Odchylenie pominiętej zmiennej

W statystyce błąd pominiętej zmiennej ( OVB ) występuje, gdy model statystyczny pomija jedną lub więcej istotnych zmiennych . Obciążenie powoduje, że model przypisuje efekt brakujących zmiennych tym, które zostały uwzględnione.

Mówiąc dokładniej, OVB to błąd systematyczny , który pojawia się w oszacowaniach parametrów w analizie regresji , gdy przyjęta specyfikacja jest błędna, ponieważ pomija zmienną niezależną, która jest wyznacznikiem zmiennej zależnej i jest skorelowana z jedną lub kilkoma uwzględnionymi niezależnymi zmienne.

W regresji liniowej

Intuicja

Załóżmy, że prawdziwy związek przyczynowo-skutkowy jest określony przez:

${\ Displaystyle y = a + bx + cz + u}$

z parametrami a, b, c , zmienną zależną y , zmiennymi niezależnymi x i z oraz wyrazem błędu u . Chcemy poznać wpływ x na y (to znaczy, chcemy uzyskać oszacowanie b ).

regresji liniowej wystąpił błąd odchylenia pominiętych zmiennych, muszą być spełnione dwa warunki :

• pominięta zmienna musi być wyznacznikiem zmiennej zależnej (tj. jej prawdziwy współczynnik regresji nie może wynosić zero); I
• pominięta zmienna musi być skorelowana ze zmienną niezależną określoną w regresji (tj. cov( z , x ) nie może być równe zeru).

Załóżmy, że pominiemy z regresji i załóżmy, że relacja między x i z jest dana przez

${\ Displaystyle z = d + fx + e}$

z parametrami d , f i wyrazem błędu e . Podstawienie drugiego równania na pierwsze daje

${\ Displaystyle y = (a + cd) + (b + cf) x + (u + ce).}$

Jeśli regresja y jest przeprowadzana tylko na x , to ostatnie równanie jest tym, co jest szacowane, a współczynnik regresji na x jest w rzeczywistości estymatą ( b + cf ), dającą nie tylko oszacowanie pożądanego bezpośredniego wpływu x na y (czyli b ), ale raczej jego sumy ze skutkiem pośrednim (efekt f z x na z razy efekt c z z na y ). Zatem pomijając zmienną z w regresji, oszacowaliśmy całkowitą pochodną y względem x , a nie jej pochodną cząstkową względem x . Różnią się one, jeśli zarówno c, jak i f są niezerowe.

Kierunek i zakres odchylenia są zawarte w cf , ponieważ poszukiwany efekt to b , ale regresja szacuje b+cf . Zakres odchylenia jest wartością bezwzględną cf , a kierunek odchylenia jest skierowany w górę (w kierunku bardziej dodatniej lub mniej ujemnej wartości), jeśli cf > 0 (jeśli kierunek korelacji między y i z jest taki sam jak między x i z ), aw przeciwnym razie jest w dół.

Szczegółowa analiza

Jako przykład rozważ liniowy model formy

${\ Displaystyle y_ {i} = x_ {i} \ beta + z_ {i} \ delta + u_ {i}, \ qquad i=1,\kropki ,n}$

Gdzie

• x _i jest wektorem wierszowym 1 × p wartości p zmiennych niezależnych obserwowanych w czasie i lub dla i- ^tego uczestnika badania;
• β jest wektorem kolumnowym p × 1 parametrów nieobserwowalnych (współczynników odpowiedzi zmiennej zależnej na każdą z p zmiennych niezależnych w x _i ), które mają zostać oszacowane;
• z _i jest skalarem i jest wartością innej zmiennej niezależnej obserwowanej w czasie i lub dla i- ^tego uczestnika badania;
• δ jest skalarem i jest nieobserwowalnym parametrem (współczynnikiem odpowiedzi zmiennej zależnej na z _i ) do oszacowania;
• u _i to nieobserwowalny składnik błędu występujący w czasie i lub dla i ^-tego uczestnika badania; jest to nieobserwowana realizacja zmiennej losowej o wartości oczekiwanej 0 (warunkowo na x _i oraz z _i );
• y _i jest obserwacją zmiennej zależnej w czasie i lub dla i- ^tego uczestnika badania.

Zbieramy obserwacje wszystkich zmiennych z indeksem dolnym i = 1, ..., n i układamy je jedna pod drugą, aby otrzymać macierz X i wektory Y , Z i U :

${\ Displaystyle X = \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {c} x_ {1} \\\ vdots \\ x_ {n} \ koniec {tablica }}\right]\in \mathbb {R} ^{n\razy p},}$

I

${\ Displaystyle Y = \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {c} y_ {1} \\\ vdots \\ y_ {n} \ koniec {tablica}} \ prawo], \ quad Z = \ lewo [{\ begin{tablica}{c}z_{1}\\\vdots \\z_{n}\end{tablica}}\right],\quad U=\left[{\begin{array}{c}u_{1 }\\\vdots \\u_{n}\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{n\razy 1}.}$

Jeżeli z regresji pominie się zmienną niezależną z , wówczas oszacowane wartości parametrów odpowiedzi innych zmiennych niezależnych zostaną podane za pomocą zwykłego obliczenia najmniejszych kwadratów ,

${\ Displaystyle {\ widehat {\ beta}} = (X'X) ^ {- 1} X'Y \,}$

(gdzie notacja „pierwsza” oznacza transpozycję macierzy , a indeks górny -1 to inwersja macierzy ).

Zastępując Y na podstawie przyjętego modelu liniowego,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ widehat {\ beta}} & = (X'X) ^ {-1} X '(X \ beta + Z \ delta + U) \\& = (X'X )^{-1}X'X\beta +(X'X)^{-1}X'Z\delta +(X'X)^{-1}X'U\\&=\beta +(X 'X)^{-1}X'Z\delta +(X'X)^{-1}X'U.\end{wyrównane}}}$

Biorąc pod uwagę oczekiwania, wkład ostatecznego terminu wynosi zero; wynika to z założenia, że ​​U jest nieskorelowane z regresorami X . Upraszczając pozostałe terminy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} E [{\ widehat {\ beta}} \ mid X] & = \ beta + (X'X) ^ {- 1} E [X'Z \ mid X] \ delta \ \&=\beta +{\text{odchylenie}}.\end{wyrównane}}}$

Drugi człon po znaku równości to w tym przypadku odchylenie pominiętej zmiennej, które jest niezerowe, jeśli pominięta zmienna z jest skorelowana z dowolną z uwzględnionych zmiennych w macierzy X (to znaczy, jeśli X′Z nie jest równe wektor zer). Zauważ, że odchylenie jest równe ważonej części zi _{, która} jest „wyjaśniona” przez xi .

Efekt w zwykłych najmniejszych kwadratach

Gaussa -Markowa stwierdza, że ​​modele regresji, które spełniają założenia klasycznego modelu regresji liniowej, dostarczają najbardziej wydajnych , liniowych i nieobciążonych estymatorów. W zwykłych najmniejszych kwadratach odpowiednim założeniem klasycznego modelu regresji liniowej jest to, że składnik błędu nie jest skorelowany z regresorami.

Obecność błędu pominiętej zmiennej narusza to konkretne założenie. Naruszenie powoduje, że estymator OLS jest obciążony i niespójny . Kierunek obciążenia zależy od estymatorów oraz kowariancji między regresorami a pominiętymi zmiennymi. Dodatnia kowariancja pominiętej zmiennej zarówno z regresorem, jak i zmienną zależną spowoduje, że oszacowanie OLS współczynnika uwzględnionego regresora będzie większe niż prawdziwa wartość tego współczynnika. Efekt ten można zaobserwować, przyjmując wartość oczekiwaną parametru, jak pokazano w poprzedniej sekcji.

Zobacz też

• Myląca zmienna

• Barreto; Howlanda (2006). „Pominięte zmienne odchylenie” . Ekonometria wprowadzająca: korzystanie z symulacji Monte Carlo w programie Microsoft Excel . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.
• Clarke, Kevin A. (2005). „Mroczne widmo: pominięte zmienne nastawienie w badaniach ekonometrycznych”. Zarządzanie konfliktami i nauka o pokoju . 22 (4): 341–352. doi : 10.1080/07388940500339183 .
• Greene, WH (1993). Analiza ekonometryczna (wyd. 2). Macmillan. s. 245–246.
•   Wooldridge, Jeffrey M. (2009). „Pominięte zmienne odchylenie: prosty przypadek”. Ekonometria wprowadzająca: nowoczesne podejście . Mason, OH: Nauka Cengage. s. 89–93. ISBN 9780324660548 .