Dyfeomorficzne mapowanie metryczne dużych deformacji

Dyfeomorficzne mapowanie metryczne dużych deformacji ( LDDMM ) to specyficzny zestaw algorytmów używanych do mapowania dyfeomorficznego i manipulowania gęstymi obrazami w oparciu o dyfeomorficzne mapowanie metryczne w akademickiej dyscyplinie anatomii obliczeniowej , które można odróżnić od jej prekursora opartego na mapowaniu dyfeomorficznym . Różnica między nimi polega na tym, że dyfeomorficzne mapy metryczne spełniają tę właściwość, że długość związana z ich odejściem od tożsamości indukuje metrykę w grupie dyfeomorfizmów , co z kolei indukuje metrykę na orbicie kształtów i form w dziedzinie anatomii obliczeniowej . Badanie kształtów i form za pomocą metryki mapowania metryki dyfeomorficznej nazywa się dyfeomorfometrią .

System mapowania dyfeomorficznego to system przeznaczony do mapowania, manipulowania i przesyłania informacji, które są przechowywane w wielu typach rozproszonych przestrzennie obrazów medycznych.

Mapowanie dyfeomorficzne to podstawowa technologia mapowania i analizowania informacji mierzonych w anatomicznych układach współrzędnych człowieka, które zostały zmierzone za pomocą obrazowania medycznego ^{[ potrzebne źródło ]} . Mapowanie dyfeomorficzne to szerokie pojęcie, które w rzeczywistości odnosi się do wielu różnych algorytmów, procesów i metod. Jest dołączony do wielu operacji i ma wiele zastosowań do analizy i wizualizacji. Mapowanie dyfeomorficzne można wykorzystać do powiązania różnych źródeł informacji, które są indeksowane jako funkcja położenia przestrzennego jako kluczowa zmienna indeksu. Dyfeomorfizmy dzięki swojej łacińskiej strukturze pierwiastków zachowują przekształcenia, które z kolei są różniczkowalne, a zatem gładkie, co pozwala na obliczanie wielkości metrycznych, takich jak długość łuku i pola powierzchni. Położenie przestrzenne i zasięg w anatomicznych układach współrzędnych człowieka można rejestrować za pomocą różnych metod obrazowania medycznego, ogólnie określanych jako multimodalne obrazowanie medyczne, dostarczając ilości skalarne lub wektorowe w każdej lokalizacji przestrzennej. Przykłady są skalarne Obrazy rezonansu magnetycznego T1 lub T2 lub jako matryce tensora dyfuzji 3x3 , MRI dyfuzji i obrazowanie ważone dyfuzją , do gęstości skalarnych związanych z tomografią komputerową (CT) lub obrazy funkcjonalne, takie jak dane czasowe funkcjonalnego rezonansu magnetycznego i gęstości skalarne, takie jak pozyton tomografia emisyjna (PET) .

Anatomia obliczeniowa to subdyscyplina w ramach szerszej dziedziny neuroinformatyki w ramach bioinformatyki i obrazowania medycznego . Pierwszym algorytmem gęstego mapowania obrazu za pomocą dyfeomorficznego mapowania metrycznego był LDDMM Bega dla objętości i dopasowywanie punktów orientacyjnych Joshiego dla zestawów punktów z korespondencją, przy czym algorytmy LDDMM są teraz dostępne do obliczania dyfeomorficznych map metrycznych między nieodpowiadającymi punktami orientacyjnymi i dopasowywaniem punktów orientacyjnych między wewnętrznymi a sferycznymi rozmaitościami, krzywe , prądy i powierzchnie, tensory, zmienne i szeregi czasowe. Termin LDDMM został po raz pierwszy ustalony jako część Narodowe Instytuty Zdrowia wspierały Sieć Badań Informatyki Biomedycznej .

W bardziej ogólnym sensie mapowanie dyfeomorficzne to dowolne rozwiązanie, które rejestruje lub buduje odpowiedniki między gęstymi układami współrzędnych w obrazowaniu medycznym, zapewniając, że rozwiązania są dyfeomorficzne. Obecnie istnieje wiele kodów zorganizowanych wokół rejestracji dyfeomorficznej, w tym ANTS, DARTEL, DEMONS, StationaryLDDMM, FastLDDMM, jako przykłady aktywnie używanych kodów obliczeniowych do konstruowania korespondencji między układami współrzędnych w oparciu o gęste obrazy.

Rozróżnienie między dyfeomorficznym mapowaniem metrycznym stanowiącym podstawę LDDMM a najwcześniejszymi metodami mapowania dyfeomorficznego polega na wprowadzeniu zasady Hamiltona najmniejszego działania, w której wybierane są duże deformacje o najkrótszej długości odpowiadającej przepływom geodezyjnym. To ważne rozróżnienie wynika z oryginalnego sformułowania metryki Riemanna odpowiadającej prawostronnej niezmienniczości. Długości tych geodezji dają metrykę w metrycznej strukturze przestrzennej anatomii człowieka. Niegeodezyjne sformułowania mapowania dyfeomorficznego generalnie nie odpowiadają żadnemu sformułowaniu metrycznemu.

Historia rozwoju

Mapowanie dyfeomorficzne trójwymiarowych informacji w układach współrzędnych ma kluczowe znaczenie dla obrazowania medycznego o wysokiej rozdzielczości i obszaru neuroinformatyki w nowo powstającej dziedzinie bioinformatyki . Mapowanie dyfeomorficzne 3-wymiarowych układów współrzędnych mierzonych za pomocą gęstych obrazów o wysokiej rozdzielczości ma długą historię w 3D, poczynając od komputerowej tomografii osiowej (skanowanie CAT) na początku lat 80-tych przez grupę z University of Pennsylvania kierowaną przez Ruzenę Bajcsy , a następnie Ulf Szkoła Grenandera na Uniwersytecie Browna z eksperymentami HAND. W latach 90-tych istniało kilka rozwiązań rejestracji obrazu, które były związane z linearyzacjami małych odkształceń i nieliniowej sprężystości.

Głównym celem poddziedziny anatomii obliczeniowej (CA) w obrazowaniu medycznym jest mapowanie informacji w anatomicznych układach współrzędnych w skali morfomu 1 milimetra . W CA mapowanie gęstych informacji mierzonych w obrazie rezonansu magnetycznego (MRI), takich jak mózg, zostało rozwiązane poprzez niedokładne dopasowanie obrazów 3D MR jeden na drugim. Najwcześniejsze wprowadzenie wykorzystania mapowania dyfeomorficznego poprzez duże strumienie deformacji dyfeomorfizmów za transformację układów współrzędnych w analizie obrazu i obrazowaniu medycznym dokonali Christensen, Rabbitt oraz Miller i Trouve. Wprowadzenie przepływów, które są podobne do równań ruchu stosowanych w dynamice płynów, wykorzystuje pogląd, że gęste współrzędne w analizie obrazu są zgodne z Lagrange'a i Eulera równania ruchu. Model ten staje się bardziej odpowiedni do badań przekrojowych, w których mózgi i/lub serca niekoniecznie są deformacjami jednego względem drugiego. Metody oparte na liniowej lub nieliniowej energetyce sprężystości, która rośnie wraz z odległością od odwzorowania tożsamościowego szablonu, nie nadają się do badań przekrojowych. Raczej w modelach opartych na przepływach dyfeomorfizmów Lagrange'a i Eulera ograniczenie jest związane z właściwościami topologicznymi, takimi jak zachowanie zbiorów otwartych, nieprzecinanie się współrzędnych, co sugeruje wyjątkowość i istnienie odwrotnego odwzorowania, oraz pozostawanie połączonych zbiorów połączonych. Zastosowanie metod dyfeomorficznych szybko wzrosło i zdominowało dziedzinę metod mapowania po oryginalnym artykule Christensena, wraz z udostępnieniem szybkich i symetrycznych metod.

Takie metody są potężne, ponieważ wprowadzają pojęcia regularności rozwiązań, dzięki czemu można je różnicować i obliczać lokalne odwrotności. Wadą tych metod jest to, że nie było powiązanej globalnej właściwości najmniejszego działania, która mogłaby oceniać przepływy minimalnej energii. Kontrastuje to z ruchami geodezyjnymi, które są kluczowe dla badania kinematyki ciała sztywnego i wieloma problemami rozwiązanymi w fizyce za pomocą zasady najmniejszego działania Hamiltona . W 1998 roku Dupuis, Grenander i Miller ustalili warunki gwarantujące istnienie rozwiązań gęstego dopasowywania obrazów w przestrzeni przepływów dyfeomorfizmów. Warunki te wymagają działania penalizującego energię kinetyczną mierzoną normą Sobolewa na przestrzennych pochodnych przepływu pól wektorowych.

Kod mapowania dyfeomorficznego metryki dużych deformacji (LDDMM), który Faisal Beg wyprowadził i zaimplementował do swojego doktoratu na Uniwersytecie Johnsa Hopkinsa, opracował najwcześniejszy kod algorytmiczny, który rozwiązał przepływy ze stałymi punktami, spełniając warunki niezbędne dla problemu dopasowywania gęstego obrazu z zastrzeżeniem najmniejszego działania . Anatomia obliczeniowa ma obecnie wiele istniejących kodów zorganizowanych wokół rejestracji dyfeomorficznej, w tym ANTS, DARTEL, DEMONS, LDDMM, StationaryLDDMM jako przykłady aktywnie używanych kodów obliczeniowych do konstruowania korespondencji między układami współrzędnych w oparciu o gęste obrazy.

Te metody dużych deformacji zostały rozszerzone na punkty orientacyjne bez rejestracji poprzez dopasowywanie miar, krzywe, powierzchnie, gęste obrazy wektorowe i tensorowe oraz zróżnicowanie usuwające orientację.

Dyfeomorficzny model orbity w anatomii obliczeniowej

Odkształcalny kształt w anatomii obliczeniowej (CA) jest badany za pomocą mapowania dyfeomorficznego w celu ustalenia zgodności między współrzędnymi anatomicznymi w obrazowaniu medycznym. W tym ustawieniu trójwymiarowe obrazy medyczne są modelowane jako losowe odkształcenie jakiegoś przykładu, określanego jako szablon $,$ w modelu orbity losowej CA dla obrazy ${\ Displaystyle I \ w {\ mathcal {I}} \ doteq \ {I = I_ {temp} \ circ \ varphi, \ varphi \ w Diff_ {V} \ }}$ . Szablon jest odwzorowywany na cel poprzez zdefiniowanie problemu wariacyjnego, w którym szablon jest przekształcany za pomocą dyfeomorfizmu używanego jako zmiana współrzędnych w celu zminimalizowania warunku dopasowania błędu kwadratowego między przekształconym szablonem a celem.

Dyfeomorfizmy są generowane przez płynne przepływy $} _{1}}$ $phi _ {t}, t \ w [0,1$ ] , spełniające specyfikację Lagrange'a i Eulera pola przepływu związanego z równaniem różniczkowym zwyczajnym,

\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ phi _ {t} = v_ {t} \ circ \ phi _ {t}, \ \phi_{0}=identyfikator}

,

z $_$ _ _ _ Gwarantuje się, że pola wektorowe będą 1-krotnie różniczkowalne w sposób ciągły przez modelowanie ich tak, aby znajdowały się w $gładkiej$ v $w V}$ $displaystyle v$ wspieranie 1-ciągłej pochodnej. Odwrotność ${\ Displaystyle \ phi _ {t} ^ {- 1}, t \ w [0,1]}$ jest określone przez pole wektorowe Eulera z przepływem określonym przez

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ phi _ {t} ^ {-1} = - (D \ phi _ {t} ^ {-1}) v_ {t}, \ \ phi _ { 0}^{-1}=identyfikator\ .}

()

$muszą być co najmniej 1-$ , pola wektorowe ze składowymi w różniczkowalne w sposób ciągły w przestrzeni, które są modelowane jako elementy Przestrzeń Hilberta ${\ Displaystyle (V, \|\ cdot \|_ {V})}$ używając twierdzeń Sobolewa o osadzeniu tak, że każdy element ${\ Displaystyle v_ {i} \ w H_ {0} ^ {3}, i = 1,2,3,}$ ma 3-krotność całkowalnych do kwadratu słabych pochodnych. Zatem ${\ Displaystyle (V, \|\ cdot \|_ {V})}$ osadza się płynnie w 1-czasowych funkcjach różniczkowalnych w sposób ciągły. Grupa dyfeomorfizmów to przepływy o polach wektorowych całkowicie całkowalnych w normie Sobolewa

{\ Displaystyle Diff_ {V} \ doteq \ {\ varphi = \ phi _ {1}: {\ kropka {\ phi}} _ {t} = v_ {t} \ circ \ phi _ {t}, \ phi _ {0}=id,\int _{0}^{1}\|v_{t}\|_{V}dt<\infty \}\ .}

()

Wariacyjny problem gęstego dopasowania obrazu i rzadkiego dopasowania punktu orientacyjnego

Algorytm LDDMM do gęstego dopasowywania obrazów

W CA przestrzeń pól wektorowych ${\ Displaystyle (V, \|\ cdot \|_ {V})}$ jest modelowana jako odtwarzająca się przestrzeń Kernela Hilberta (RKHS) zdefiniowana przez 1-1 , operator różniczkowy ${\ Displaystyle A: V \ rightarrow V ^ {*}}$ wyznaczanie normy ${\ Displaystyle \| v \ | _ {V} ^ {2} \ doteq \ int _ {R ^ {3}} Av \ cdot vdx, \ v \ in V \,} gdzie całka jest$ obliczana przez $}$ przez części, gdy jest uogólnioną funkcją w podwójnej przestrzeni $displaystyle V ^ {*$ . Operator różniczkowy jest tak dobrany, że jądro Greena, odwrotność operatora, jest różniczkowalne w sposób ciągły w każdej zmiennej, co oznacza, że pola wektorowe obsługują 1-ciągłą pochodną ; zobacz niezbędne warunki dotyczące normy istnienia rozwiązań.

Oryginalne algorytmy mapowania dyfeomorficznego metrycznego dużych deformacji (LDDMM) Beg, Miller, Trouve, Younes zostały wyprowadzone z uwzględnieniem zmian w odniesieniu do parametryzacji pola wektorowego grupy, ponieważ v = ϕ ˙ ∘ ϕ $\ kropka {\phi}}\circ \phi ^{-1}}$ znajdują się w przestrzeniach wektorowych. Beg rozwiązał gęste dopasowanie obrazu, minimalizując całkę akcji energii kinetycznej przepływu dyfeomorficznego, jednocześnie minimalizując termin dopasowania punktu końcowego zgodnie z

${\textstyle \ min _ {v: {\ kropka {\ phi}} = v \ circ \ phi, \ phi _ {0} = id} C (v) \ doteq {\ frac {1} {2} }\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{R^{3 }}|I\circ \phi _{1}^{-1}-J|^{2}dx}$

()

Iteracyjny algorytm Bega dla gęstego dopasowywania obrazów

Aktualizuj aż do zbieżności, ${\ Displaystyle \ phi _ {t} ^ {stary} \ leftarrow \ phi _ {t} ^ {nowy}} w$ każdej iteracji, z ${\ Displaystyle \ phi _ {t1} \ doteq \ phi _ {1} \ circ \ phi _ {t} ^ {- 1}}$ :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} i v_ {t} ^ {nowy} (\ cdot) = v_ {t} ^ {stary} (\ cdot )-\epsilon (v_{t}^{stary}-\int _{R^{3}}K(\cdot ,y)(I\circ \phi _{t}^{-1stary}(y) -J\circ \phi _{t1}^{stary}(y))\nabla (I\circ \phi _{t}^{-1old}(y))|D\phi _{t1}^{stary }(y)|dy),t\in [0,1]\\&{\dot {\phi }}_{t}^{nowy}=v_{t}^{nowy}\circ \phi _{ t}^{nowy},t\w [0,1]\end{przypadki}}}

()

Oznacza to, że punkt stały w ${\ displaystyle t = 0}$ spełnia

{\ Displaystyle \ mu _ {0} ^ {*} = Av_ {0} ^ {*} = (IJ \ circ \ phi _ {1} ^ {*}) \ nabla I | D \ phi _ {1} ^ {*}|}

,

co z kolei implikuje, że spełnia równanie zachowania określone przez Warunek dopasowania punktu końcowego zgodnie z

{\ Displaystyle Av_ {t} ^ {*} = (D \ phi _ {t} ^ {* -1}) ^ {T} Av_ {0} ^ {*} \ circ \ phi _ {t} ^ {* -1}|D\fi _{t}^{*-1}|}

Dopasowywanie punktów orientacyjnych zarejestrowanych w formacie LDDMM

Problem dopasowania punktu orientacyjnego ma punktową zgodność definiującą warunek punktu końcowego z geodezją określoną przez następujące minimum:

{\ Displaystyle \ min _ {v: {\ kropka {\ phi}} _ {t} = v_ {t} \ circ \ phi _ {t}} C (v) \ doteq {\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2} }\sum _{i}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot (\phi _{1}(x_{i})-y_{i})}

;

Rysunek przedstawia gęste dopasowanie obrazu LDMM. Górny rząd pokazuje transport obrazu pod przepływem

{\ Displaystyle I \ circ \ phi _ {t} ^ {- 1}}

; środkowy rząd przedstawia sekwencję pól wektorowych

{\ displaystyle v_ {t},}

t = 0,1/5,2/5,3/5,4/5,1; dolny rząd pokazuje kolejność siatek pod

{\ Displaystyle \ phi _ {t}.}

Iteracyjny algorytm dopasowywania punktów orientacyjnych

Joshi pierwotnie zdefiniował problem z dopasowaniem zarejestrowanego punktu orientacyjnego. Aktualizuj aż do zbieżności, ${\ Displaystyle \ phi _ {t} ^ {stary} \ leftarrow \ phi _ {t} ^ {nowy}} w$ każdej iteracji, z ${\ Displaystyle \ phi _ {t1} \ doteq \ phi _ {1} \ circ \ phi _ {t} ^ {- 1}}$ :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} i v_ {t} ^ {nowy} (\ cdot) = v_ {t} ^ {stary} (\ cdot) - \ epsilon (v_ {t} ^ {stary} + \sum _{i}K(\cdot ,\phi _{t}^{stary}(x_{i}))(D\phi _{t1})^{staryT}|_{\phi _{t} ^{stary}(x_{i})}(y_{i}-\fi _{1}^{stary}(x_{i})),t\in [0,1]\\&{\kropka { \phi }}_{t}^{nowy}=v_{t}^{nowy}\circ \phi _{t}^{nowy},t\w [0,1]\end{przypadki}}}

()

Oznacza to, że punkt stały spełnia

{\ Displaystyle Av_ {0} = - \ suma _ {i} (D \ fi _ {1})(x_{i})^{T}(y_{i}-\fi _{1}(x_{i}))\delta _{x_{i}}}

z

{\ Displaystyle Av_ {t} = - \ suma _ {i} (D \ phi _ {t1}) ^ { T}|_{\phi _{t}(x_{i})}(y_{i}-\phi _{1}(x_{i}))\delta _{\phi _{t}(x_{ i})}}

.

Wariacje dla gęstego obrazu LDDMM i dopasowywania punktów orientacyjnych

Rachunku wariacyjnego użyto w Beg ^[49] do wyprowadzenia algorytmu iteracyjnego jako rozwiązania, które przy zbieżności spełnia niezbędne warunki maksymalizacyjne określone przez warunki konieczne dla wariacji pierwszego rzędu wymagającej wariacji punktu końcowego względem pierwszego rzędu zmienność pola wektorowego. Pochodna kierunkowa oblicza pochodną Gateaux , jak obliczono w oryginalnej pracy Bega ^[49] i.

Zmienność pierwszego rzędu przepływu i pola wektorowego dla dopasowania gęstego obrazu i punktu orientacyjnego

$która$ pierwszego $,$ wymaga zmiany uogólnia odwrotności przez ${\ Displaystyle (\ phi + \ epsilon \ delta \ phi \ circ \ phi ) \ circ (\ phi ^ {-1} + \ epsilon \ delta \ phi ^ {- 1} \ circ \ phi ^ {-1}) = id + o (\ epsilon)}$ dając ${\ Displaystyle \ delta \ phi ^ {- 1 }\circ \phi ^{-1}=-(D\phi _{1}^{-1})\delta \phi }$ . Aby wyrazić zmienność pod względem ${\ Displaystyle \ delta v}$ , użyj rozwiązania nawiasu Liego ${\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ lewo (\ delta \ phi _ {| \ phi} \ prawej) = (Dv) _ {| \ phi} \ delta \ phi _ {| \ phi} +\delta v_{|\phi }}$ dawanie

{\ Displaystyle \ delta \ fi _ {1} = (D \ fi _ {1}) _ {| \ fi _ {1} ^ {-1}} \ int _ {0} ^ {1} (D \ fi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{\phi _{t}\circ \phi _{1}^ {-1}}dt}

Dopasowanie obrazu:

Biorąc pochodną kierunkową warunku końcowego obrazu ${\ Displaystyle E (\ phi) = \ int _ {X} | ja \ circ \ phi ^ {-1} -J | ^ {2} dx}$ daje

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {d \ epsilon}} {\ Frac {1} {2}} \ int _ {X} | ja \ circ (\ phi ^ {- 1}+\epsilon \delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1})-J|^{2}dx|_{\epsilon =0}=\int _{X}(I\ circ \phi ^{-1}-J)\nabla I|_{\phi ^{-1}}\delta \phi ^{-1}\circ \phi ^{-1}dx}

{\ Displaystyle = \ int _ {X} (I \ circ \ phi ^ {-1} -J) \ nabla ja | _ {\ phi ^ {-1}} (-D \ phi _ { 1}^{-1})\delta \phi dx}

{\ Displaystyle = \ int _ {X} (I \ circ \ phi _ {1} ^ {-1} -J) \ nabla I | _ {\ phi _ {1} ^ {-1}} (-D \ fi _{1})_{|\fi _{1}^{-1}}^{-1}(D\fi _{1})_{|\fi _{1}^{-1}} )\int _{0}^{1}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^{-1}(\delta v_{t})_{ |{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}dtdx}

.

Podstawiając ${\ Displaystyle \ phi _ {t1} \ doteq \ phi _ {1} \ circ \ phi _ {t} ^ {- 1}}$ daje warunek konieczny dla optymalnego :

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {d \ epsilon}} C (v + \ epsilon \ delta v) | _ {\ epsilon = 0} & = \ int _ {0} ^ {1} \int _{X}Av_{t}\cdot \delta v_{t}\ dx\ dt-\int _{0}^{1}\int _{X}(I\circ \phi _{1}^ {-1}-J)\nabla I|_{\phi _{1}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{1}^{-1}}^ {-1}(\delta v_{t})_{|{\phi _{t}\circ \phi _{1}^{-1}}}\ dx\,dt\\&=\int _{ 0}^{1}\int _{X}\left(Av_{t}-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})\nabla I| _{\phi _{t}^{-1}}(D\phi _{t})_{|\phi _{t}^{-1}}^{-1}|D\phi _{t1 }|\right)\cdot \delta v_{t}\ dx\,dt\\&=0\end{wyrównane}}}

.

Dopasowanie punktu orientacyjnego:

Weźmy zmienność pól wektorowych ${\ Displaystyle v + \ epsilon \ delta v$ $użyj$ 1 reguły łańcuchowej perturbacja daje pierwszą odmianę ${\ Displaystyle \ delta \ phi \ circ \ phi}$

{\ Displaystyle \ suma _ {i} (\ phi _ {1} (x_ {i}) -y_ {i}) \ cdot D \ phi _{1}|_{\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}\int _{0}^{1}(D\phi _{t })_{|\phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}^{-1}\delta v_{t}|_{\phi _{t }\circ \phi _{1}^{-1}(\phi _{1}(x_{i}))}dt}

{\ Displaystyle = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {X} \ suma _ {i} \ delta _ {\ fi _ {t} (x_ {i})} (x) (\ fi _ {1}(x_{i})-y_{i})\cdot (D\phi _{1})_{\phi _{t}^{-1}(x)}(D\phi _{t })_{\phi _{t}^{-1}(x)}^{-1}\delta v_{t}(x)dxdt=\int _{0}^{1}\int _{X }\sum _{i}\delta _{\phi _{t}(x_{i})}(y)(D\phi _{t1})_{\phi _{t}(x_{i}) }^{T}(\phi _{1}(x_{i})-y_{i})\cdot \delta v_{t}(x)dxdt}

Dopasowanie obrazu tensora dyfuzji LDDMM

Dopasowanie LDDMM na podstawie głównego wektora własnego macierzy tensora dyfuzji przyjmuje obraz jako jednostkę ${\ Displaystyle I (x), x \ in {\ mathbb {R}} ^ {3}}$ pole wektorowe określone przez pierwszy wektor własny. Akcja grupowa staje się

{\ Displaystyle \ varphi \ cdot I = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {D _ {\ varphi ^ {-1}} \ varphi I \ circ \ varphi ^ {- 1} \| I \ circ \ varphi ^ { -1}\|}{\|D_{\varphi ^{-1}}\varphi I\circ \varphi ^{-1}\|}}&I\circ \varphi \neq 0,\\0&{\text {inaczej.}}\end{przypadki}}}

gdzie $kwadratu$ normę błędu

Dopasowanie LDDMM na podstawie całej macierzy tensorów ma działanie grupowe ${\ Displaystyle \ varphi \ cdot M = (\ lambda _ {1} {\ kapelusz {e}} _ {1} {\ kapelusz {e}} _ {1} ^ {T} + \ lambda _ {2} \kapelusz {e}}_{2}{\kapelusz {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\kapelusz {e}}_{3}{\kapelusz {e}} _{3}^{T})\circ \varphi ^{-1},}$ przekształcone wektory własne

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kapelusz {e}} _ {1} i = {\ Frac {D \ varphi e_ {1}} { \|D\varphi e_{1}\|}}\ ,\ \ \ {\kapelusz {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\kapelusz {e} }_{1},D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\sqrt {\|D\varphi e_{2}\|^{2}-\langle { \kapelusz {e}}_{1},D\varphi e_{2}\rangle ^{2}}}}\ ,\ \ \ {\kapelusz {e}}_{3}={\kapelusz {e} }_{1}\times {\kapelusz {e}}_{2}\end{wyrównane}}}

.

Gęsty problem dopasowania do podstawowego wektora własnego DTI

Problem wariacyjny z dopasowaniem do obrazu wektorowego ${\ Displaystyle I ^ {\ pierwsza} (x), x \ in {\ mathbb {R}} ^ {3}}$ z punktem końcowym

{\ Displaystyle E (\ phi _ {1}) \ doteq \ alfa \ int _ {{\ mathbb {R}} ^ {3}} \ | \ phi _ {1} \ cdot II ^ {\ pierwsza} \ | ^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\prime }\| )^{2}\,dx).}

staje się

{\ Displaystyle \ min _ {v: {\ kropka {\ phi}} \ circ \ phi ^ {-1}} {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R}}^{3}}\|\phi _{1}\cdot II^{\ liczba pierwsza }\|^{2}\,dx+\beta \int _{{\mathbb {R} }^{3}}(\|\phi _{1}\cdot I\|-\|I^{\ pierwsza }\|)^{2}\,dx\ .}

Gęsty problem dopasowania na DTI MATRIX

Problem wariacyjny dopasowujący się do: ${\ Displaystyle M ^ {\ pierwsza} (x), x \ in {\ mathbb {R}} ^ {3}}$ z punktem końcowym

{\ Displaystyle E (\ phi _ {1}) \ doteq \ int _ {{\ mathbb { R} }^{3}}\|\phi _{1}\cdot M(x)-M^{\prime }(x)\|_{F}^{2}dx}

z $fa {\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {F}}$ Frobeniusa, dającą problem wariacyjny

{\ Displaystyle \ min _ {v: v = {\ kropka {\ phi}} \ circ \ phi ^ {-1}} {\ Frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {1} \ int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+\alpha \int _{{\mathbb {R}}^{3}}\|\phi _{1}\cdot M( x)-M^{\pierwsza}(x)\|_{F}^{2}dx}

()

LDDMM ODF

Obrazowanie dyfuzyjne o wysokiej rozdzielczości kątowej (HARDI) rozwiązuje dobrze znane ograniczenie DTI, to znaczy, że DTI może ujawnić tylko jedną dominującą orientację włókien w każdym miejscu. HARDI mierzy dyfuzję wzdłuż $kuli$ i może charakteryzować bardziej złożone geometrie włókien poprzez rekonstrukcję funkcji rozkładu orientacji (ODF), która charakteryzuje profil kątowy funkcji gęstości prawdopodobieństwa dyfuzji cząsteczek wody. ODF jest funkcją zdefiniowaną na sferze jednostkowej, ${\ Displaystyle {\ mathbb {S}} ^ {2}}$ . Oznacz ODF z pierwiastkiem kwadratowym ( ${\ Displaystyle {\ sqrt {\ tekst {ODF}}}}$ ) jak ${\ Displaystyle \ psi ({\ bf {s}})}$ ψ $\ Displaystyle \ psi ({{\ bf {s}})} \bf {s}})}$ jest nieujemne, aby zapewnić wyjątkowość i ${\ Displaystyle \ int _ {{\ bf {s}} \ w {\ mathbb { S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1}$ . Metryka określa odległość między dwoma $jak$ _ $_$ _

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ rho (\ psi _ {1}, \ psi _ {2}) = \|\ log _ {\ psi _ {1}} (\ psi _ { 2})\|_{\psi _{1}}=\cos ^{-1}\langle \psi _{1},\psi _{2}\rangle =\cos ^{-1}\left( \int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S}}^{2}}\psi _{1}({\bf {s}})\psi _{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}\right),\end{wyrównane}}}

gdzie $pod$ normalnym $iloczynem$ punktami Szablon i cel są oznaczone ${\ Displaystyle \ psi _ {\ operatorname {temp}} ({\ bf {s}}, x)}$ , ${\ Displaystyle \ psi _ {\ operatorname {targ}} ({\ bf {s}}, x)}$ , $}} indeksowane w$ ${\ Displaystyle {\ bf {s}} \ w {{\ mathbb {S}} ^$ $sferze jednostkowej i domenie obrazu$ z celem indeksowanym podobnie

$ODF$ mogą być generowane między sobą poprzez przepływy dyfeomorfizmów , które są rozwiązaniami równań różniczkowych ${\ Displaystyle {\ kropka {\ phi}} _ {t} = v_ {t} (\ phi _ {t}), t \ w [0,1], \phi_{0}={identyfikator}}$ . $_ \ psi (x) \ doteq (D \ phi _ {1}) \ psi \ circ \ phi _ {1} ^ {- 1} (x), x \ in X} , gdzie ($ szablonie re $Displaystyle (D\fi _{1})}$ jest jakobianem afinowanej transformowanej ODF i jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (D \ phi _ {1}) \ psi \ circ \ phi _ {1} ^ {-1} (x) = {\ sqrt {\ Frac {\ det {{\ bigl (}D_{\phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{\phi _ {1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left ({\frac {(D_{\phi_{1}^{-1}}\phi_{1}{\bigr)}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{ \phi _{1}^{-1}}\phi _{1}{\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi _{1}^{-1 }(x)\right).\end{wyrównane}}}

Problem wariacyjny LDDMM jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ min _ {v: {\ kropka {\ phi}} _ {t} = v_ {t} \ circ \ phi _ {t}, \ phi _ {0} = {id }}\int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dx\ dt+\lambda \int _{R^{3}}\|\ log _{(D\fi _{1})\psi _{\mathrm {temp}}\circ \phi _{1}^{-1}(x)}(\psi _{\mathrm {targ}}} (x))\|_{(D\phi _{1})\psi _{\mathrm {temp}}\circ \phi _{1}^{-1}(x)}^{2}dx\ koniec {wyrównany}}}

.

Hamiltonian LDDMM dla gęstego dopasowania obrazu

Beg rozwiązał wczesne algorytmy LDDMM, rozwiązując dopasowanie wariacyjne, biorąc wariacje w odniesieniu do pól wektorowych. ${\ Displaystyle q_ {t} \ doteq I \ circ \ phi _ {t} ^ {- 1$ ≐ , dla obrazu ${\ Displaystyle I (x), x \ w X = R ^ {3}}$ ${t}\cdot v_{t}}$ ∇ Displaystyle ${\ kropka {q}} _ {t} = - \$ nabla . mi $(q_ {1}) \ doteq {\ Frac {1} {2}} \ | q_ {1} -J \ |^{2}}$ daje problem wariacyjny:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {macierz} & \ \ \ \ \ \ min _ {v: {\ kropka {q}} = v \ circ q} C (v) \ doteq {\ frac {1} {2}} \int _{0}^{1}\int _{R^{3}}Av_{t}\cdot v_{t}dxdt+{\frac {1}{2}}\int _{{\mathbb {R } }^{3}}|q_{1}(x)-J(x)|^{2}dx\end{macierz}}}

()

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} {\ tekst {Hamiltonowska dynamika}} i \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ kropka {q}} _ {t} = - \ nabla q_ {t} \ cdot v_ {t}\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\kropka {p}}_{t}=-{\text{div}}(p_{t}v_{t}),\ \ \ \ t\in [0,1]\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{t}=\mu _{t}=-p_{t}\nabla q_{t}\\{\text {Warunek punktu końcowego}}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{1}=-{\frac {\częściowe E}{\częściowe q_{1}}}(q_{1})=-(q_{1 }-J)=-(I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\\&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Av_{1}=\mu _{1}=( I\circ \phi _{1}^{-1}-J)\nabla (I\circ \phi _{1}^{-1})\ \ t=1\ .\\{\text{Zachowana dynamika }}&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{t}=-(I\circ \phi _{t}^{-1}-J\circ \phi _{t1})|D\phi _ {t1}|\ ,\ \ t\w [0,1]\ .\\\end{przypadki}}}

()

Dowód dynamiki hamiltonowskiej

q ${\ Displaystyle q_ {t} = ja \ circ \ phi _ {t} ^ {$ -1 ${\ Displaystyle {\ kropka {q}} = - \ nabla q \ cdot v}$ , = z rozszerzonym hamiltonianem ${\ Displaystyle H (q, p, v) = (p | - \ nabla q \ cdot v) - {\ Frac {1} {2}} (Av | v) }$ daje problem wariacyjny

{\ Displaystyle \ min _ {p, q, v} C (p, q, v) \ doteq (p | {\ kropka {q}}) - \ lewo ((p | - \ nabla q \ cdot v) - {\frac {1}{2}}(Av|v)\right)+E(q_{1})=(p|{\kropka {q}})-H(p,q,v)+E( q_{1})\ .}

Pierwsza wariacja podaje warunek na optymalizującym polu ${1}=-{\frac {\partial E}{\partial q}}(q_{1})}$ $\$ końcowego ${$ i dynamika na mnożnikach Lagrange'a określonych przez warunki pochodnej Gatteux ${\ Displaystyle (- {\ kropka {p}} - \ nabla \ cdot (pv) | \ delta q)} = 0}$ i stan ${\ Displaystyle (\ delta p | {\ kropka {q}} + \ nabla q \ cdot v) = 0}$ .