Zamów 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Zamówienie-5 sześciokątnych kafelków o strukturze plastra miodu
Perspektywiczny widok projekcji ze środka modelu dysku Poincarégo
Typ	Hiperboliczny zwykły plaster miodu Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	{6,3,5}
Diagramy Coxetera-Dynkina	↔
Komórki	{6,3}
Twarze	sześciokąt {6}
Rysunek krawędzi	pięciokąt {5}
figura wierzchołka	dwudziestościan
Podwójny	Zamów 6 dwunastościennych plastrów miodu
zespół Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ , [5,3,6]
Nieruchomości	Regularny

W dziedzinie geometrii hiperbolicznej sześciokątny plaster miodu rzędu 5 powstaje jako jeden z 11 regularnych parakompaktowych plastrów miodu w trójwymiarowej przestrzeni hiperbolicznej . Jest parakompaktowy , ponieważ ma komórki złożone z nieskończonej liczby twarzy. Każda komórka składa się z sześciokątnego kafelka , którego wierzchołki leżą na horosferze , płaskiej płaszczyźnie w przestrzeni hiperbolicznej, która zbliża się do jednego idealnego punktu w nieskończoności.

Symbol Schläfli sześciokątnego plastra miodu w kolejności 5 to {6,3,5}. Ponieważ liczba płytek sześciokątnych wynosi {6,3}, ten plaster miodu ma pięć takich płytek sześciokątnych, które stykają się na każdej krawędzi. Ponieważ symbolem Schläfliego dwudziestościanu jest {3,5}, wierzchołek tego plastra miodu jest dwudziestościanem. W ten sposób 20 sześciokątnych nachyleń spotyka się w każdym wierzchołku tego plastra miodu.

Geometryczny plaster miodu to wypełnienie przestrzeni wielościennymi lub wielowymiarowymi komórkami , dzięki czemu nie ma luk . Jest to przykład bardziej ogólnego kafelkowania matematycznego lub teselacji w dowolnej liczbie wymiarów.

Plastry miodu są zwykle budowane w zwykłej przestrzeni euklidesowej („płaskiej”), podobnie jak wypukłe jednolite plastry miodu . Mogą być również konstruowane w przestrzeniach nieeuklidesowych , takich jak hiperboliczne jednolite plastry miodu . Dowolny skończony jednorodny polytope można rzutować na jego obwód , aby utworzyć jednolity plaster miodu w przestrzeni sferycznej.

Symetria

konstrukcja o niższej symetrii o indeksie 120, [6, (3,5) ^* ], z regularnymi dwunastościennymi domenami podstawowymi i dwudziestościennym diagramem Coxetera-Dynkina z 6 osiowymi gałęziami nieskończonego rzędu (ultrarównoległymi).

Obrazy

Sześciokątny plaster miodu rzędu 5 jest podobny do dwuwymiarowego hiperbolicznego regularnego parazwartego rzędu 5 apeirogonal kafelków , {∞, 5}, z pięcioma apeirogonalnymi ścianami spotykającymi się wokół każdego wierzchołka.

Powiązane polytopy i plastry miodu

Sześciokątny plaster miodu rzędu 5 to regularny hiperboliczny plaster miodu w przestrzeni 3 i jeden z 11, które są parakompaktowe.

W rodzinie grupy [6,3,5] Coxeter występuje 15 jednolitych plastrów miodu , w tym ta regularna forma i jej regularna podwójna, dwunastościenny plaster miodu rzędu 6 .

[6,3,5] rodzinne plastry miodu

{6,3,5}	r{6,3,5}	t{6,3,5}	rrr{6,3,5}	t 0,3 {6,3,5}	tr{6,3,5}	t 0,1,3 {6,3,5}	t 0,1,2,3 {6,3,5}
{5,3,6}	r{5,3,6}	t{5,3,6}	rrr{5,3,6}	2t{5,3,6}	tr{5,3,6}	t 0,1,3 {5,3,6}	t 0,1,2,3 {5,3,6}

Sześciokątny plaster miodu rzędu 5 ma powiązany naprzemienny plaster miodu, reprezentowany przez ↔ , z dwudziestościanem i trójkątnymi komórkami układającymi się w płytki.

Jest to część ciągu regularnych hiperbolicznych plastrów miodu o postaci {6,3,p}, z sześciokątnymi ścianami płytek:

{6,3,p} plastry miodu
Przestrzeń	H 3
Formularz	Parakompaktowy				Niekompaktowy
Nazwa	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
Obraz
Coxetera
Figura wierzchołka {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

Jest również częścią sekwencji regularnych polychora i plastrów miodu z dwudziestościennymi figurami wierzchołków:

{p,3,5} polytopy
Przestrzeń	S 3	H 3
Formularz	Skończone	Kompaktowy		Parakompaktowy	Niekompaktowy
Nazwa	{3,3,5}	{4,3,5}	{5,3,5}	{6,3,5}	{7,3,5}	{8,3,5}	... {∞,3,5}
Obraz
Komórki	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

Rektyfikowany porządek - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Rektyfikowany porządek - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
symbole Schläfliego	r{6,3,5} lub t 1 {6,3,5}
Diagramy Coxetera	↔
Komórki	{3,5} r{6,3} lub h 2 {6,3}
Twarze	trójkąt {3} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	pryzmat pięciokątny
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {{\ overline {HV}} _ {3}}}$ , [5,3,6] ${\ Displaystyle {{\ overline {HP}} _ {3}}}$ , [5,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków, przechodnie krawędzi

Sześciokątny plaster miodu z rektyfikowanego rzędu 5 , t ₁ {6,3,5}, ma dwudziestościan i trójkątne fasetki z płytkami, z pięciokątną figurą wierzchołka pryzmatu .

Jest podobny do dwuwymiarowego hiperbolicznego kafelkowania kwadratowego nieskończonego rzędu , r {∞,5} z pięciokątnymi i apeirogonalnymi ścianami. Wszystkie wierzchołki leżą na idealnej powierzchni.

r{p,3,5}

Przestrzeń	S 3	H 3
Formularz	Skończone	Kompaktowy		Parakompaktowy	Niekompaktowy
Nazwa	r{3,3,5}	r{4,3,5}	r{5,3,5}	r{6,3,5}	r{7,3,5}	... r{∞,3,5}
Obraz
Komórki {3,5}	r{3,3}	r{4,3}	r{5,3}	r{6,3}	r{7,3}	r{∞,3}

Ścięty porządek - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Ścięty porządek - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	t{6,3,5} lub t 0,1 {6,3,5}
Diagram Coxetera
Komórki	{3,5} t{6,3}
Twarze	trójkąt {3} dwunastokąt {12}
figura wierzchołka	pięciokątna piramida
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ , [5,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Ścięty sześciokątny plaster miodu rzędu 5 , t _0,1 {6,3,5}, ma dwudziestościan i ścięte sześciokątne płytki, z pięciokątną figurą wierzchołka piramidy .

Bitruncated order-5 sześciokątnych kafelków o strukturze plastra miodu

Bitruncated order-5 sześciokątnych kafelków o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	2t{6,3,5} lub t 1,2 {6,3,5}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	t{3,6} t{3,5}
Twarze	pięciokąt {5} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	digonalny disfenoid
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ , [5,3,6] ${\ Displaystyle {\ overline {HP}} _ {3}}$ , [5, 3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu z bitruncated rzędu 5 , t _1,2 {6,3,5}, ma sześciokątne płytki i ścięte dwudziestościany , z dwukątną figurą wierzchołka dwufenoidalnego .

Kantelowany porządek - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Kantelowany porządek - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	rr{6,3,5} lub t 0,2 {6,3,5}
Diagram Coxetera
Komórki	r{3,5} rr{6,3} {}x{5}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} pięciokąt {5} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	klin
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ , [5,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Kantelowany sześciokątny plaster miodu z rzędu 5 , t _0,2 {6,3,5}, ma dwudziestościan , rombotwórcze sześciokątne płytki i pięciokątne graniastosłupy , z figurą wierzchołka klina .

Cantitruncated order - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Cantitruncated order - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	tr{6,3,5} lub t 0,1,2 {6,3,5}
Diagram Coxetera
Komórki	t{3,5} tr{6,3} {}x{5}
Twarze	kwadrat {4} pięciokąt {5} sześciokąt {6} dwunastokąt {12}
figura wierzchołka	lustrzany sferoidalny
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ , [5,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Ukośnie ścięty sześciokątny plaster miodu rzędu 5 , t _0,1,2 {6,3,5}, ma ścięty dwudziestościan , ściętą trójheksagonalną płytkę i pięciokątne graniastosłupy, z lustrzaną figurą wierzchołka sferoidalnego .

Runcinated order-5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Runcinated order-5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	t 0,3 {6,3,5}
Diagram Coxetera
Komórki	{6,3} {5,3} {}x{6} {}x{5}
Twarze	kwadrat {4} pięciokąt {5} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	nieregularny trójkątny antygraniastosłup
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ , [5,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu o kształcie runcinated rzędu 5 , t _0,3 {6,3,5}, ma dwunastościan , sześciokątne płytki , pięciokątny pryzmat i sześciokątny pryzmat, z nieregularną trójkątną figurą wierzchołka antygraniastosłupa .

Runcitruncated order-5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Runcitruncated order-5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	t 0,1,3 {6,3,5}
Diagram Coxetera
Komórki	t{6,3} rr{5,3} {}x{5} {}x{12}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} pięciokąt {5} dwunastokąt {12}
figura wierzchołka	ostrosłup równoramienny-trapezoidalny
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ , [5,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu o przekroju ściętym rzędu 5 , t _0,1,3 {6,3,5}, ma ściętą sześciokątną płytkę , rombozydodziesięciościan , graniastosłup pięciokątny i komórki graniastosłupa dwunastokątnego , z wierzchołkiem piramidy trapezowej równoramiennej .

Runcicantelated order-5 sześciokątnych kafelków o strukturze plastra miodu

Sześciokątny plaster miodu z runcicantelated rzędu 5 jest taki sam jak dwunastościenny plaster miodu z rzędu runcitruncated rzędu 6 .

Omnitruncated order-5 sześciokątnych kafelków o strukturze plastra miodu

Omnitruncated order-5 sześciokątnych kafelków o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	t 0,1,2,3 {6,3,5}
Diagram Coxetera
Komórki	tr{6,3} tr{5,3} {}x{10} {}x{12}
Twarze	kwadrat {4} sześciokąt {6} dziesięciokąt {10} dwunastokąt {12}
figura wierzchołka	nieregularny czworościan
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HV}} _ {3}}$ , [5,3,6]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Wielościenny sześciokątny plaster miodu rzędu 5 , t _0,1,2,3 {6,3,5}, ma ściętą trójheksagonalną płytkę , ścięty dwudziestościan , dziesięciokątny pryzmat i dwunastokątne graniastosłupy , z nieregularną czworościenną figurą wierzchołka .

Alternatywna kolejność - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Alternatywna kolejność - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu Półregularny plaster miodu
Symbol Schläfliego	h{6,3,5}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	{3 [3] } {3,5}
Twarze	trójkąt {3}
figura wierzchołka	dwudziestościan ścięty
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HP}} _ {3}}$ , [5,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków, przechodnie krawędzi, quasiregularne

Sześciokątny plaster miodu o naprzemiennym porządku - 5 , h{6,3,5}, ↔ , ma trójkątne płytki i fasetki dwudziestościanu , ze ściętą figurą wierzchołka dwudziestościanu . Jest to quasiregularny plaster miodu .

Cantic order-5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Cantic order-5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	godz. 2 {6,3,5}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	h 2 {6,3} t{3,5} r{5,3}
Twarze	trójkąt {3} pięciokąt {5} sześciokąt {6}
figura wierzchołka	trójkątny pryzmat
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HP}} _ {3}}$ , [5,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu w porządku kantycznym - 5 , h ₂ {6,3,5}, ↔ , ma trójkątne płytki , ścięty dwudziestościan i dwudziestościan dwudziestościanu , z trójkątną figurą wierzchołka pryzmatu .

Runcic order-5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Runcic order-5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	h 3 {6,3,5}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	{3 [3] } rr{5,3} {5,3} {}x{3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} pięciokąt {5}
figura wierzchołka	trójkątna kopuła
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HP}} _ {3}}$ , [5,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu o strukturze runcic rzędu 5 , h ₃ {6,3,5}, ↔ , ma trójkątne płytki , rombicosidodecahedron , dwunastościan i trójkątne graniastosłupy z trójkątną figurą wierzchołka kopuły .

Kolejność Runcicantic - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu

Kolejność Runcicantic - 5 sześciokątnych płytek o strukturze plastra miodu
Typ	Parakompaktowy jednolity plaster miodu
Symbol Schläfliego	h 2,3 {6,3,5}
Diagram Coxetera	↔
Komórki	h 2 {6,3} tr{5,3} t{5,3} {}x{3}
Twarze	trójkąt {3} kwadrat {4} sześciokąt {6} dziesięciokąt {10}
figura wierzchołka	ostrosłup prostokątny
grupy Coxetera	${\ Displaystyle {\ overline {HP}} _ {3}}$ , [5,3 [3] ]
Nieruchomości	Przechodnie wierzchołków

Sześciokątny plaster miodu o strukturze runcicantic rzędu 5 , h _2,3 {6,3,5}, ↔ , ma triheksagonalne płytki , ścięty dwudziestościan , dwunastościan ścięty i trójkątne graniastosłupy , z prostokątną figurą wierzchołka piramidy .

Zobacz też

• Wypukłe jednolite plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej
• Regularne teselacje hiperbolicznej 3-przestrzeni
• Parakompaktowe jednolite plastry miodu

•   Coxeter , Regularne Polytopes , 3. red., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tabele I i II: Regularne polytopy i plastry miodu, s. 294–296)
•     Piękno geometrii: dwanaście esejów (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (rozdział 10, regularne plastry miodu w przestrzeni hiperbolicznej ) Tabela III
•   Jeffrey R. Weeks The Shape of Space , wydanie 2 ISBN 0-8247-0709-5 (Rozdział 16-17: Geometrie na trzech rozmaitościach I, II)
• Norman Johnson Uniform Polytopes , rękopis
  • NW Johnson : Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Rozprawa, University of Toronto, 1966
  • NW Johnson: Geometries and Transformations , (2018) Rozdział 13: Hiperboliczne grupy Coxetera