ośmiościan rombowy

Wykres rombowy sześcienno-oktaedryczny
Wykres rombowy sześcienno-oktaedryczny
	4-krotna symetria
Wierzchołki	24
Krawędzie	48
Automorfizmy	48
Nieruchomości	Graf kwartalny , hamiltonian , regularny
	Tabela wykresów i parametrów

Ośmiościan rombowy
(kliknij tutaj, aby zobaczyć model obrotowy)
Typ	Bryła Archimedesa Jednolity wielościan
Elementy	F = 26, E = 48, V = 24 (χ = 2)
Twarze po bokach	8{3}+(6+12){4}
Notacja Conwaya	eC lub aaC aaaT
symbole Schläfliego	rr {4,3} lub ${\ Displaystyle R {\ rozpocząć {Bmatrix} 4 \\ 3 \ koniec {Bmatrix}}}$
symbole Schläfliego	t _0,2 {4,3}
Symbol Wythoffa	3 4 \| 2
Diagram Coxetera
Grupa symetrii	O _h , B ₃ , [4,3], (*432), rząd 48
Grupa rotacyjna	O , [4,3] ⁺ , (432), rząd 24
Kąt dwuścienny	3-4: 144°44′08″ (144,74°) 4-4: 135°
Bibliografia	U ₁₀ , C ₂₂ , W ₁₃
Nieruchomości	Półregularny wypukły
Kolorowe twarze	3.4.4.4 ( Rysunek wierzchołka )
Dwudziestościan naramienny ( podwójny wielościan )	Internet

W geometrii ośmiościan rombowy lub mały ośmiościan rombowy lub rektyfikowany dwunastościan rombowy to wielościan z ośmioma trójkątnymi , sześcioma kwadratowymi i dwunastoma prostokątnymi ścianami. Istnieją 24 identyczne wierzchołki, z jednym trójkątem, jednym kwadratem i dwoma prostokątami spotykającymi się w każdym z nich. Jeśli wszystkie prostokąty same w sobie są kwadratowe (równoważnie, wszystkie krawędzie są tej samej długości, zapewniając trójkąty równoboczne ), jest to bryła Archimedesa . Wielościan ma symetrię ośmiościenną , podobnie jak sześcian i ośmiościan . Jego podwójny nazywa się icositetrahedronem naramiennym lub icositetrahedrem trapezoidalnym, chociaż jego ściany nie są tak naprawdę prawdziwymi trapezami .

Nazwy

Johannes Kepler w Harmonices Mundi (1618) nazwał ten wielościan ośmiościanem rombowym , będącym skrótem od ściętego rombu sześcienno-ośmiościennego , przy czym romb sześcienno-ośmiościanowy to jego nazwa dwunastościanu rombowego . Istnieją różne obcięcia dwunastościanu rombowego w topologiczny ośmiościan rombowy: wyraźnie jego rektyfikację (po lewej), tę, która tworzy jednolitą bryłę (w środku) oraz rektyfikację podwójnego ośmiościanu sześciennego (po prawej), która jest rdzeniem podwójny związek .

Można go również nazwać rozszerzonym lub kantelowanym sześcianem lub ośmiościanem , na podstawie operacji obcięcia na jednym z jednolitych wielościanów .

Od czasu włączenia go do Wings 3D jako „ośmiornica”, ten nieoficjalny przydomek rozprzestrzenia się.

Relacje geometryczne

Ośmiościan rombowy można postrzegać jako rozszerzony sześcian (niebieskie ściany) lub rozszerzony ośmiościan (czerwone ściany).

Istnieją zniekształcenia ośmiościanu rombowego, które chociaż niektóre ściany nie są regularnymi wielokątami, nadal są jednolite w wierzchołkach. Niektóre z nich można wykonać, biorąc sześcian lub ośmiościan i odcinając krawędzie, a następnie przycinając rogi, tak aby powstały wielościan miał sześć kwadratowych i dwanaście prostokątnych ścian. Mają one symetrię ośmiościenną i tworzą ciągłą serię między sześcianem a ośmiościanem, analogicznie do zniekształceń rombozydodekahedru lub czworościennych zniekształceń sześciennego ośmiościanu . Jednak ośmiościan rombowy ma również drugi zestaw zniekształceń z sześcioma prostokątnymi i szesnastoma trapezowymi ścianami, które nie mają symetrii ośmiościennej, ale raczej symetrię T _h , więc są niezmienne przy tych samych obrotach co czworościan , ale przy różnych odbiciach.

Linie, wzdłuż których można obracać kostkę Rubika , są rzutowane na kulę, podobną, topologicznie identyczną, do krawędzi ośmiościanu rombowego. W rzeczywistości wyprodukowano warianty wykorzystujące mechanizm kostki Rubika, które bardzo przypominają rombowy ośmiościan.

Ośmiościan rombowy jest używany w trzech jednorodnych teselacjach wypełniających przestrzeń : sześciennym plastrze miodu kantelowanym , sześciennym plastrze miodu ze ściętym ścięciem i naprzemiennym sześciennym plastrem miodu z runcinatem .

Sekcja

Ośmiościan rombowy można podzielić na dwie kwadratowe kopuły i środkowy ośmiokątny pryzmat . Obrót jednej kopuły o 45 stopni tworzy ośmiościan pseudorombowy <a i=6>. Oba te wielościany mają tę samą figurę wierzchołków: 3.4.4.4.

Trójkąty są ułożone naprzemiennie w pseudorombowy ośmiościan (na górze), ale wyrównane w ośmiościan rombowy (na dole)

Istnieją trzy pary równoległych płaszczyzn, z których każda przecina ośmiościan rombowy w regularnym ośmiokącie. Ośmiościan rombowy można podzielić wzdłuż dowolnego z nich, aby uzyskać ośmiokątny pryzmat o regularnych ścianach i dwóch dodatkowych wielościanach zwanych kwadratowymi kopułami , które zaliczają się do brył Johnsona ; jest to zatem wydłużona kwadratowa orto bikupole . Kawałki te można ponownie złożyć, aby uzyskać nową bryłę zwaną wydłużoną kwadratową żyrobikupolą lub pseudorombowym ośmiościanem , z symetrią kwadratowego antygraniastosłupa. W tym przypadku wszystkie wierzchołki są lokalnie takie same jak wierzchołki ośmiościanu rombowego, z jednym trójkątem i trzema kwadratami spotykającymi się w każdym z nich, ale nie wszystkie są identyczne w odniesieniu do całego wielościanu, ponieważ niektóre są bliżej osi symetrii niż inne.

	Ośmiościan rombowy
	Ośmiościan ośmiościan rombowy

Projekcje ortogonalne

Ośmiościan rombowy ma sześć specjalnych rzutów ortogonalnych , wyśrodkowanych na wierzchołku, na dwóch rodzajach krawędzi i trzech typach ścian: trójkątach i dwóch kwadratach. Dwa ostatnie odpowiadają _B2 i _A2 Coxetera .

Projekcje ortogonalne
Wyśrodkowany przez	Wierzchołek	Krawędź 3-4	Krawędź 4-4	twarzy -1	twarzy -2	Trójkąt twarzy
Solidny
szkielet
Symetria projekcyjna	[2]	[2]	[2]	[2]	[4]	[6]
Podwójny

Płytki sferyczne

Ośmiościan rombowy można również przedstawić jako sferyczną płytkę i rzutować na płaszczyznę za pomocą rzutu stereograficznego . Ta projekcja jest konforemna , zachowując kąty, ale nie obszary lub długości. Linie proste na kuli są rzutowane na płaszczyznę jako okrągłe łuki.

Projekcja ortogonalna	Projekcje stereograficzne
	(6) wyśrodkowany w kwadracie	(6) wyśrodkowany w kwadracie	(8) wyśrodkowany w trójkącie

Symetria pirytoedryczna

Postać półsymetrii ośmiościanu rombowego istnieje z symetrią pirytoedryczną , [4,3 ⁺ ], (3*2) jako diagram Coxetera , symbol Schläfliego s ₂ {3,4}, i można ją nazwać kantycznym ośmiościanem zadartym . Formę tę można zwizualizować, naprzemiennie kolorując krawędzie 6 kwadratów . Te kwadraty można następnie zniekształcić w prostokąty , podczas gdy 8 trójkątów pozostaje równobocznych. 12 przekątnych kwadratowych ścian stanie się trapezami równoramiennymi . W granicy prostokąty można zredukować do krawędzi, a trapezy stają się trójkątami i powstaje dwudziestościan przez zadarty ośmiościan , s {3,4}. ( Związek dwóch dwudziestościanów jest zbudowany z obu naprzemiennych pozycji).

Wariacje symetrii pirytoedrycznej
Jednolita geometria	Niejednolita geometria	Niejednolita geometria	W limicie dwudziestościan zadarty ośmiościan , z jednej z dwóch pozycji.	Związek dwóch dwudziestościanów z obu naprzemiennych pozycji.

Właściwości algebraiczne

współrzędne kartezjańskie

Współrzędne kartezjańskie wierzchołków ośmiościanu rombowego wyśrodkowanego w początku, o długości krawędzi równej 2 jednostkom, są parzystymi permutacjami

(±1, ±1, ±(1 + √ 2 )).

Jeśli oryginalny rombowy ośmiościan ma jednostkową długość krawędzi, jego podwójny stromiczny dwudziestościan ma długości krawędzi

{\ Displaystyle {\ Frac {2} {7}}} {\ sqrt {10- {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ tekst {i}} \ quad {\ sqrt {4-2 {\ sqrt { 2}}}}.}

Powierzchnia i objętość

Pole A i objętość V ośmiościanu rombowego o długości krawędzi a wynoszą:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A & = \ lewo (18 + 2 {\ sqrt {3}} \ prawo) a ^ {2} & & \ około 21,464 \, 1016a ^ {2} \\ V & = {\ frac {12+10{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\około 8,714\,045\,21a^{3}.\end{wyrównane}}}

Gęstość upakowania bliskiego

Optymalna frakcja upakowania rombicuboctaedrów jest podana przez

{\ Displaystyle \ eta = {\ tfrac {4} {3}} \ lewo (4 {\ sqrt {2}} -5 \ prawej)}

.

Zauważono, że tę optymalną wartość uzyskuje w sieci Bravais de Graaf ( 2011 ). Ponieważ ośmiościan rombowy jest zawarty w dwunastościanie rombowym , którego wpisana kula jest identyczna z jego własną wpisaną kulą, wartość optymalnego ułamka upakowania jest następstwem hipotezy Keplera : można to osiągnąć, umieszczając ośmiościan rombowy w każdej komórce dwunastościanu rombowego plaster miodu i nie można go przekroczyć, ponieważ w przeciwnym razie optymalna gęstość upakowania kul mogłaby zostać przekroczona przez umieszczenie kuli w każdym ośmiościanie rombowym hipotetycznego upakowania, które ją przekracza.

w sztuce

Portret Luca Pacioli (ok. 1495)

Ilustracja Leonarda da Vinci w Divina proporcjonalna (1509)

Portret Luca Pacioli z 1495 roku , tradycyjnie przypisywany Jacopo de' Barbari , zawiera szklany rombowy ośmiościan wypełniony do połowy wodą, który mógł być namalowany przez Leonarda da Vinci . Pierwsza drukowana wersja ośmiościanu rombowego została napisana przez Leonarda i pojawiła się w dziele Pacioli 's Divina ratione (1509).

Sferyczna panorama 180° × 360° może być rzutowana na dowolny wielościan; ale ośmiościan rombowy zapewnia wystarczająco dobre przybliżenie kuli, a jednocześnie jest łatwy do zbudowania. Ten typ projekcji, zwany Filosferą , jest możliwy w niektórych programach do montażu panoram. Składa się z dwóch obrazów, które są drukowane oddzielnie i cięte nożyczkami, pozostawiając kilka klapek do złożenia za pomocą kleju.

Obiekty

Gry Freescape Driller i Dark Side miały mapę gry w postaci ośmiościanu rombowego .

„Hurry-Scurry Galaxy” i „Sea Slide Galaxy” w grze wideo Super Mario Galaxy mają planety o podobnym kształcie ośmiościanu rombu.

Sonic the Hedgehog 3 ' s Icecap Zone ma filary zwieńczone rombicuboctahedrami.

Podczas szaleństwa na kostki Rubika w latach 80. co najmniej dwie sprzedawane kręte układanki miały kształt ośmiościanu rombowego (mechanizm był podobny do mechanizmu kostki Rubika ) .

Zegar słoneczny (1596)
Zegar słoneczny
Latarnia uliczna w Moguncji
Umrzyj z 18 oznaczonymi twarzami
Cel strzelecki Cabeli
Wąż Rubika
Odmiana kostki Rubika
Kryształ pirytu

Powiązane wielościany

Rombowy ośmiościan należy do rodziny jednolitych wielościanów związanych z sześcianem i regularnym ośmiościanem.

Jednolite wielościany ośmiościenne
Symetria : [4,3], (*432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ ,4,3] = [3,3] (*332)		[3 ⁺ ,4] (3*2)
{4,3}	t{4,3}	r{4,3} r{3 ^1,1 }	t{3,4} t{3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr{4,3} s ₂ {3,4}	tr{4,3}	sr{4,3}	h{4,3} {3,3}	h ₂ {4,3} t{3,3}	s{3,4} s{3 ^1,1 }

		=	=	=				= lub	= lub	=

Podwójne do jednolitych wielościanów
V4 ³	Wersja 3.8 ²	V(3.4) ²	V4.6 ²	V3 ⁴	wersja 3.4 ³	V4.6.8	V3 ⁴ .4	V3 ³	Wersja 3.6 ²	V3 ⁵

Mutacje symetrii

Ten wielościan jest powiązany topologicznie jako część ciągu kantelowanych wielościanów z figurą wierzchołków (3.4.n.4 ) i kontynuuje jako nachylenie płaszczyzny hiperbolicznej . Te przechodnie wierzchołków mają (* n 32) symetrię odbiciową .

* n 32 mutacja symetrii rozwiniętych nachyleń: 3.4. nr 4
Symetria * n 32 [n,3]	Kulisty				Euklides.	Kompaktowy hiperb.		parakomp.
Symetria * n 32 [n,3]	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
Postać
Konfig.	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4	3.4.8.4	3.4.∞.4

* n 42 mutacja symetrii rozszerzonych nachyleń: n .4.4.4
Symetria [n,4], (* n 42)	Kulisty	euklidesowy	Kompaktowy hiperboliczny				parakomp.
Symetria [n,4], (* n 42)	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]	*∞42 [∞,4]
Rozbudowane figury
Konfig.	3.4.4.4	4.4.4.4	5.4.4.4	6.4.4.4	7.4.4.4	8.4.4.4	∞.4.4.4
figur rombowych .	V3.4.4.4	V4.4.4.4	V5.4.4.4	Wersja 6.4.4.4	V7.4.4.4	Wersja 8.4.4.4	V∞.4.4.4

Układ wierzchołków

Dzieli swój układ wierzchołków z trzema niewypukłymi jednorodnymi wielościanami : gwiaździstym ściętym sześciościanem , małym rombosześcianem (mający wspólne trójkątne ściany i sześć kwadratowych ścian) oraz małym ośmiościanem sześciennym (mający dwanaście wspólnych kwadratowych ścian).

ośmiościan rombowy	Mały ośmiościan sześcienny	Mały rombsześcian	Gwiaździsty ścięty sześciościan

Wykres rombowo-ośmiościenny

Graf rombowo-ośmiościanu to wykres wierzchołków i krawędzi ośmiościanu rombu. Ma 24 wierzchołki i 48 krawędzi i jest kwartalnym grafem Archimedesa .

Zobacz też

Związek pięciu rombicuboctaedrów
Sześcian
sześcienny ośmiościan
Niewypukły wielki ośmiościan rombowy
Ścięty ośmiościan rombowy
Wydłużona kwadratowa gyrobicupola
Morawska gwiazda
Oktaedr
rombozydodziesięciościan
Rubik's Snake - łamigłówka, która może uformować „kulę” romboośmiościanu
Białoruska Biblioteka Narodowa – jej główny element architektoniczny ma kształt ośmiościanu rombowego.
Ścięty ośmiościan ośmiościan (wielki ośmiościan rombowy)

Dalsza lektura

Williams, Robert (1979). Geometryczne podstawy naturalnej struktury: źródłowa księga projektowania . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X . (sekcja 3–9)
Cromwell, P. (1997). Wielościany . Wielka Brytania: Cambridge. s. 79–86 Bryły Archimedesa . ISBN 0-521-55432-2 .
Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (13 maja 1954). „Jednolite wielościany”. Transakcje filozoficzne Royal Society of London. Seria A, nauki matematyczne i fizyczne . 246 (916): 401–450. Bibcode : 1954RSPTA.246..401C . doi : 10.1098/rsta.1954.0003 . S2CID 202575183 .
de Graaf, J.; van Roij, R.; Dijkstra, M. (2011), „Gęste regularne opakowania nieregularnych cząstek niewypukłych”, Physical Review Letters , 107 (15): 155501, arXiv : 1107,0603 , Bibcode : 2011PhRvL.107o5501D , doi : 10.1103/PhysRevLett.107.1 55501 , PMID 22107298 , S2CID 14041658
Betke, U.; Henk, M. (2000), „Najgęstsze opakowania kratowe 3-Polytopes”, Computational Geometry , 16 (3): 157–186, arXiv : math / 9909172 , doi : 10,1016 / S0925-7721 (00) 00007-9
Torquato, S.; Jiao, Y. (2009), „Gęste upakowania brył platońskich i archimedesowych”, Nature , 460 (7257): 876–879, arXiv : 0908,4107 , Bibcode : 2009Natur.460..876T , doi : 10.1038/nature08239 , PMID 19675649 , S2CID 52819935
Hales, Thomas C. (2005), „Dowód hipotezy Keplera” , Annals of Mathematics , 162 (3): 1065–1185, arXiv : math / 9811078v2 , doi : 10.4007 / annals.2005.162.1065