Kryterium wydajności Druckera-Pragera

Rysunek 1: Widok powierzchni plastyczności Druckera-Pragera w przestrzeni 3D głównych naprężeń dla ${\ Displaystyle c = 2, \ phi = -20 ^ {\ circ}}$

Kryterium plastyczności Druckera-Pragera to zależny od ciśnienia model służący do określania, czy materiał uległ uszkodzeniu lub uległ plastyczności. Kryterium to wprowadzono w celu uwzględnienia odkształceń plastycznych gruntów. To i jego wiele odmian zostało zastosowanych do skał, betonu, polimerów, pianek i innych materiałów zależnych od ciśnienia.

Kryterium plastyczności Druckera – Pragera ma postać

${\ Displaystyle {\ sqrt {J_ {2}}} = A + B ~ I_ {1}}$

gdzie $niezmiennikiem$ naprężenia Cauchy'ego i jest drugim $niezmiennikiem$ dewiatorycznej części naprężenia _ _ _ _ Stałe są określane na podstawie eksperymentów. ${\ displaystyle A, B} .$

Pod względem naprężenia równoważnego (lub naprężenia von Misesa ) i naprężenia hydrostatycznego (lub średniego) kryterium Druckera-Pragera można wyrazić jako

${\ Displaystyle \ sigma _ {e} = a + b ~ \ sigma _ {m}}$

gdzie $naprężeniem$ równoważnym $,$ naprężeniem , $są$ Kryterium plastyczności Druckera – Pragera wyrażone we współrzędnych Haigh – Westergaard to

${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ rho - {\ sqrt {3}} ~ B \ xi = A}$

Druckera – Pragera jest gładką wersją powierzchni plastyczności Mohra – Coulomba .

Wyrażenia dla A i B

Model Druckera-Pragera można zapisać w kategoriach głównych naprężeń jako

${\ Displaystyle {\ sqrt {{\ cfrac {1} {6}} \ lewo [(\ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}) ^ {2} + (\ sigma _ {2} - \ sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]}}=A+B~(\sigma _{1}+\sigma _ {2}+\sigma _{3})~.}$

Jeśli $plastyczności$ przy rozciąganiu jednoosiowym, implikuje kryterium Druckera-Pragera

${\ Displaystyle {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ sigma _ {t} = A + B ~ \ sigma _ {t} ~.}$

Jeśli jest $plastyczności przy$ jednoosiowym, implikuje kryterium Druckera-Pragera

${\ Displaystyle {\ cfrac {1} {\ sqrt {3}}} ~ \ sigma _ {c} = AB ~ \ sigma _ {c} ~.}$

Rozwiązanie tych dwóch równań daje

${\ Displaystyle A = {\ cfrac {2} {\ sqrt {3}}} ~ \ lewo ({\ cfrac {\ sigma _ {c} ~ \ sigma _ {t}} {\ sigma _ {c} + \ sigma _{t}}}\right)~;~~B={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c }}{\sigma _{c}+\sigma _{t}}}\right)~.}$

Współczynnik asymetrii jednoosiowej

Model Druckera-Pragera przewiduje różne jednoosiowe naprężenia uplastyczniające przy rozciąganiu i ściskaniu. Współczynnik asymetrii jednoosiowej dla modelu Druckera – Pragera wynosi

${\ Displaystyle \ beta = {\ cfrac {\ sigma _ {\ operatorname {c}}} {\ sigma _ {\ operatorname {t}}}} = {\ cfrac {1- {\ sqrt {3}} ~ B }{1+{\sqrt {3}}~B}}~.}$

Wyrażenia pod względem spójności i kąta tarcia

powierzchnia plastyczności Druckera – Pragera ${\ displaystyle \ phi}$ gładką wersją powierzchni plastyczności Mohra – Coulomba , często wyraża się ją w kategoriach spójności ( $)$ i kąta tarcia wewnętrznego ( ), które są używane do opisu powierzchni plastyczności Mohra – Coulomba . $ZA {\ displaystyle A}$ założymy, że powierzchnia plastyczności Druckera – Pragera opisuje powierzchnię plastyczności Mohra – Coulomba, to wyrażenia dla i $}$ są następujące:

${\ Displaystyle A = {\ cfrac {6 ~ c ~ \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ phi)}} ~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi)}}}$

Jeśli środek powierzchni plastyczności Druckera – Pragera otacza powierzchnię plastyczności Mohra – Coulomba, to wtedy

${\ Displaystyle A = {\ cfrac {6 ~ c ~ \ cos \ phi} {{\ sqrt {3}} (3 + \ sin \ phi)}} ~;~~B={\cfrac {2~\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi)}}}$

Jeśli powierzchnia plastyczności Druckera – Pragera wpisuje się w powierzchnię plastyczności Mohra – Coulomba, to wtedy

${\ Displaystyle A = {\ cfrac {3 ~ c ~ \ cos \ phi} {\ sqrt {9 + 3 ~ \ sin ^ {2} \ phi}}} ~ ;~~B={\cfrac {\sin \phi}}{\sqrt {9+3~\sin ^{2}\phi}}}}$

Wyprowadzenie wyrażeń dla ${\ Displaystyle A, B}$ w kategoriach do $\ Displaystyle c, \ phi}$

Wyrażenie na kryterium plastyczności Mohra-Coulomba w przestrzeni Haigha-Westergaarda to ${\ Displaystyle \ lewo [{\ sqrt {3}} ~ \ sin \ lewo (\ teta + {\ tfrac {\ pi} {3}} \ prawo) - \ sin \ phi \ cos \ lewo (\ theta +{\tfrac {\pi}{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi)\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi }$ Jeśli założymy, że powierzchnia plastyczności Druckera – Pragera $otacza$ Mohra – Coulomba w taki sposób, że obie powierzchnie pokrywają się w w tych wskazuje, że powierzchnię plastyczności Mohra – Coulomba można wyrazić jako ${\ Displaystyle \ lewo [{\ sqrt {3}} ~ \ grzech {\ tfrac {2\pi }{3}}-\sin \phi \cos {\tfrac {2\pi }{3}}\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi)\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi}$ Lub, $\ Displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ rho - {\ cfrac {2\sin \phi }{3+\sin \phi}}\xi ={\cfrac {{\sqrt {12}}c\cos \phi }{3+\sin \phi }}\qquad \qquad (1.1)}$ Kryterium plastyczności Druckera – Pragera wyrażone we współrzędnych Haigh – Westergaard to ${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2}}} \ rho - {\ sqrt {3}} ~ B \ xi = A \ qquad \ qquad ( 1.2)}$ Porównując równania (1.1) i (1.2), mamy ${\ Displaystyle A = {\ cfrac {{\ sqrt {12}} c \ cos \ fi} {3 + \ sin \ fi}} = {\ cfrac { 6c\cos \phi }{{\sqrt {3}}(3+\sin \phi)}}~;~~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3 +\sin \phi )}}}$ To są wyrażenia dla za $, B}$$\ displaystyle c, \ phi}$ w kategoriach do . Z drugiej strony, jeśli powierzchnia Druckera – Pragera wpisuje się w powierzchnię Mohra – Coulomba, to dopasowanie dwóch powierzchni daje ${\ displaystyle \ theta = 0}$ ${\ Displaystyle A = {\ cfrac {6c \ cos \ fi} {{\ sqrt {3}} (3- \ sin \ fi)}} ~; ~ ~B={\cfrac {2\sin \phi }{{\sqrt {3}}(3-\sin \phi)}}}$ Porównanie powierzchni plastyczności Druckera – Pragera i Mohra – Coulomba (wpisanych) w płaszczyźnie $dla$ c $\ Displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ} }$ Porównanie powierzchni plastyczności Druckera – Pragera i Mohra – Coulomba (opisanych) w płaszczyźnie - $c$ = $Displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ} }$

Rysunek 2: Powierzchnia plastyczności Druckera – Pragera w płaszczyźnie $dla$ c $\ Displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}$

Rysunek 3: Ślad powierzchni plastyczności Druckera – Pragera i Mohra – Coulomba w płaszczyźnie - dla ${\ displaystyle c = 2, \ phi = 20 ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1} - \ sigma _ {2}}$ . Żółty = Mohr – Coulomb, cyjan = Drucker – Prager.

Model Druckera-Pragera dla polimerów

Model Druckera-Pragera został wykorzystany do modelowania polimerów, takich jak polioksymetylen i polipropylen . W przypadku polioksymetylenu granica plastyczności jest funkcją liniową ciśnienia. Jednak polipropylen wykazuje kwadratową zależność granicy plastyczności od ciśnienia.

Model Druckera-Pragera dla pianek

W przypadku pianek stosuje się model GAZT

${\ Displaystyle A = \ pm {\ cfrac {\ sigma _ {y}} {\ sqrt {3}}} ~; ~ ~ B = \ mp {\ cfrac {1 }{\sqrt {3}}}~\left({\cfrac {\rho }{5~\rho _{s}}}\right)}$

gdzie jest $jest$ krytycznym powodującym uszkodzenie przy rozciąganiu lub ściskaniu, $\ rho _ {s} }$ i $Displaystyle$ to gęstość materiału podstawowego.

Rozszerzenia izotropowego modelu Druckera-Pragera

Kryterium Druckera-Pragera można również wyrazić w alternatywnej postaci

${\ Displaystyle J_ {2} = (A + B ~ I_ {1}) ^ {2} = a + b ~ I_ {1} + c ~ I_ {1} ^ {2} ~.}$

Kryterium plastyczności Deshpande-Flecka lub kryterium plastyczności piany izotropowej

Kryterium plastyczności Deshpande-Flecka dla pianek ma postać podaną w powyższym równaniu. Parametry $b, c}$ kryterium Deshpande-Flecka to za

${\ Displaystyle a = (1 + \ beta ^ {2}) ~ \ sigma _ {y} ^ {2} ~ ~ ~b=0~,~~c=-{\cfrac {\beta ^{2}}{3}}}$

gdzie jest parametrem $.$ kształt powierzchni plastyczności, a $granicą$ plastyczności przy rozciąganiu lub

Anizotropowe kryterium plastyczności Druckera-Pragera

Anizotropową formą kryterium plastyczności Druckera – Pragera jest kryterium plastyczności Liu – Huanga – Stouta. To kryterium plastyczności jest rozszerzeniem uogólnionego kryterium plastyczności Hilla i ma postać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f: = & {\ sqrt {F (\ sigma _ {22} - \ sigma _ {33}) ^ { 2}+G(\sigma _{33}-\sigma _{11})^{2}+H(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}+2L\sigma _{ 23}^{2}+2M\sigma _{31}^{2}+2N\sigma _{12}^{2}}}\\&+I\sigma _{11}+J\sigma _{22 }+K\sigma _{33}-1\równoważnik 0\koniec {wyrównany}}}$

współczynniki ${\ Displaystyle F, G, H, L, M, N, ja, J, K$ }

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} F = & {\ cfrac {1} {2}} \ lewo [\ Sigma _ {2} ^ {2 }+\Sigma _{3}^{2}-\Sigma _{1}^{2}\right]~;~~G={\cfrac {1}{2}}\left[\Sigma _{3 }^{2}+\Sigma _{1}^{2}-\Sigma _{2}^{2}\right]~;~~H={\cfrac {1}{2}}\left[\ Sigma _{1}^{2}+\Sigma _{2}^{2}-\Sigma _{3}^{2}\right]\\L=&{\cfrac {1}{2(\sigma _{23}^{y})^{2}}}~;~~M={\cfrac {1}{2(\sigma _{31}^{y})^{2}}}~;~ ~N={\cfrac {1}{2(\sigma _{12}^{y})^{2}}}\\I=&{\cfrac {\sigma _{1c}-\sigma _{1t }}{2\sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~J={\cfrac {\sigma _{2c}-\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c} \sigma _{2t}}}~;~~K={\cfrac {\sigma _{3c}-\sigma _{3t}}}{2\sigma _{3c}\sigma _{3t}}}\end {wyrównany}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ Sigma _ {1}: = {\ cfrac {\ sigma _ {1c} + \ sigma _ {1t}} {2 \ sigma _{1c}\sigma _{1t}}}~;~~\Sigma _{2}:={\cfrac {\sigma _{2c}+\sigma _{2t}}{2\sigma _{2c }\sigma _{2t}}}~;~~\Sigma _{3}:={\cfrac {\sigma _{3c}+\sigma _{3t}}{2\sigma _{3c}\sigma _ {3t}}}}$

i ${\ Displaystyle \ sigma _ {ic}, i = 1,2,3}$ to jednoosiowe naprężenia plastyczności przy ściskaniu w trzech głównych kierunkach anizotropii, ${\ Displaystyle \ sigma _ {it}, i = 1,2,3}$ to jednoosiowe naprężenia plastyczności przy rozciąganiu i ${\ Displaystyle \ sigma _ {23}^{y},\sigma _{31}^{y},\sigma _{12}^{y}}$ to granice plastyczności w czystym ścinaniu. W powyższym przyjęto, że wielkości są dodatnie i $_ {3c}}$${\ Displaystyle \ sigma _ {1t}, \ sigma _ {2t}, \ sigma _ {3t}}$ są ujemne.

Kryterium plastyczności Druckera

$)$ mylić z wcześniejszym kryterium Druckera, które jest niezależne od ciśnienia ( . Kryterium plastyczności Druckera ma postać

${\ Displaystyle f: = J_ {2} ^ {3} - \ alfa ~ J_ {3} ^ {2} -k ^ {2} \ równoważnik 0 }$

gdzie jest drugim $niezmiennikiem$ stresu dewiatorowego, jest trzecim niezmiennikiem stresu dewiatorowego, jest $Displaystyle$ która jest $alpha} leży$$.$ a 9/4 (aby powierzchnia plastyczności była wypukła), $jest$ , która zmienia się wraz z wartością gdzie ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ , k $} {27}}}$${\ displaystyle \ sigma _ {y}}$ to granica plastyczności przy rozciąganiu jednoosiowym.

Anizotropowe kryterium Druckera

Anizotropową wersją kryterium plastyczności Druckera jest kryterium plastyczności Cazacu – Barlata (CZ), które ma postać

${\ Displaystyle f: = (J_ {2} ^ {0}) ^ {3} - \ alfa ~ (J_ {3} ^ { 0})^{2}-k^{2}\równik 0}$

gdzie ${\ Displaystyle J_ {2} ^ {0}, J_ {3} ^ {0}}$ są uogólnionymi formami stresu dewiatorowego i są zdefiniowane jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} J_ {2} ^ {0}: =&{\cfrac {1}{6}}\left[a_{1}(\sigma _{22}-\sigma _{33})^{2}+a_{2}(\sigma _{33} -\sigma _{11})^{2}+a_{3}(\sigma _{11}-\sigma _{22})^{2}\right]+a_{4}\sigma _{23} ^{2}+a_{5}\sigma _{31}^{2}+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}:=&{\cfrac {1}{27}}\lewo[(b_{1}+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^ {3}+\{2(b_{1}+b_{4})-(b_{2}+b_{3})\}\sigma _{33}^{3}\right]\\&-{ \cfrac {1}{9}}\left[(b_{1}\sigma _{22}+b_{2}\sigma _{33})\sigma _{11}^{2}+(b_{3 }\sigma _{33}+b_{4}\sigma _{11})\sigma _{22}^{2}+\{(b_{1}-b_{2}+b_{4})\sigma _{11}+(b_{1}-b_{3}+b_{4})\sigma _{22}\}\sigma _{33}^{2}\right]\\&+{\cfrac { 2}{9}}(b_{1}+b_{4})\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2b_{11}\sigma _{12}\sigma _{ 23}\sigma _{31}\\&-{\cfrac {1}{3}}\left[\{2b_{9}\sigma _{22}-b_{8}\sigma _{33}-( 2b_{9}-b_{8})\sigma _{11}\}\sigma _{31}^{2}+\{2b_{10}\sigma _{33}-b_{5}\sigma _{ 22}-(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\}\sigma _{12}^{2}\right.\\&\qquad \qquad \left.\{(b_{ 6}+b_{7})\sigma _{11}-b_{6}\sigma _{22}-b_{7}\sigma _{33}\}\sigma _{23}^{2}\right ]\end{wyrównane}}}$

Kryterium plastyczności Cazacu-Barlata dla płaskiego naprężenia

W przypadku cienkich blach stan naprężenia można przybliżyć jako naprężenie płaskie . W takim przypadku kryterium plastyczności Cazacu-Barlata sprowadza się do jego dwuwymiarowej wersji z

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} J_ {2} ^ {0} = & {\ cfrac {1} {6}} \ lewo [(a_ {2} + a_ {3})\sigma _{11}^{2}+(a_{1}+a_{3})\sigma _{22}^{2}-2a_{3}\sigma _{1}\sigma _ {2}\right]+a_{6}\sigma _{12}^{2}\\J_{3}^{0}=&{\cfrac {1}{27}}\left[(b_{1 }+b_{2})\sigma _{11}^{3}+(b_{3}+b_{4})\sigma _{22}^{3}\right]-{\cfrac {1}{ 9}}\left[b_{1}\sigma _{11}+b_{4}\sigma _{22}\right]\sigma _{11}\sigma _{22}+{\cfrac {1}{ 3}}\left[b_{5}\sigma _{22}+(2b_{10}-b_{5})\sigma _{11}\right]\sigma _{12}^{2}\end{ wyrównany}}}$

W przypadku cienkich blach metali i stopów parametry kryterium plastyczności Cazacu-Barlata wynoszą

Tabela 1. Parametry kryterium plastyczności Cazacu-Barlata dla blach i stopów

Materiał	${\ displaystyle a_ {1}}$	${\ displaystyle a_ {2}}$	${\ displaystyle a_ {3}}$	${\ displaystyle a_ {6}}$	${\ displaystyle b_ {1}}$	${\ displaystyle b_ {2}}$	${\ displaystyle b_ {3}}$	${\ displaystyle b_ {4}}$	${\ displaystyle b_ {5}}$	${\ displaystyle b_ {10}}$	${\ Displaystyle \ alfa}$
Stop aluminium 6016-T4	0,815	0,815	0,334	0,42	0,04	-1,205	-0,958	0,306	0,153	-0,02	1.4
Stop aluminium 2090-T3	1.05	0,823	0,586	0,96	1.44	0,061	-1,302	-0,281	-0,375	0,445	1.285

Zobacz też

• Powierzchnia plonu
• Wydajność (inżynieria)
• Plastyczność (fizyka)
• Teoria uszkodzeń materiałów
• Daniela C. Druckera
• Williama Pragera