Płaska powierzchnia Riemanna

W matematyce płaska powierzchnia Riemanna (lub schlichtartig powierzchnia Riemanna) jest powierzchnią Riemanna mającą wspólne właściwości topologiczne połączonego otwartego podzbioru sfery Riemanna . Charakteryzują się one tą topologiczną właściwością, że uzupełnienie każdej zamkniętej krzywej Jordana na powierzchni Riemanna ma dwie połączone składowe . Równoważną charakterystyką jest różniczkowa właściwość geometryczna, zgodnie z którą każda zamknięta różniczkowa 1-forma zwartego podłoża jest dokładna. Każdy po prostu połączona powierzchnia Riemanna jest płaska. Klasę płaskich powierzchni Riemanna badał Koebe , który w 1910 roku udowodnił, jako uogólnienie twierdzenia o uniformizacji , że każda taka powierzchnia jest konformalnie równoważna albo kuli Riemanna, albo płaszczyźnie zespolonej z usuniętymi szczelinami równoległymi do osi rzeczywistej.

Właściwości elementarne

Zamknięta 1-forma ω jest dokładna wtedy i tylko wtedy, gdy ∫ _γ ω = 0 dla każdej zamkniętej krzywej Jordana γ.

Wynika to z lematu Poincarégo dla 1-form oraz faktu, że ∫ _δ df = f (δ( b )) – f (δ( a )) dla ścieżki δ sparametryzowanej przez [ a , b ] oraz f funkcją gładką zdefiniowaną w otwartym sąsiedztwie δ([ a , b ]). Ten wzór na ∫ _δ df rozciąga się poprzez ciągłość na ścieżki ciągłe, a zatem zanika dla ścieżki zamkniętej. I odwrotnie, jeśli ∫ _γ ω = 0 dla każdej zamkniętej krzywej Jordana γ, to funkcję f ( z ) można zdefiniować na X poprzez ustalenie punktu w i wybranie dowolnej odcinkowo gładkiej ścieżki δ od w do z i ustawienie f ( z ) = ∫ _δ ω. Z założenia wynika, że f jest niezależne od ścieżki. Aby sprawdzić, że df = ω ₀₀₀₀₀ , wystarczy sprawdzić to lokalnie. Napraw z i wybierz ścieżkę δ ₁ od w do z . W pobliżu z lemat Poincarégo implikuje ω = dg dla pewnej gładkiej funkcji g określonej w sąsiedztwie z . Jeśli δ ₂ jest ścieżką od z do z , to f ( z ) = ∫ _{δ ₁} ω + ∫ _{δ ₂} ω = ∫ _{δ ₁} ₀₀₀ ω + g ( z ) - g ( z ), więc f różni się od g stałą bliską z . Stąd df = dg = ω w pobliżu z .

Zamknięta krzywa Jordana γ na powierzchni Riemanna dzieli powierzchnię na dwa rozłączne połączone obszary wtedy i tylko wtedy, gdy ∫ _γ ω = 0 dla każdej zamkniętej 1-formy ω zwartego podparcia.

Jeśli zamknięta krzywa Jordana γ oddziela powierzchnię, jest homotopijna do gładkiej krzywej Jordana δ (z niezanikającą pochodną), która dzieli powierzchnię na dwie połowy. Całka d ω po każdej połowie jest równa ± ∫ _δ ω zgodnie z twierdzeniem Stokesa . Ponieważ d ω = 0 wynika, że ∫ _δ ω = 0. Stąd ∫ _γ ω = 0.

Załóżmy odwrotnie, że γ jest krzywą Jordana, która nie oddziela powierzchni Riemanna. Zastępując γ krzywą homotopową, można założyć, że γ jest gładką krzywą Jordana δ z nie znikającą pochodną. Ponieważ γ nie oddziela powierzchni, istnieje gładka krzywa Jordana δ (z niezanikającą pochodną), która przecina γ poprzecznie tylko w jednym punkcie. Otwarte sąsiedztwo γ ∪ δ jest dyfeomorficzne z otwartym sąsiedztwem odpowiednich krzywych Jordana w torusie. Modelem tego może być kwadrat [−π,π]×[−π,π] w R ² ze zidentyfikowanymi przeciwległymi bokami; poprzeczne krzywe Jordana γ i δ odpowiadają x i y osie. Niech ω = a ( x ) dx z a ≥ 0 wspieranym blisko 0 z ∫ a = 1. Zatem ω jest zamkniętą formą 1 podpartą w otwartym sąsiedztwie δ z ∫ _γ ω = 1 ≠ 0.

Powierzchnia Riemanna jest płaska wtedy i tylko wtedy, gdy każda zamknięta 1-forma podpory zwartej jest dokładna.

Niech ω będzie zamkniętą 1-formą zwartego podparcia na płaskiej powierzchni Riemanna. Jeśli γ jest zamkniętą krzywą Jordana na powierzchni, to oddziela ona powierzchnię. Stąd ∫ _γ ω = 0. Ponieważ jest to prawdą dla wszystkich zamkniętych krzywych Jordana, ω musi być dokładne.

Załóżmy odwrotnie, że każda zamknięta forma podpory zwartej jest dokładna. Niech γ będzie domkniętą krzywą Jordana. Niech ω będzie domkniętą 1-formą podpory zwartej. Ponieważ ω musi być dokładne, ∫ _γ ω = 0. Wynika z tego, że γ on dzieli powierzchnię na dwa rozłączne, połączone obszary. Zatem powierzchnia jest płaska.

Każdy połączony otwarty podzbiór płaskiej powierzchni Riemanna jest planarny.

Wynika to bezpośrednio z charakterystyki w kategoriach 1-form.

Każda prosto połączona powierzchnia Riemanna jest płaska.

Jeśli ω jest zamkniętą 1-formą zwartego wsparcia, całka ∫ _γ ω jest niezależne od klasy homotopii γ. W prosto połączonej powierzchni Riemanna każda zamknięta krzywa jest homotopijna do stałej krzywej, dla której całka wynosi zero. Stąd po prostu połączona powierzchnia Riemanna jest płaska.

Jeśli ω jest zamkniętą formą 1 na prosto połączonej powierzchni Riemanna, ∫ _γ ω = 0 dla każdej zamkniętej krzywej Jordana γ.

Jest to tak zwana „właściwość monodromii”. Pokrywając ścieżkę dyskami i korzystając z lematu Poincarégo dla ω, z podstawowego twierdzenia rachunku różniczkowego kolejne części całki można obliczyć jako f (γ( t _i₀ )) - fa (γ( t _{ja - 1} )). Ponieważ krzywa jest zamknięta, γ( t _N ) = γ ( t ), więc sumy się znoszą.

Twierdzenie o uniformizacji

Twierdzenie Koebego. Zwarta płaska powierzchnia Riemanna X jest konformalnie równoważna kuli Riemanna. Niezwarta płaska powierzchnia Riemanna X jest konformalnie równoważna albo płaszczyźnie zespolonej, albo płaszczyźnie zespolonej ze skończoną liczbą zamkniętych przedziałów równoległych do usuniętej osi rzeczywistej.

Funkcja harmoniczna U. Jeśli X jest powierzchnią Riemanna i P jest punktem na X z lokalną współrzędną z , istnieje unikalna funkcja harmoniczna o wartościach rzeczywistych U na X \ { P } taka, że U ( z ) – Re z ⁻¹ jest harmoniczna w pobliżu z = 0 (punkt P ) i dU jest całkowalna do kwadratu na dopełnieniu otoczenia P . Co więcej, jeśli h jest dowolną gładką funkcją o wartościach rzeczywistych na X znikającą w sąsiedztwie P od U z || dh || ² = ∫ _X dh ∧∗ dh < ∞, wtedy ( dU , dh ) = ∫ _X dU ∧ * dh = 0.

Jest to bezpośrednia konsekwencja zasady Dirichleta na płaskiej powierzchni ; można to również udowodnić za pomocą Weyla metoda rzutowania ortogonalnego na przestrzeń kwadratowych całkowalnych 1-form.

Sprzężona funkcja harmoniczna V. Istnieje funkcja harmoniczna V na X \ { P } taka, że ∗ dU = dV . W lokalnej współrzędnej z , V ( z ) − Im z ⁻¹ jest harmoniczna w pobliżu z = 0. Funkcja V jest jednoznacznie wyznaczana aż do dodania stałej rzeczywistej. Funkcja U i jej koniugat harmoniczny V spełniają równania Cauchy'ego-Riemanna U _x = V _y i U _y = - V _x .

Wystarczy udowodnić, że ∫ _C ∗ dU = 0 dla dowolnej odcinkowo gładkiej krzywej Jordana w X \ { P }. Ponieważ X jest planarne, dopełnienie C w X ma dwie otwarte składowe S ₁ i S ₂ z leżącym P S ₂ . Istnieje otwarte sąsiedztwo N C złożone z sumy skończonej liczby dysków i gładkiej funkcji 0 ≤ h ≤ 1 takiej, że h jest równe 1 na S ₁ i równe 0 na S ₁ z dala od P i N . Zatem ( dU , dh ) = 0. Zgodnie z twierdzeniem Stokesa warunek ten można przepisać jako ∫ _C ∗ dU = 0. Zatem ∗ dU jest dokładne i dlatego ma postać dV .

Funkcja meromorficzna f. Różniczka meromorficzna df = dU + idV jest wszędzie holomorficzna z wyjątkiem podwójnego bieguna w P z członem osobliwym d ( z ^-1 ) w lokalnej współrzędnej z .
Argument separacji Koebe. Niech φ i ψ będą gładkimi, ograniczonymi funkcjami o wartościach rzeczywistych na R z ograniczonymi pierwszymi pochodnymi takimi, że φ'( t ) > 0 dla wszystkich t ≠ 0 i φ znika do nieskończonego rzędu w t = 0, podczas gdy ψ( t ) > 0 dla t w ( a , b ) podczas gdy ψ( t ) ≡ 0 dla t na zewnątrz ( a , b ) (tutaj dozwolone są a = −∞ i b = +∞). Niech X będzie powierzchnią Riemanna, a W otwartym podzbiorem spójnym z funkcją holomorficzną g = u + iv różniącą się od f stałą taką, że g ( W ) leży w pasie a < Im z < b . Zdefiniuj funkcję o wartościach rzeczywistych przez h = φ( u ) ψ( v ) na W i 0 na W . Wtedy h nie może być funkcją gładką; bo jeśli tak

{\ Displaystyle (dh, dh) = \ int _ {X} dh \ klin \ gwiazda dh = \ int _ {W} (\ varphi ^ {\ prime} (u) ^ { 2}\psi (v)^{2}+\varphi (u)^{2}\psi ^{\prime }(v)^{2})\,du\wedge \star du\leq 2M^{2 }\,\|dU\|^{2<\infty ,}

gdzie M = sup (|φ|, |φ'|, |ψ|, |ψ'|) i

{\ Displaystyle (dU, dh) = \ int _ {X} dU \ klin \ gwiazda dh = \ int _ {W} \ varphi ^ {\ prime} ( u)\psi (v)\,du\wedge \star du>0,}

sprzeczne z warunkiem ortogonalności na U .

Krzywe łączności i poziomu. (1) Krzywa poziomu dla V dzieli X na dwa otwarte, połączone obszary. (2) Zbiór otwarty pomiędzy dwiema krzywymi poziomu V jest połączony. (3) Krzywe poziomu dla U i V przez dowolny regularny punkt f dzielą X na cztery otwarte, połączone obszary, z których każdy zawiera punkt regularny i biegun f w swoich domknięciach.

(1) Ponieważ V jest określone tylko do stałej, wystarczy to udowodnić dla krzywej poziomu V = 0, czyli że V = 0 dzieli powierzchnię na dwa połączone otwarte obszary. Jeśli nie, istnieje spójny składnik W dopełnienia V = 0 niezawierający P w swoim domknięciu. Brać g = fa i a = 0 i b = ∞ jeśli V > 0 na W i a = −∞ i b = 0 jeśli V < 0 na W . Granica W leży na krzywej poziomu V = 0. Weźmy w tym przypadku g = f . Ponieważ ψ( v ) zanika do rzędu nieskończonego, gdy v = 0, h jest funkcją gładką, więc argument Koebego daje sprzeczność.

(2) Wystarczy pokazać, że zbiór otwarty zdefiniowany przez a < V < b jest spójny. Jeśli nie, ten zbiór otwarty ma spójny komponent W niezawierający P w swoim domknięciu. Weźmy w tym przypadku g = f . Granica W leży na krzywych poziomu V = a i V = b . Ponieważ ψ( v ) zanika do nieskończonego porządku, gdy v = a lub b , h jest funkcją gładką, zatem argument Koebego daje sprzeczność.

(3) Jeśli to konieczne, przekładając f na stałą, wystarczy pokazać, że jeśli U = 0 = V w regularnym punkcie f , to dwie krzywe poziomu U = 0 i V = 0 dzielą powierzchnię na 4 połączone obszary. Krzywe poziomu U = 0, V = 0 dzielą powierzchnię Riemanna na cztery rozłączne zbiory otwarte ± u > 0 i ± v > 0. Jeśli jeden z tych otwartych zbiorów nie jest spójny, to ma otwarty, spójny składnik W niezawierający P w swoim domknięciu. Jeśli v > 0 na W , przyjmij a = 0 i b = ÷∞; jeśli v < 0 na W , ustaw a = −∞ i b = 0. Weźmy w tym przypadku g = f . Granica W leży na sumie krzywych poziomu U = 0 i V = 0. Ponieważ φ i ψ zanikają do nieskończonego rzędu w punkcie 0, h jest funkcją gładką, więc argument Koebego daje sprzeczność. Wreszcie, używając f jako współrzędnej lokalnej, krzywe poziomu dzielą otwarte sąsiedztwo punktu regularnego na cztery rozłączne, połączone zbiory otwarte; w szczególności każdy z czterech obszarów nie jest pusty i zawiera regularny punkt jego zamknięcia; podobne rozumowanie można zastosować na biegunie f , stosując f ( z ) ^–1 jako współrzędną lokalną.

Uniwalencja f w punktach regularnych. Funkcja f przyjmuje różne wartości w różnych regularnych punktach (gdzie df ≠ 0).

Załóżmy, że f przyjmuje tę samą wartość w dwóch regularnych punktach z i w i ma biegun w ζ. Jeśli to konieczne, przekładając f na stałą, można założyć, że f ( z ) = 0 = f ( w ). Punkty z , w i ζ leżą w domknięciu każdego z czterech obszarów, w które zakrzywia się poziom U = 0 i V = 0 podziel powierzchnię. punkty z i w można połączyć krzywą Jordana w obszarze U > 0, V > 0 poza ich punktami końcowymi. Podobnie można je połączyć krzywą Jordana w obszarze U < 0, V < 0 poza ich punktami końcowymi, gdzie krzywa jest poprzeczna do granicy. Razem te krzywe dają zamkniętą krzywą Jordana γ przechodzącą przez z i w . Ponieważ powierzchnia Riemanna X jest płaska, ta krzywa Jordana musi podzielić powierzchnię na dwa otwarte, połączone obszary. Biegun ζ musi leżeć w jednym z tych obszarów, twierdzi Y. Ponieważ każdy z połączonych otwartych obszarów U > 0, V <0 i U <0, V > 0 jest rozłączny z γ i przecina sąsiedztwo ζ, oba muszą być zawarte w Y . Z drugiej strony użycie f do zdefiniowania współrzędnych w pobliżu z (lub w ) krzywa leży w dwóch przeciwległych ćwiartkach, a pozostałe dwie otwarte ćwiartki leżą w różnych składowych dopełnienia krzywej, co jest sprzecznością.

Regularność f. Funkcja meromorficzna f jest regularna w każdym punkcie z wyjątkiem bieguna.

Jeżeli f nie jest regularne w punkcie, to we współrzędnych lokalnych f ma rozwinięcie f ( z ) = a + b z ^m (1 + c ₁ z + c ₂ z ² + ⋅⋅⋅) gdzie b ≠ 0 i m > 1. Z zasady argumentacji — lub biorąc m -ty pierwiastek z 1 + c ₁ z + c ₂ z ² + ⋅⋅⋅ — od 0 ta mapa jest m - do jednego, sprzeczność.

Dopełnieniem wizerunku f. Albo obraz f jest całą kulą Riemanna C ∪ ∞, w którym to przypadku powierzchnia Riemanna jest zwarta i f daje konforemną równoważność ze sferą Riemanna; lub uzupełnieniem obrazu jest suma zamkniętych przedziałów i izolowanych punktów, w którym to przypadku powierzchnia Riemanna jest konformalnie równoważna poziomemu obszarowi szczeliny.

Uważane za holomorficzne odwzorowanie powierzchni Riemanna X na kulę Riemanna, f jest regularne wszędzie, łącznie z nieskończonością. Zatem jego obraz Ω jest otwarty w sferze Riemanna. Ponieważ jest to jeden-jeden, odwrotne odwzorowanie f jest holomorficzny z obrazu na powierzchnię Riemanna. W szczególności oba są homeomorficzne. Jeśli obraz przedstawia całą kulę, następuje pierwsze stwierdzenie. W tym przypadku powierzchnia Riemanna jest zwarta. I odwrotnie, jeśli powierzchnia Riemanna jest zwarta, jej obraz jest zwarty, więc zamknięty. Ale wtedy obraz jest otwarty i zamknięty, a zatem cała sfera Riemanna poprzez łączność. Jeśli f nie jest włączony, dopełnieniem obrazu jest zamknięty, niepusty podzbiór sfery Riemanna. Jest to więc zwarty podzbiór sfery Riemanna. Nie zawiera ∞. Zatem uzupełnieniem obrazu jest zwarty podzbiór płaszczyzny zespolonej. Teraz na powierzchni Riemanna otwarte podzbiory a < V < b są połączone. Zatem otwarty zbiór punktów w w Ω z a < Im w < b jest spójny, a zatem droga jest spójna. Aby udowodnić, że Ω jest obszarem poziomej szczeliny, wystarczy pokazać, że każdy połączony element C \ Ω jest albo pojedynczym punktem, albo zwartym przedziałem równoległym do osi x . Dzieje się tak, gdy wiadomo, że dwa punkty w dopełnieniu o różnych częściach urojonych leżą w różnych elementach łączących.

Załóżmy zatem, że w ₁ = u ₁ + iv ₁ i w ₂ = u ₂ + iv ₂ są punktami w C \ Ω z v ₁ < v ₂ . Zajmij punkt na pasku v ₁ < Im z < v ₂ , powiedzmy w . Dzięki zwartości C \ Ω zbiór ten mieści się we wnętrzu okręgu o promieniu R, środek w . Punkty w ± R leżą na przecięciu Ω i paska, który jest otwarty i połączony. Można je więc połączyć odcinkowo liniową krzywą na przecięciu. Ta krzywa i jeden z półkoli pomiędzy z + R i z - R podaj krzywą Jordana obejmującą w ₁ z w ₂ na zewnątrz. Ale wtedy w ₁ i w ₂ leżą na różnych połączonych składnikach C \ Ω. Wreszcie połączone elementy C \ Ω muszą być zamknięte, więc zwarte; a połączone zwarte podzbiory linii równoległej do x są po prostu izolowanymi punktami lub zamkniętymi przedziałami.

Ponieważ $G$ nie zawiera nieskończoności w ∞, konstrukcję można w równym stopniu zastosować do $mi$ $- ja θ G,$ przyjmując , że usunięto poziome szczeliny, aby uzyskać uniformizator $f θ$ Ujednolicacz $mi ja θ sol θ (mi - ja θ z)$ teraz przenosi $sol$ do do $\ displaystyle \ mathbb {C}}$ z równoległymi szczelinami usuniętymi pod kątem $θ$ do osi $x$ . W szczególności $θ$ = $π/2$ $do$ ujednolicenia $fa π/2 (z)$ z usuniętymi pionowymi szczelinami. Przez niepowtarzalność $f θ (z)$ = $0 e ja θ [cos θ fa (z) - ja sin θ fa π/2 (z)]$ .

Klasyfikacja prosto połączonych powierzchni Riemanna

Twierdzenie. Każda prosto połączona powierzchnia Riemanna jest konformalnie równoważna albo (1) kuli Riemanna ( eliptycznej ), (2) płaszczyźnie zespolonej ( parabolicznej ), albo (3) dyskowi jednostkowemu ( hiperbolicznemu ).

Prostą spójność rozszerzonej kuli po usunięciu k > 1 punktów lub zamkniętych przedziałów można wykluczyć z powodów czysto topologicznych, korzystając z twierdzenia Seiferta-van Kampena ; gdyż w tym przypadku grupa podstawowa jest izomorficzna z grupą wolną z generatorami ( k - 1) i jej abelianizacja , osobliwa grupa homologii , jest izomorficzna z

Z k - 1

. Krótki bezpośredni dowód jest również możliwy przy użyciu teorii funkcji zespolonych. Sfera Riemanna jest zwarta, podczas gdy płaszczyzna zespolona ani jednostka dis nie są, więc nie ma nawet homeomorfizmu dla (1) na (2) lub (3). Konformalna równoważność (2) z (3) skutkowałaby ograniczoną funkcją holomorficzną na płaszczyźnie zespolonej: zgodnie z twierdzeniem Liouville'a musiałaby to być stała, sprzeczność. „Realizacja szczeliny” jako dysku jednostkowego jako rozszerzonej płaszczyzny zespolonej z usuniętym [-1,1] pochodzi z odwzorowania z = ( w + w ^-1 )/2. Z kolei mapa ( z + 1)/( z - 1) przenosi rozszerzoną płaszczyznę z usuniętym [-1,1] na płaszczyznę zespoloną z usuniętym (-∞,0]. Przyjęcie głównej wartości pierwiastka kwadratowego daje konforemne odwzorowanie rozszerzonej kuli z [-1,1] usuniętym na górną półpłaszczyznę. Transformacja Möbiusa ( t - 1)/( t + 1} przenosi górną półpłaszczyznę na dysk jednostkowy. Złożenie tych odwzorowań skutkuje odwzorowaniem konforemnym z − ( z ² -1) ^1/2 , rozwiązując w ten sposób z = ( w + w ^-1 )/2. Aby pokazać, że może być zamknięty tylko jeden przedział, załóżmy reductio ad absurdum , że są ich co najmniej dwa: mogą to być po prostu pojedyncze punkty. Można założyć , że dwa punkty aib leżą w różnych odstępach. Powstanie wówczas odcinkowo gładka zamknięta krzywa C, taka jak b leży wewnątrz X , a a na zewnątrz. Niech ω = dz ( z - b ) ^-1 - dz ( z - a ) ⁻¹ , zamknięta forma holomorficzna na X . Przez prostą łączność ∫ _C ω = 0. Natomiast przez całkę Cauchy'ego , (2 i π) ⁻¹ ∫ _C ω = 1, sprzeczność.

Wniosek (twierdzenie Riemanna o mapowaniu). Każda połączona i łatwo połączona otwarta domena w płaszczyźnie zespolonej z co najmniej dwoma punktami granicznymi jest konformalnie równoważna dyskowi jednostkowemu.

Jest to bezpośrednią konsekwencją twierdzenia.

Aplikacje

Twierdzenie Koebe o uniformizacji dla płaskich powierzchni Riemanna implikuje twierdzenie o uniformizacji dla prosto połączonej powierzchni Riemanna. Rzeczywiście, domeną szczeliny jest albo cała kula Riemanna; lub sfera Riemanna minus punkt, czyli płaszczyzna zespolona po zastosowaniu transformacji Möbiusa w celu przesunięcia punktu w nieskończoność; lub kula Riemanna pomniejszona o zamknięty przedział równoległy do osi rzeczywistej. Po zastosowaniu transformacji Möbiusa przedział zamknięty można odwzorować na [–1,1]. Jest zatem konforemnie równoważny dyskowi jednostkowemu, ponieważ odwzorowanie konforemne g ( z ) = ( z + z ⁻¹ )/2 odwzorowuje dysk jednostkowy na C \ [−1,1].

W przypadku domeny $G$ uzyskanej przez wycięcie $ze skończenie wielu rozłącznych zamkniętych dysków,$ konforemne na domenach poziomych lub pionowych szczeliny można wyraźnie określić i przedstawić w postaci zamkniętej. Zatem jądro Poissona na dowolnym dysku można wykorzystać do rozwiązania problemu Dirichleta na granicy dysku, jak opisano w Katznelson (2004) . Podstawowe właściwości, takie jak zasada maksimum i zasada odbicia Schwarza, mają zastosowanie zgodnie z opisem w Ahlforsa (1978) . Dla konkretnego dysku grupa transformacji Möbiusa stabilizująca granicę, kopia $SU(1,1)$ , działa równoważnie na odpowiednie jądro Poissona. Dla ustalonego $a$ w $G$ problem Dirichleta z $logarytmem wartości brzegowych$ | $z - za$ | można rozwiązać za pomocą jąder Poissona. Daje to funkcję harmoniczną $h (z)$ na $G$ . Różnica $g (z, a)$ = $godz (z) - log$ | $z - za$ | nazywa się funkcją Greena z biegunem w $punkcie$ . Ma ważną właściwość symetrii, że $g (z, w)$ = $g (w, z)$ , więc jest harmoniczna w obu zmiennych, jeśli ma to sens. Stąd, jeśli $a$ = $u + i v$ , funkcja harmoniczna $\partial u g (z, a)$ ma koniugat harmoniczny $- \partial v g (z, a)$ . Z kolei poprzez problem Dirichleta dla każdego $\partial D i$ istnieje unikalna funkcja harmoniczna $ω i$ na $G$ równa 1 na $\partial D i$ oraz 0 na $\partial D j$ dla $j \neq i$ (tzw. miara harmoniczna $\partial D ja$ ). Suma $ω i$ wynosi 1. Funkcja harmoniczna $\partial v g (z, a)$ na $D \ { a$ } jest wielowartościowa: jej argument zmienia się o całkowitą wielokrotność $2π$ wokół każdego z dysków granicznych $D i$ . Problem wielowartościowości rozwiązuje się wybierając $λ i$ tak, że $\partial v g (z, a) + Σ λ i \partial v ω i (z)$ nie ma zmiany argumentu wokół każdego $\partial D j$ . Z założenia odwzorowanie poziomej szczeliny $p (z)$ = $(\partial u + i \partial v) [g (z, a)$ $+ Σ λ i ω i (z)]$ jest holomorficzne w $G$ z wyjątkiem $a$ , gdzie ma biegun z resztą 1. Podobnie odwzorowanie szczeliny pionowej uzyskuje się poprzez ustawienie $q (z)$ = $(- \partial v + i \partial u) [g (z, a)$ $+ Σ μ i ω i (z)]$ ; mapowanie $q (z)$ jest holomorficzne z wyjątkiem bieguna w $a$ z resztą 1.

Z twierdzenia Koebe wynika również, że każdy skończenie połączony ograniczony obszar na płaszczyźnie jest konformalnie równoważny otwartemu dyskowi jednostkowemu z usuniętymi skończoną liczbą mniejszych rozłącznych zamkniętych dysków lub równoważnie rozszerzonej płaszczyźnie zespolonej z usuniętymi skończoną liczbą rozłącznych zamkniętych dysków. Wynik ten jest znany jako twierdzenie Koebe „Kreisnormierungs”.

Idąc za Goluzinem (1969), można to wydedukować z twierdzenia o szczelinie równoległej, korzystając z wariantu twierdzenia o jądrze Carathéodory'ego i twierdzenia Brouwera o niezmienności domeny . Metoda Goluzina jest uproszczeniem oryginalnej argumentacji Koebe.

W rzeczywistości każde odwzorowanie konformalne takiej domeny kołowej na inną domenę kołową jest koniecznie dane przez transformację Möbiusa. Aby to zobaczyć, można założyć, że obie domeny zawierają punkt ∞ i że odwzorowanie konforemne f przenosi ∞ na ∞. Funkcje mapowania można kontynuować w sposób ciągły aż do okręgów granicznych. Kolejne inwersje w tych okręgach granicznych generują grupy Schottky'ego . Suma domen pod działaniem obu grup Schottky'ego definiuje gęste otwarte podzbiory sfery Riemanna. Zgodnie z zasadą odbicia Schwarza , f można rozszerzyć do mapy konforemnej pomiędzy tymi otwartymi, gęstymi zbiorami. Ich dopełnieniami są zbiory graniczne grup Schottky’ego. Są zwarte i mają miarę zerową. Koebe'a o zniekształceniu można następnie wykorzystać do udowodnienia, że f rozciąga się w sposób ciągły do odwzorowania konforemnego sfery Riemanna na samą siebie. W konsekwencji f jest dane przez transformację Möbiusa.

Teraz przestrzeń domen kołowych z n okręgami ma wymiar 3 n – 2 (ustalanie punktu na jednym okręgu), podobnie jak przestrzeń równoległych domen szczelin z n równoległymi szczelinami (ustalanie punktu końcowego na szczelinie). Obie przestrzenie są połączone ścieżką. Twierdzenie o szczelinie równoległej daje mapę z jednej przestrzeni do drugiej. Jest jeden-jeden, ponieważ odwzorowania konforemne pomiędzy domenami kołowymi są dane przez transformacje Möbiusa. Jest ciągły według twierdzenia o zbieżności dla jąder. Dzięki niezmienności domeny mapa przenosi zbiory otwarte na zbiory otwarte. Twierdzenie o zbieżności dla jąder można zastosować do odwrotności odwzorowania: dowodzi, że jeśli sekwencja domen szczelinowych jest realizowalna za pomocą dziedzin kołowych, a domeny szczelinowe mają tendencję do domeny szczelinowej, to odpowiednia sekwencja domen kołowych zbiega się do okrągłej domena; ponadto powiązane mapowania konforemne również są zbieżne. Zatem mapa musi być połączona ścieżką z przestrzeni docelowej.

Opis oryginalnego dowodu Koebego na uniformizację przez domeny kołowe można znaleźć w Bieberbach (1953) . Uniformizację można również wykazać za pomocą równania Beltramiego . Schiffer i Hawley (1962) skonstruowali odwzorowanie konforemne na dziedzinę kołową poprzez minimalizację funkcjonału nieliniowego — metoda, która uogólniła zasadę Dirichleta.

Koebe opisał także dwa iteracyjne schematy konstruowania mapowania konforemnego na domenie kołowej; zostały one opisane w Gaier (1964) i Henrici (1986) (odkryte ponownie przez inżynierów aeronautyki, Halsey (1979) , są bardzo wydajne). W rzeczywistości załóżmy, że obszar na sferze Riemanna jest wyznaczony przez zewnętrzną część n rozłącznych krzywych Jordana i że ∞ jest punktem zewnętrznym. Niech f ₁ będzie odwzorowaniem Riemanna wysyłającym zewnętrzną część pierwszej krzywej na zewnątrz dysku jednostkowego, ustalając ∞. Krzywe Jordana są przekształcane przez f ₁ do n nowych krzywych. Teraz wykonaj to samo dla drugiej krzywej, aby uzyskać f ₂ z kolejnym nowym zestawem n krzywych. Kontynuuj w ten sposób, aż _zostanie zdefiniowane fn . Następnie uruchom ponownie proces na pierwszej z nowych krzywych i kontynuuj. Krzywe stopniowo zmierzają do ustalonych okręgów i dla dużych N mapa f _N zbliża się do tożsamości; i kompozycje f _N ∘ fa _{N −1} ∘ ⋅⋅⋅ ∘ fa ₂ ∘ f ₁ zmierzają równomiernie na zwartych do mapy ujednolicającej.

Ujednolicenie przez domeny równoległych szczelin i domeny kołowe zostało udowodnione za pomocą zasad wariacyjnych przez Richarda Couranta począwszy od 1910 r. i opisano je w Courant (1950). .

Ujednolicenie przez równoległe domeny szczelinowe obowiązuje dla dowolnych połączonych otwartych domen w C ; Koebe (1908) przypuszczał (Kreisnormierungsproblem Koebe’a), że podobne stwierdzenie odnosi się do uniformizacji przez domeny kołowe. He i Schramm (1993) udowodnili hipotezę Koebe, gdy liczba składników brzegowych jest policzalna; chociaż zostało to udowodnione dla szerokich klas dziedzin, przypuszczenie pozostaje otwarte, gdy liczba składników brzegowych jest niepoliczalna. Koebe (1936) rozpatrzono także ograniczony przypadek okręgów oscylacyjnych lub stycznych, który jest nadal aktywnie badany w teorii upakowania kół .

Zobacz też

Notatki

Ahlfors, Lars V.; Sario, Leo (1960), Powierzchnie Riemanna , Princeton Mathematical Series, tom. 26, Princeton University Press
Ahlfors, Lars V. (1978), Analiza złożona. Wprowadzenie do teorii funkcji analitycznych jednej zmiennej zespolonej , International Series in Pure and Applied Mathematics (wyd. 3), McGraw-Hill, ISBN 0070006571
Bieberbach, L. (1953), Mapowanie konformalne , przeł. F. Steinhardt, Chelsea
Courant, Richard (1977), zasada Dirichleta, mapowanie konforemne i powierzchnie minimalne , Springer, ISBN 0-387-90246-5
Gaier, Dieter (1959a), „Über ein Extremalproblem der konformen Abbildung” , Math. Z. (w języku niemieckim), 71 : 83–88, doi : 10.1007/BF01181387 , S2CID 120833385
Gaier, Dieter (1959b), „Untersuchungen zur Durchführung der konformen Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete” , Arch. Racjonalny mech. Analny. (w języku niemieckim), 3 : 149–178, doi : 10.1007/BF00284172 , S2CID 121587700
Gaier, Dieter (1964), Konstruktive Methoden der konformen Abbildung , Springer
Goluzin, GM (1969), Geometryczna teoria funkcji zmiennej zespolonej , Translations of Mathematical Monographs, tom. 26, Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne
Grunsky, Helmut (1978), Wykłady z teorii funkcji w wielokrotnie połączonych dziedzinach , Vandenhoeck i Ruprecht, ISBN 3-525-40142-6
Halsey, ND (1979), „Analiza przepływu potencjalnego płatów wieloelementowych przy użyciu mapowania konformalnego” , AIAA J. , 17 (12): 1281–1288, doi : 10.2514/3.61308
On, Zheng-Xu; Schramm, Oded (1993), „Punkty stałe, uniformizacja Koebe i upakowania okręgów”, Ann. matematyki. , 137 (2): 369–406, doi : 10.2307/2946541 , JSTOR 2946541
Henrici, Peter (1986), Stosowana i obliczeniowa analiza zespolona , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-08703-3
Katznelson, Yitzhak (2004), Wprowadzenie do analizy harmonicznej , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
Kodaira, Kunihiko (2007), Analiza złożona , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 107, Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
Koebe, Paul (1908), „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, III”, Göttingen Nachrichten : 337–358
Koebe, Paul (1910), „Über die konforme Abbildung mehrfach-zusammenhangender Bereiche” , Jahresber. Powt. Matematyka. Wer. , 19 : 339–348
Koebe, Paul (1910a), „Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven” , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 138 : 192–253, doi : 10.1515/crll.1910.138.192 , S2CID 120198686
Koebe, Paul (1910b), „Über die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode” (PDF) , Göttinger Nachrichten : 61–65
Koebe, Paul (1916), "Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung. IV. Abbildung mehrfach zusammenhängender schlichter Bereiche auf Schlitzbereiche" , Acta Math. , 41 : 305–344, doi : 10.1007/BF02422949 , S2CID 124229696
Koebe, Paul (1918), „Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung: V. Abbildung mehrfach zusammenhängender schlichter Bereiche auf Schlitzbereiche” , Math. Z. , 2 : 198–236, doi : 10.1007/BF01212905 , S2CID 124045767
Koebe, Paul (1920), „Abhandlungen zur Theorie der konformen Abbildung VI. Abbildung mehrfach zusammenhängender schlichter Bereiche auf Kreisbereiche. Uniformisierung hyperelliptischer Kurven. (Iterationsmethoden)” , Math. Z. , 7 : 235–301, doi : 10.1007/BF01199400 , S2CID 125679472
Koebe, Paul (1936), „Kontaktprobleme der konformen Abbildung”, Berichte Verhande. Sächs. Akad. Mądrala. Lipsk , 88 : 141–164
Kühnau, R. (2005), „Canonical conformal and quasiconformal mappings”, Handbook of complex Analysis, tom 2 , Elsevier, s. 131–163
Napier, Terrence; Ramachandran, Mohan (2011), Wprowadzenie do powierzchni Riemanna , Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-4693-6
Nehari, Zeev (1952), Mapowanie konformalne , Dover Publications , ISBN 9780486611372
Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 64, Springer
Pfluger, Albert (1957), Teoria der Riemannschen Flächen , Springer
Schiffer, Menachem; Spencer, Donald C. (1954), Funkcjonały skończonych powierzchni Riemanna , Princeton University Press
Schiffer, M. (1959), „Wartości własne Fredholma wielokrotnie połączonych domen”, Pacific J. Math. , 9 : 211–269, doi : 10.2140/pjm.1959.9.211
Schiffer, Menachem; Hawley, NS (1962), „Połączenia i mapowanie konforemne”, Acta Math. , 107 (3–4): 175–274, doi : 10.1007/bf02545790
Simha, RR (1989), „Twierdzenie o uniformizacji dla płaskich powierzchni Riemanna”, Arch. Matematyka. , 53 (6): 599–603, doi : 10.1007/bf01199820 , S2CID 119590093
Springer, George (1957), Wprowadzenie do powierzchni Riemanna , Addison – Wesley, MR 0092855
Stephenson, Kenneth (2005), Wprowadzenie do pakowania okręgów , Cambridge University Press, ISBN 0-521-82356-0
Weyl, Hermann (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (przedruk niemieckiego oryginału z 1913 r. z 1997 r.) , Teubner, ISBN 3-8154-2096-2
Weyl, Hermann (1955), Koncepcja powierzchni Riemanna , przetłumaczone przez Geralda R. MacLane'a (wyd. 3), Addison – Wesley, MR 0069903