Zamów 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Zamówienie-4 sześciokątne kafelki o strukturze plastra miodu
Perspektywiczny widok projekcji w modelu dysku Poincarégo
Typ	Hiperboliczny zwykły plaster miodu Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbole Schläfliego	{6,3,4} {6,3 1,1 } t 0,1 {(3,6) 2 }
Diagramy Coxetera	↔ ↔ ↔
Komórki	{6,3}
Twarze	sześciokąt {6}
Rysunek krawędzi	kwadrat {4}
figura wierzchołka	oktaedr
Podwójny	Zamówienie-6 sześciennych plastra miodu
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${\ Displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$ , [6, 3 1,1 ] ${\ Displaystyle {\ widehat {VV}} _ {3}}$ , [(6,3) [2] ]
Nieruchomości	Regularne, quasiregularne

W dziedzinie geometrii hiperbolicznej sześciokątny plaster miodu rzędu 4 powstaje jako jeden z 11 regularnych parakompaktowych plastrów miodu w trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej . Jest parakompaktowy , ponieważ ma komórki złożone z nieskończonej liczby twarzy. Każda komórka jest sześciokątnym kafelkiem , którego wierzchołki leżą na horosferze : płaskiej płaszczyźnie w przestrzeni hiperbolicznej, która zbliża się do jednego idealnego punktu w nieskończoności.

Geometryczny plaster miodu to wypełnienie przestrzeni komórkami wielościennymi lub wielowymiarowymi , dzięki czemu nie ma luk. Jest to przykład bardziej ogólnego kafelkowania matematycznego lub teselacji w dowolnej liczbie wymiarów.

Plastry miodu są zwykle budowane w zwykłej przestrzeni euklidesowej („płaskiej”), podobnie jak wypukłe jednolite plastry miodu . Mogą być również konstruowane w przestrzeniach nieeuklidesowych , takich jak hiperboliczne jednolite plastry miodu . Dowolny skończony jednorodny polytope można rzutować na jego obwód , aby utworzyć jednolity plaster miodu w przestrzeni sferycznej.

Symbol Schläfli sześciokątnego plastra miodu w kolejności 4 to {6,3,4}. Ponieważ sześciokątne płytki to {6,3}, ten plaster miodu ma cztery takie sześciokątne płytki stykające się na każdej krawędzi. Ponieważ symbolem Schläfliego ośmiościanu jest {3,4}, wierzchołek tego plastra miodu jest ośmiościanem. Zatem osiem sześciokątnych nachyleń spotyka się w każdym wierzchołku tego plastra miodu, a sześć krawędzi spotykających się w każdym wierzchołku leży wzdłuż trzech ortogonalnych osi.

Obrazy

Projekcja perspektywiczna	Jedna komórka widziana spoza sfery Poincarego
Wierzchołki t{(3,∞,3)} , kafelkowanie istnieją jako 2- hipercykl w tym plastrze miodu	Plaster miodu jest analogiczny do ułożenia apeirogonalnego rzędu H 2-4 , {∞,4}, pokazanego tutaj z jednym zielonym apeirogonem zarysowanym przez jego horocykl

Symetria

Relacje podgrup

Sześciokątny plaster miodu o strukturze plastra miodu rzędu 4 ma trzy odblaskowe konstrukcje o symetrii simplex.

Jednolita konstrukcja półsymetryczna {6,3 ^1,1 } ma dwa rodzaje (kolory) płytek heksagonalnych, z diagramem Coxetera ↔ . Istnieje również konstrukcja ćwierćsymetryczna, z czterema kolorami sześciokątnych płytek: .

Istnieją dodatkowe dwie odblaskowe symetrie z nieprostszymi domenami podstawowymi: [6,3 ^* ,4], który ma indeks 6, z diagramem Coxetera ; i [6, (3,4) ^* ], który ma indeks 48. Ten ostatni ma podstawową domenę sześcienną i ośmiościenny diagram Coxetera z trzema osiowymi nieskończonymi gałęziami: . Można to postrzegać jako użycie ośmiu kolorów do pokolorowania sześciokątnych płytek plastra miodu.

Sześciokątny plaster miodu rzędu 4 zawiera , które układają 2- hipercykliczne powierzchnie i są podobne do ściętego trójkątnego układania nieskończonego rzędu , :

Powiązane polytopy i plastry miodu

Sześciokątny plaster miodu rzędu 4 to regularny hiperboliczny plaster miodu w przestrzeni 3 i jeden z 11, które są parakompaktowe.

Istnieje piętnaście jednolitych plastrów miodu w rodzinie grupy [6,3,4] Coxeter , w tym ta regularna forma i jej podwójny , sześcienny plaster miodu rzędu 6 .

Sześciokątny plaster miodu rzędu 4 ma powiązany naprzemienny plaster miodu, ↔ , z trójkątnymi płytkami i ośmiościanami .

Jest to część ciągu regularnych plastrów miodu o postaci {6,3,p}, z których wszystkie składają się z heksagonalnych komórek płytek:

{6,3,p} plastry miodu
Przestrzeń	H 3
Formularz	Parakompaktowy				Niekompaktowy
Nazwa	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Obraz
Coxetera
Figura wierzchołka {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Ten plaster miodu jest również spokrewniony z 16-komorowym , sześciennym plastrem miodu i dwunastościennym plastrem miodu rzędu 4 , z których wszystkie mają ośmiościenne figury wierzchołków.

{p,3,4} zwykłe plastry miodu
Przestrzeń	S 3	E 3	H 3
Formularz	Skończone	afiniczny	Kompaktowy	Parakompaktowy	Niekompaktowy
Nazwa	{3,3,4}	{4,3,4}	{5,3,4}	{6,3,4}	{7,3,4}	{8,3,4}	... {∞,3,4}
Obraz
Komórki	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Wspomniane plastry miodu są również quasiregularne:

Regularne i quasiregularne plastry miodu: {p,3,4} i {p,3 1,1 }
Przestrzeń	Euklidesowa 4-przestrzeń	Euklidesowa 3-przestrzeń	Hiperboliczna 3-przestrzeń
Nazwa	{3,3,4} {3,3 1,1 } = ${\ Displaystyle \ lewo \ {3, {3 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	{4,3,4} {4,3 1,1 } = ${\ Displaystyle \ lewo \ {4, {3 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	{5,3,4} {5,3 1,1 } = ${\ Displaystyle \ lewo \ {5, {3 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$	{6,3,4} {6,3 1,1 } = ${\ Displaystyle \ lewo \ {6, {3 \ na szczycie 3} \ prawo \}}$
Diagram Coxetera	=	=	=	=
Komórki {p,3}
obrazu

Rektyfikowany porządek - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Rektyfikowany porządek - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
symbole Schläfliego	r{6,3,4} lub t 1 {6,3,4}
Diagramy Coxetera	↔ ↔ ↔
Komórki	{3,4} r{6,3}
Twarze	trójkąt {3} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	pryzmat kwadratowy
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${\ Displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}$ , [4, 3 [3] ] ${\ Displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$${\ Displaystyle {\ overline {DP}} _ {3 }}$ [6,3 1,1 ] , [3 []×[] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków, przechodnie krawędzi

Sześciokątny plaster miodu z rektyfikowanego rzędu 4 , t ₁ {6,3,4}, ma ośmiościenne i triheksagonalne fasetki z płytkami, z kwadratową figurą wierzchołka pryzmatu .

Jest podobny do hiperbolicznego tetraapeirogonalnego kafelkowania 2D , r {∞,4}, które naprzemiennie apeirogonalne i kwadratowe ściany:

Ścięty porządek - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Ścięty porządek - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	t{6,3,4} lub t 0,1 {6,3,4}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	{3,4} t{6,3}
Twarze	trójkąt {3} dwunastokąt {12}
figura wierzchołka	kwadratowa Piramida
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${\ Displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$ , [6, 3 1,1 ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Ścięty sześciokątny plaster miodu rzędu 4 , t _0,1 {6,3,4}, ma ośmiościan i ścięte sześciokątne płytki, z kwadratową figurą wierzchołka piramidy .

Jest podobny do dwuwymiarowego, hiperbolicznego , obciętego rzędu 4 apeirogonalnego kafelkowania , t {∞,4}, z apeirogonalnymi i kwadratowymi ścianami:

Bitruncated order-4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Bitruncated order-4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	2t{6,3,4} lub t 1,2 {6,3,4}
Diagram Coxetera	↔ ↔ ↔
Komórki	t{4,3} t{3,6}
Twarze	kwadrat {4} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	digonalny disfenoid
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${\ Displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}$ , [4, 3 [3] ] ${\ Displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$${\ Displaystyle {\ overline {DP}} _ {3 }}$ [6,3 1,1 ] , [3 []×[] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu z bitruncated rzędu 4 , t _1,2 {6,3,4}, ma ścięte ośmiościan i sześciokątne komórki układające, z dwukątną figurą wierzchołka disfenoidalnego .

Kantelowany porządek - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Kantelowany porządek - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	rr{6,3,4} lub t 0,2 {6,3,4}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	r{3,4} {}x{4} r{6,3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	klin
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${\ Displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$ , [6, 3 1,1 ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Kantelowany sześciokątny plaster miodu o strukturze plastra miodu rzędu 4 , t _0,2 {6,3,4}, ma sześcienny ośmiościan , sześcian i rombitrisześciokątne komórki układające płytki z figurą wierzchołka klina .

Cantitruncated order - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Cantitruncated order - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	tr{6,3,4} lub t 0,1,2 {6,3,4}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	t{3,4} {}x{4} tr{6,3}
Twarze	kwadrat {4} sześciokąt {6} dwunastokąt {12}
figura wierzchołka	lustrzany sferoidalny
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6] ${\ Displaystyle {\ overline {DV}} _ {3}}$ , [6, 3 1,1 ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Ukośnie ścięty sześciokątny plaster miodu rzędu 4 , t _0,1,2 {6,3,4}, ma ścięty ośmiościan , sześcian i obcięte trójheksagonalne komórki kafelkowe, z lustrzaną figurą sferoidalnego wierzchołka .

Runcinated order-4 sześciokątne kafelki o strukturze plastra miodu

Runcinated order-4 sześciokątne kafelki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	t 0,3 {6,3,4}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	{4,3} {}x{4} {6,3} {}x{6}
Twarze	kwadrat {4} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	nieregularny trójkątny antygraniastosłup
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu o kształcie runcinated rzędu 4 , t _0,3 {6,3,4}, ma sześcian , sześciokątne kafelki i sześciokątne pryzmaty , z nieregularną trójkątną figurą wierzchołka antygraniastosłupa .

Zawiera dwuwymiarowe hiperboliczne kafelki rombittraheksagonalne rr{4,6}, z kwadratowymi i sześciokątnymi powierzchniami. Płytka ma również konstrukcję półsymetryczną .

	=

Runcitruncated order-4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Runcitruncated order-4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	t 0,1,3 {6,3,4}
Diagram Coxetera
Komórki	rr{3,4} {}x{4} {}x{12} t{6,3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} dwunastokąt {12}
figura wierzchołka	ostrosłup równoramienny-trapezoidalny
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu o strukturze plastra miodu w kształcie ściętego rzędu 4 , t _0,1,3 {6,3,4}, ma ośmiościan rombowy , sześcian , graniastosłup dwunastokątny i ścięte sześciokątne komórki układające się w kafelki, z figurą wierzchołka piramidy równoramiennej-trapezoidalnej .

Runcicantellated order-4 sześciokątne kafelki o strukturze plastra miodu

Sześciokątny plaster miodu z runcicantelated rzędu-4 jest taki sam jak sześcienny plaster miodu rzędu runcitruncated-6 .

Omnitruncated order-4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Omnitruncated order-4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	t 0,1,2,3 {6,3,4}
Diagram Coxetera
Komórki	tr{4,3} tr{6,3} {}x{12} {}x{8}
Twarze	kwadrat {4} sześciokąt {6} ośmiokąt {8} dwunastokąt {12}
figura wierzchołka	nieregularny czworościan
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BV}} _ {3}}$ , [4,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu o kształcie omnitruncated rzędu 4 , t _0,1,2,3 {6,3,4}, ma ścięty ośmiościan sześcienny , ściętą trójheksagonalną płytkę , dwunastokątny pryzmat i ośmiokątne komórki graniastosłupa , z nieregularną figurą wierzchołka czworościanu .

Alternatywna kolejność - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Alternatywna kolejność - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu Półregularny plaster miodu
symbole Schläfliego	h{6,3,4}
Diagramy Coxetera	↔
Komórki	{3 [3] } {3,4}
Twarze	trójkąt {3}
figura wierzchołka	ścięty ośmiościan
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków, przechodnie krawędzi, quasiregularne

Sześciokątny plaster miodu o naprzemiennym porządku - 4 , ↔ , składa się z trójkątnych płytek i komórek ośmiościanu , w postaci ściętego wierzchołka ośmiościanu .

Zamówienie kantyckie - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Zamówienie kantyckie - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
symbole Schläfliego	godz. 2 {6,3,4}
Diagramy Coxetera	↔
Komórki	h 2 {6,3} t{3,4} r{3,4}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	klin
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Kantyczny porządek - 4 sześciokątny kafelkowy plaster miodu , ↔ , składa się z trójheksagonalnego kafelkowego , ściętego ośmiościanu i sześciennych komórek ośmiościanu z figurą wierzchołka klina .

Runcic order-4 sześciokątne kafelki o strukturze plastra miodu

Runcic order-4 sześciokątne kafelki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
symbole Schläfliego	h 3 {6,3,4}
Diagramy Coxetera	↔
Komórki	{3 [3] } rr{3,4} {4,3} {}x{3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4}
figura wierzchołka	trójkątna kopuła
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu runcic rzędu - 4 , ↔ , składa się z trójkątnych płytek , ośmiościanu rombowego , sześcianu i trójkątnych pryzmatów z trójkątną figurą wierzchołka kopuły .

Kolejność Runcicantic - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Kolejność Runcicantic - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
symbole Schläfliego	h 2,3 {6,3,4}
Diagramy Coxetera	↔
Komórki	h 2 {6,3} tr{3,4} t{4,3} {}x{3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} sześciokąt {6} ośmiokąt {8}
figura wierzchołka	ostrosłup prostokątny
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {BP}} _ {3}}$ , [4,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

runcicantic rzędu 4 , ↔ , składa się z triheksagonalnych płytek , ściętego sześciennego ośmiościanu , ściętego sześcianu i trójkątnych komórek graniastosłupa , z prostokątną figurą wierzchołka piramidy .

Zamówienie ćwiartki - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu

Zamówienie ćwiartki - 4 sześciokątne płytki o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	q{6,3,4}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	{3 [3] } {3,3} t{3,3} godz. 2 {6,3}
Twarze	trójkąt {3} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	trójkątna kopuła
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {DP}} _ {3}}$ , [3 [] x [] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu o strukturze plastra miodu ćwiartki rzędu 4 , q{6,3,4} lub , składa się z trójkątnych płytek , triheksagonalnych płytek , czworościanu i ściętych komórek czworościanu z trójkątną figurą wierzchołka kopuły .

Zobacz też

• Wypukłe jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
• Regularne teselacje hiperbolicznej 3-przestrzeni
• Parakompaktowe jednolite plastry miodu

•   Coxeter , Regularne Polytopes , 3. red., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabele I i II: Regularne polytopy i plastry miodu, s. 294–296)
•     Piękno geometrii: dwanaście esejów (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (rozdział 10, regularne plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej ) Tabela III
•   Jeffrey R. Weeks The Shape of Space , wydanie 2 ISBN 0-8247-0709-5 (Rozdział 16-17: Geometrie na trzech rozmaitościach I, II)
• Norman Johnson Uniform Polytopes , rękopis
  • NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Rozprawa, University of Toronto, 1966
  • NW Johnson: Geometries and Transformations , (2018) Rozdział 13: Hiperboliczne grupy Coxetera