }$$

Teraz możliwe jest obliczenie wartości europejskiego połączenia azjatyckiego za pomocą uśredniania geometrycznego! W tym momencie warto zdefiniować:

$${\ Displaystyle b = {1 \ ponad {2}} \ lewo (r- {1 \ ponad {2}} \ sigma _ {G} ^ {2} \ prawej), \; \ sigma _ {G} = {\sigma \over {\sqrt {3}}},\;d_{1}={\log {S_{0} \over {K}}+\left(b+{1 \over {2}}\sigma _{G}^{2}\right)T \over {\sigma _{G}{\sqrt {T}}}},\;d_{2}=d_{1}-\sigma _{G}{ \sqrt {T}}}$$

Przechodząc przez ten sam proces, co w przypadku modelu Blacka-Scholesa , jesteśmy w stanie stwierdzić, że:

$${\ Displaystyle C_ {G} = S_ {0} e ^ {(br) T} \ Phi$$

$,$ z uśrednianiem geometrycznym , że:

$${\ Displaystyle P_ {G} = Ke ^ {-rT} \ Phi (-d_ {2 })-S_{0}e^{(br)T}\Phi (-d_{1})}$$

Oznacza to, że istnieje wersja parytetu kupna i sprzedaży dla europejskich opcji azjatyckich z uśrednieniem geometrycznym:

$$\ Displaystyle C_ {G} -P_ {G} = S_ {0} e ^ {(br) T} -Ke ^ {- rT}}$$

Odmiany opcji azjatyckiej

Istnieje kilka odmian, które są sprzedawane na rynku pozagiełdowym. Na przykład BNP Paribas wprowadził odmianę, zwaną warunkową opcją azjatycką, w której średnia cena instrumentu bazowego opiera się na obserwacjach cen powyżej określonego progu. Warunkowa azjatycka opcja sprzedaży jest opłacalna

${\ Displaystyle \ max \ lewo (K- {\ Frac {\int _{0}^{T}S(t)I_{\{S(t)>b\}}dt}{\int _{0}^{T}I_{\{S(t)> b\}}dt}},0\prawo),}$

gdzie $i$ i $jest$ funkcją wskaźnika, która jest równa, $jeśli$$.$ równa przeciwnym razie Taka opcja stanowi tańszą alternatywę niż klasyczna azjatycka opcja sprzedaży, ponieważ ograniczenie zakresu obserwacji zmniejsza zmienność średniej ceny. Zwykle jest sprzedawany za pieniądze i trwa do pięciu lat. Wycena warunkowej opcji azjatyckiej jest omawiana przez Fenga i Volkmera.