Macierze Krawtchouka

W matematyce macierze Krawtchouka to macierze , których wpisami są wartości wielomianów Krawtchouka w nieujemnych punktach całkowitych. Macierz Krawtchouka K ^{( N )} jest macierzą ( N + 1) × ( N + 1) . Kilka pierwszych macierzy Krawtchouka to:

${\ Displaystyle K ^ {(0)} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 \ koniec {bmatrix}} \ qquad K ^ {(1)} =\left[{\begin{tablica}{rr}1&1\\1&-1\end{tablica}}\right],\qquad K^{(2)}=\left[{\begin{tablica}{rrr }1&1&1\\2&0&-2\\1&-1&1\end{tablica}}\right],\qquad K^{(3)}=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\3&1&-1& -3\\3&-1&-1&3\\1&-1&1&-1\end{tablica}}\right],}$

${\ Displaystyle K ^ {(4)} = \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {rrrrr} 1 i 1 i 1 i 1 i 1 \\ 4 i 2 i 0 i -2 i - 4 \\ 6 i 0 i -2 i 0 i 6 \\ 4 i - 2 i 0 i 2 i - 4 \\ 1 i - 1 i 1 i - 1 i 1 \end{array}}\right],\qquad K^{(5)}=\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&1&1&1&1&1\\5&3&1&-1&-3&-5\\10&2&-2&-2&2&10\ \10&-2&-2&2&2&-10\\5&-3&1&1&-3&5\\1&-1&1&-1&1&-1\end{tablica}}\right].}$

Definicja

Ogólnie rzecz biorąc, dla dodatniej liczby całkowitej wpisy są podane przez funkcję generującą $} ^ {(N)}}$$N$ \ Displaystyle K_ {

${\ Displaystyle (1 + v) ^ {Nj} \, (1-v) ^ {j} = \sum _{i}v^{i}K_{ij}^{(N)},}$

gdzie indeksy wierszy i kolumn i $j}$$\ displaystyle$ biegną od ${\ displaystyle 0}$ do $displaystyle N}$ . wyraźnie:

${\ Displaystyle K_ {ij} ^ {(N)} = \ suma _ {k} (-1 )^{k}{\binom {j}{k}}{\binom {Nj}{ik}},}$

lub w kategoriach wielomianów Krawtchouka :

${\ Displaystyle K_ {ij} ^ {(N)} = \ kappa _ {i} (j, N).}$

Wartości macierzy Krawchouka można również obliczyć za pomocą relacji powtarzalności. Wypełniając górny wiersz jedynkami i skrajną prawą kolumnę naprzemiennymi współczynnikami dwumianowymi , pozostałe wpisy są sumą wpisów sąsiadujących z góry, z prawej iz prawej strony.

Nieruchomości

Wielomiany Krawtchouka są ortogonalne w stosunku do symetrycznych rozkładów dwumianowych. ${\ displaystyle p = 1/2}$ .

Jako transformacja macierz Krawtchouka jest inwolucją do skalowania:

${\ Displaystyle (K_ {ij} ^ {(N)}) ^ {2} = 2 ^ {N} ja.}$

Macierze Krawchouka mają rozkład LDU obejmujący trójkątne macierze Pascala i diagonalną macierz potęg 2.

Wartości własne wynoszą ${\ Displaystyle \ pm {\ sqrt {2 ^ {n}}}}$ , a wyznacznik to ${\ Displaystyle (-2) ^ {n (n+1)/2}}$ .

Zobacz też

• Wielomian Krawtchouka
• Macierz Pascala

Linki zewnętrzne

• Encyklopedia Krawtchouka