SO(8)

W matematyce SO(8) jest specjalną grupą ortogonalną działającą na ośmiowymiarowej przestrzeni euklidesowej . Może to być albo rzeczywista, albo złożona prosta grupa kłamstw o randze 4 i wymiarze 28.

Wirowanie(8)

$,$ specjalne grupy ortogonalne SO(8) nie jest prostu połączony mając grupę podstawową izomorficzną z Z ₂ . Uniwersalną osłoną SO(8) jest grupa spinowa Spin(8) .

Centrum

Środek SO(8) to Z ₂ , macierze diagonalne {±I} (jak dla wszystkich SO(2 _n ) z 2 n ≥ 4), podczas gdy środek Spin(8) to Z ₂ × Z 2 (jak dla wszystkich Spinów (4 n ), 4 n ≥ 4).

Próba

jest wyjątkowy wśród prostych grup Liego , ponieważ jego diagram Dynkina ( D ₄ zgodnie z klasyfikacją Dynkina) posiada potrójną symetrię . Prowadzi to do szczególnej cechy Spin(8) znanej jako triality . Wiąże się z tym fakt, że dwie reprezentacje spinorowe , jak również podstawowa reprezentacja wektorowa Spin(8) jest ośmiowymiarowa (dla wszystkich innych grup spinowych reprezentacja spinorowa jest mniejsza lub większa niż reprezentacja wektorowa). Automorfizm trialowy Spin(8) żyje w zewnętrznej grupie automorfizmów Spin(8), która jest izomorficzna z grupą symetryczną S ₃ permutującą te trzy reprezentacje. Grupa automorfizmów działa na centrum Z ₂ x Z ₂ (które również ma grupę automorfizmów izomorficzną z S ₃ którą można również uznać za ogólną grupę liniową nad polem skończonym z dwoma elementami, S ₃ ≅GL(2,2)). Kiedy ilorazuje się Spin(8) przez jedno centralne Z ₂ , łamiąc tę symetrię i uzyskując SO(8), pozostała zewnętrzna grupa automorfizmów to tylko Z ₂ . Symetria trójkowa działa ponownie na dalszy iloraz SO(8)/ Z ₂ .

Czasami Spin(8) pojawia się naturalnie w „powiększonej” formie, jako grupa automorfizmów Spin(8), która rozpada się jako iloczyn półprosty : Aut(Spin(8)) ≅ PSO (8) ⋊ S ₃ .

oktony jednostkowe

Elementy SO(8) można opisać jednostkowymi oktonionami , analogicznie do tego, jak elementy SO(2) można opisać jednostkowymi liczbami zespolonymi , a elementy SO(4) można opisać jednostkowymi kwaternionami . Jednak związek jest bardziej skomplikowany, częściowo ze względu na brak asocjatywności oktonionów. Ogólny element w SO(8) można opisać jako iloczyn 7 mnożeń w lewo, 7 mnożeń w prawo, a także 7 mnożeń przez oktoniony jednostkowe (bimnożenie jest złożeniem mnożenia w lewo i mnożenia w prawo przez to samo octonion i jest jednoznacznie zdefiniowany ze względu na przestrzeganie oktonionów tożsamości Moufanga ).

Można wykazać, że element SO (8) można skonstruować za pomocą bimnożeń, najpierw pokazując, że pary odbić przez początek w przestrzeni 8-wymiarowej odpowiadają parom bimnożeń przez oktoniony jednostkowe. Opisany poniżej automorfizm trialowy Spin(8) zapewnia podobne konstrukcje z mnożeniami w lewo i mnożeniami w prawo.

Octony i triality

Jeśli ${\ Displaystyle x, y, z \ in \ mathbb {O}}$ i ${\ Displaystyle (xy) z = 1}$ , można wykazać, że odpowiednik ${\ Displaystyle x (yz) = 1}$ $że$ bez dwuznaczności Trójka map ${\ Displaystyle (\ alfa, \ beta, \ gamma)}$ , które zachowują tę tożsamość, tak że ${\ Displaystyle x ^ {\ alfa} y ^ {\ beta} z ^ {\gamma }=1}$ nazywamy izotopem . Jeśli trzy mapy izotopu są w $izotop$ ortogonalnym Jeśli $powiedzmy$ $\ Displaystyle \ gamma \ in \ operatorname {SO (8)}}$ , a następnie zgodnie z powyższym można opisać jako iloczyn bimultiplikacji oktonionów jednostkowych, ${\ Displaystyle \ gamma = B_ {u_ {1}}... B_ {u_ {n}}}$ . Niech ${\ Displaystyle \ alfa, \ beta \ w \ nazwa operatora {SO (8)}}$ będą odpowiednimi iloczynami lewego i prawego mnożenia przez koniugaty (tj. odwrotności multiplikatywne) tych samych oktonionów jednostkowych, więc ${\ Displaystyle \ alfa = L _ {\ overline {u_ {1}}} ... L _ {\ overline {u_ {n}}}$ } ${\ Displaystyle \ beta = R _ {\ overline {u_ {1}}} ... R _ {\ overline {u_ {n}}}}$ . Proste $_$ _ W wyniku braku asocjatywności oktonionów jedyną inną ortogonalną izotopą dla $-$ ( $\ alfa, - \ beta, \ gamma) }$ . Ponieważ zbiór izotopów ortogonalnych daje pokrycie 2 do 1 ${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (8)}$ , w rzeczywistości muszą być ${\ Displaystyle \ operatorname {Spin} (8)}$ .

$=$ dwustronne, co oznacza, że $1$ 1 . Oznacza $,$ że dana izotopia może dając ${\ Displaystyle (\ beta, \ gamma, \ alfa)}$ i ${\ Displaystyle (\ gamma, \ alfa, \ beta)}$ . Daje to zewnętrzny automorfizm rzędu 3 ${\ Displaystyle \ operatorname {Spin} (8)}$ . Ten automorfizm „triality” jest wyjątkowy wśród grup spinowych . Nie ma automorfizmu trialowości ${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (8)}$ $}$ $są$ odpowiednie mapy określane jednoznacznie tylko do znaku

System korzeniowy

{\ Displaystyle (\ pm 1, \ pm 1,0,0)}

{\ Displaystyle (\ pm 1,0, \ pm 1,0 )}

{\ Displaystyle (\ pm 1,0, 0, \ pm 1)}

{\ Displaystyle (0, \ pm 1, \ pm 1 ,0)}

{\ Displaystyle (0, \ pm 1,0, \ pm 1)}

{\ Displaystyle (0, 0, \ pm 1, \ pm 1)}

grupa Weyla

Jego grupa Weyl / Coxeter ma 4! × 8 = 192 elementy.

Macierz Cartana

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 2 i -1 i -1 i -1 \\ - 1 i 2 i 0 i 0 \\ - 1 i 0 i 2 i 0 \\ - 1 i 0 i 0 i 2 \ koniec {pmatrix }}}

Zobacz też

Adams, JF (1996), Wykłady o wyjątkowych grupach Liego , Chicago Lectures in Mathematics , University of Chicago Press , ISBN 0-226-00526-7
Chevalley, Claude (1997), algebraiczna teoria spinorów i algebry Clifforda , Prace zebrane, tom. 2, Springer-Verlag, ISBN 3-540-57063-2 (pierwotnie opublikowane w 1954 przez Columbia University Press )
Porteous, Ian R. (1995), Algebry Clifforda i grupy klasyczne , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, tom. 50, Cambridge University Press , ISBN 0-521-55177-3