Flexagon

Sześciokąt, pokazany z tą samą powierzchnią w dwóch konfiguracjach

W geometrii fleksagony to płaskie modele, zwykle konstruowane przez składanie pasków papieru, które można zginać lub składać w określony sposób, aby odsłonić twarze oprócz dwóch, które pierwotnie znajdowały się z tyłu iz przodu.

Flexagony są zwykle kwadratowe lub prostokątne ( tetrafleksagony ) lub sześciokątne ( sześciokąty ). Do nazwy można dodać przedrostek wskazujący liczbę twarzy, które model może wyświetlić, w tym dwie powierzchnie (tylną i przednią), które są widoczne przed zgięciem. Na przykład sześciokąt z sześcioma ścianami nazywa się sześciokątem zginającym .

W teorii heksafleksagonu (to znaczy dotyczącej fleksagonów z sześcioma bokami) fleksagony są zwykle definiowane za pomocą pats .

Dwa fleksagony są równoważne, jeśli jeden można przekształcić w drugi za pomocą serii szczypiec i obrotów. Równoważność fleksagonu jest relacją równoważności .

Historia

Odkrycie i wprowadzenie

Odkrycie pierwszego fleksagonu, triheksafleksagonu, przypisuje się brytyjskiemu matematykowi Arthurowi H. Stone'owi , który był studentem Uniwersytetu Princeton w Stanach Zjednoczonych w 1939 roku. Jego nowa amerykańska praca nie zmieściłaby się w jego angielskim segregatorze, więc odciął końce papieru i zaczął składać je w różne kształty. Jeden z nich utworzył trihexaflexagon. Koledzy Stone'a, Bryant Tuckerman , Richard Feynman i John Tukey , zainteresowali się tym pomysłem i utworzyli Princeton Flexagon Committee. Tuckerman opracował topologiczną , zwaną trawersem Tuckermana, służącą do ujawniania wszystkich ścian fleksagonu. Trawersy Tuckermana są pokazane jako diagram.

Flexagony zostały przedstawione ogółowi społeczeństwa przez Martina Gardnera w wydaniu Scientific American z grudnia 1956 r. W artykule tak dobrze przyjętym, że zapoczątkował on kolumnę Gardnera „Mathematical Games” , która następnie ukazywała się w tym magazynie przez następne dwadzieścia pięć lat. W 1974 roku magik Doug Henning dołączył sześciokąt do własnego projektu z oryginalnym nagraniem obsady swojego przedstawienia na Broadwayu The Magic Show .

Próba rozwoju komercyjnego

W 1955 roku Russell Rogers i Leonard D'Andrea z Homestead Park w Pensylwanii złożyli wniosek o patent, aw 1959 roku otrzymali patent USA nr 2 883 195 na hexahexaflexagon, pod tytułem „Changeable Amusement Devices and the Like”.

Ich patent przewidywał możliwe zastosowania urządzenia „jako zabawki, jako urządzenia do wyświetlania reklam lub jako edukacyjnego urządzenia geometrycznego”. Kilka takich nowości zostało wyprodukowanych przez Herbick & Held Printing Company , drukarnię w Pittsburghu , w której pracował Rogers, ale urządzenie, sprzedawane jako „Hexmo”, nie przyjęło się.

Odmiany

Tetrafleksagony

tritetrafleksagon

Tritetraflexagon można złożyć z paska papieru, jak pokazano.

Figura ta ma widoczne dwie ściany, zbudowane z kwadratów oznaczonych literami A s i B s. Twarz C s jest ukryta wewnątrz fleksagonu.

Tritetrafleksagon jest najprostszym tetrafleksagonem (fleksagon o kwadratowych bokach). „Tri” w nazwie oznacza, że ​​ma trzy twarze, z których dwie są widoczne w dowolnym momencie, jeśli fleksagon jest wciśnięty płasko. Budowa tritetrafleksagonu jest podobna do mechanizmu stosowanego w tradycyjnej zabawce dziecięcej Drabina Jakubowa , w Rubik's Magic oraz w magicznej sztuczce z portfelem czy portfelu Himber .

Tritetraflexagon ma dwa ślepe zaułki, w których nie można zgiąć się do przodu. Aby dostać się do innej twarzy, musisz albo wygiąć się do tyłu, albo odwrócić fleksagon.

Trawers tritetrafleksagonalny

Heksatetrafleksagon

Bardziej skomplikowany cykliczny hexatetraflexagon nie wymaga klejenia. Cykliczny hexatetraflexagon nie ma żadnych „ślepych zaułków”, ale osoba go wykonująca może go dalej składać, aż osiągnie pozycję wyjściową. Jeśli boki są zabarwione w procesie, stany można zobaczyć wyraźniej.

Trawers sześciokątny

W przeciwieństwie do tritetrafleksagonu, hexatetraflexagon nie ma ślepych zaułków i nigdy nie musi być wyginany do tyłu.

Sześciokąty

Sześciokąty są bardzo różnorodne, wyróżniające się liczbą ścian, które można uzyskać, wyginając zmontowaną figurę. (Zauważ, że słowo hexaflexagon [bez przedrostków] może czasami odnosić się do zwykłego hexaflexagon, z sześcioma bokami zamiast innych liczb.)

Triheksafleksagon

Ten szablon trihexaflexagon przedstawia 3 kolory po 9 trójkątów, wydrukowanych z jednej strony i złożonych do pokolorowania z obu stron. Dwa żółte trójkąty na końcach zostaną sklejone razem. Czerwone i niebieskie łuki są widoczne jako pełne koła po wewnętrznej stronie jednej lub drugiej strony po złożeniu.

Sześciokąt z trzema twarzami jest najprostszym z sześciokątów do wykonania i zarządzania, i jest wykonany z pojedynczego paska papieru podzielonego na dziewięć trójkątów równobocznych. (Niektóre wzory zapewniają dziesięć trójkątów, z których dwa są sklejane w końcowym zespole).

Aby złożyć, pasek jest składany co trzeci trójkąt, łącząc się z sobą po trzech odwróceniach w sposób zgodny z międzynarodowym symbolem recyklingu . Tworzy to wstęgę Möbiusa , której pojedyncza krawędź tworzy węzeł koniczyny .

Heksasześciokąt

Ten sześciokąt ma sześć ścian. Składa się z dziewiętnastu trójkątów złożonych z paska papieru.

Na rysunkach 1-6 przedstawiono konstrukcję sześcioboku z tekturowych trójkątów na podkładzie z paska tkaniny. Został urządzony w sześciu kolorach; pomarańczowy, niebieski i czerwony na rysunku 1 odpowiadają 1, 2 i 3 na powyższym schemacie. Przeciwna strona, rysunek 2, jest ozdobiona kolorem fioletowym, szarym i żółtym. Zwróć uwagę na różne wzory użyte dla kolorów po obu stronach. Rysunek 3 przedstawia pierwszą fałdę, a figura 4 wynik pierwszych dziewięciu fałd, które tworzą spiralę. Ryciny 5-6 przedstawiają końcowe zagięcie spirali w celu utworzenia sześciokąta; w 5 dwie czerwone twarze zostały ukryte przez fałdę doliny, aw 6 dwie czerwone twarze na dole zostały ukryte przez fałdę górską. Po rysunku 6 końcowy luźny trójkąt jest składany i mocowany do drugiego końca oryginalnego paska, tak aby jedna strona była cała niebieska, a druga cała pomarańczowa. Zdjęcia 7 i 8 przedstawiają proces wywinięcia sześcioboku w celu pokazania wcześniej ukrytych czerwonych trójkątów. Dzięki dalszym manipulacjom można wyeksponować wszystkie sześć kolorów.

Po złożeniu twarze 1, 2 i 3 są łatwiejsze do znalezienia niż twarze 4, 5 i 6.

Łatwym sposobem na odsłonięcie wszystkich sześciu ścian jest użycie trawersu Tuckermana, nazwanego na cześć Bryanta Tuckermana, jednego z pierwszych, który zbadał właściwości sześciokątów. Trawers Tuckermana obejmuje wielokrotne zginanie poprzez ściskanie jednego rogu i wyginanie za każdym razem dokładnie z tego samego rogu. Jeśli róg nie chce się otworzyć, przejdź do sąsiedniego rogu i kontynuuj zginanie. Ta procedura prowadzi do cyklu 12 twarzy. Jednak podczas tej procedury 1, 2 i 3 pojawiają się trzy razy częściej niż 4, 5 i 6. Cykl przebiega następująco:

1 → 3 → 6 → 1 → 3 → 2 → 4 → 3 → 2 → 1 → 5 → 2

A potem znowu do 1.

Każdy kolor/twarz można też wyeksponować na więcej niż jeden sposób. Na przykład na rysunku 6 każdy niebieski trójkąt ma w środku swój róg ozdobiony klinem, ale możliwe jest również, na przykład, aby trójkąty ozdobione literą Y znajdowały się na środku. Istnieje 18 takich możliwych konfiguracji trójkątów o różnych kolorach i można je zobaczyć, wyginając sześciokąt sześciokątny na wszystkie możliwe sposoby w teorii, ale tylko 15 można zgiąć zwykłym sześciokątem sześciokątnym. Trzy dodatkowe konfiguracje są niemożliwe ze względu na ułożenie płytek 4, 5 i 6 na tylnej klapie. (Kąty 60 stopni w rombie utworzone przez sąsiednie 4, 5 lub 6 płytek pojawią się tylko po bokach i nigdy nie pojawią się w środku, ponieważ wymagałoby to przecięcia paska, co jest topologicznie zabronione.)

Hexahexaflexagons mogą być zbudowane z sieci o różnych kształtach osiemnastu trójkątów równobocznych. Jeden sześciokąt sześciokątny, zbudowany z nieregularnego paska papieru, jest prawie identyczny z tym pokazanym powyżej, z wyjątkiem tego, że w tej wersji można zginać wszystkie 18 konfiguracji.

Inne sześciokąty

Podczas gdy najczęściej spotykane sześciokąty mają trzy lub sześć ścian, istnieją odmiany z dowolną liczbą ścian. Proste paski tworzą sześciokąty o wielokrotności trzech liczb ścian. Inne liczby są uzyskiwane z nieprostych pasków, które są po prostu prostymi paskami z niektórymi połączeniami zagiętymi, eliminującymi niektóre twarze. Wiele pasków można złożyć na różne sposoby, tworząc różne sześciokąty z różnymi mapami składania.

Fleksagony wyższego rzędu

Prawy ośmiokąt i prawy dodekafleksagon

W tych niedawno odkrytych fleksagonach każda kwadratowa lub równoboczna trójkątna powierzchnia konwencjonalnego fleksagonu jest dalej podzielona na dwa trójkąty prostokątne, co pozwala na dodatkowe tryby zginania. Podział kwadratowych ścian tetrafleksagonów na prawe trójkąty równoramienne daje ośmiokąty, a podział trójkątnych ścian sześciokątów na 30-60-90 trójkątów prostokątnych daje dwunastokąty.

Pentaflexagon i prawy dziesięciobok

W stanie płaskim pięciokąt wygląda bardzo podobnie do logo Chryslera : regularny pięciokąt podzielony od środka na pięć trójkątów równoramiennych o kątach 72-54-54. Ze względu na swoją pięciokrotną symetrię pięciokąta nie można złożyć na pół. Jednak skomplikowana seria zgięć powoduje jej przekształcenie z ukazywania strony pierwszej i drugiej z przodu iz tyłu do ukazania wcześniej ukrytych stron trzeciej i czwartej.

Dalsze dzielenie 72-54-54 trójkątów pięciokąta pięciokątnego na 36-54-90 trójkątów prostokątnych daje jedną odmianę 10-bocznego dziesięciobocznego.

Uogólniony równoramienny n-fleksagon

Pentaflexagon jest jednym z nieskończonej sekwencji fleksagonów opartej na podziale n -kąta foremnego na n trójkątów równoramiennych. Inne fleksagony obejmują heptaflexagon, ośmiokąt równoramienny, enneaflexagon i inne.

Niepłaski pentafleksagon i niepłaski siedmiokąt

Harold V. McIntosh opisuje również „niepłaskie” fleksagony (tj. takie, których nie można zgiąć, więc leżą płasko); złożone z pięciokątów zwanych pentafleksagonami , az siedmiokątów zwane heptafleksagonami . Należy je odróżnić od „zwykłych” pentafleksagonów i siedmiofleksagonów opisanych powyżej, które są wykonane z trójkątów równoramiennych i można je ułożyć płasko.

W kulturze popularnej

Flexagons to także popularna struktura książki używana przez twórców książek artystycznych, takich jak Julie Chen ( Life Cycle ) i Edward H. Hutchins ( Album i Voces de México ). Instrukcje dotyczące tworzenia tetra-tetra-flexagon i cross-flexagon są zawarte w Making Handmade Books: 100+ Bindings, Structures and Forms autorstwa Alisy Golden.

Sześciokąt wysokiego rzędu został użyty jako element fabuły w powieści Piersa Anthony'ego 0X , w której flex był analogiczny do podróży między alternatywnymi wszechświatami.

Zobacz też

• Drzewo Cayleya
• Geometryczna teoria grup
• Kalejdoskop

Bibliografia

• Martin Gardner napisał doskonałe wprowadzenie do heksafleksagonów w rubryce Mathematical Games z grudnia 1956 r. w Scientific American . Pojawia się również w:
  • „Scientific American” Book of Mathematical Puzzles and Diversions . Simon & Schuster. 1959.
  •   Sześciokąty i inne matematyczne rozrywki: pierwsza księga puzzli i gier „Scientific American” . Wydawnictwo Uniwersytetu Chicagowskiego. 1988. ISBN 0-226-28254-6 .
  •   Kolosalna księga matematyki . WW Norton & Co. 2001. ISBN 0-393-02023-1 .
  •   Sześciokąty, paradoksy prawdopodobieństwa i wieża Hanoi: pierwsza książka łamigłówek i gier matematycznych Martina Gardnera . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. 2008. ISBN 978-0-521-73525-4 .
  •    Gardner, Martin (styczeń 2012). „Sześciokąty”. Dziennik Matematyki Kolegium . 43 (1): 2–5. doi : 10.4169/college.math.j.43.1.002 . JSTOR 10.4169/college.math.j.43.1.002 . S2CID 218544330 . Numer zawiera również inny artykuł autorstwa Pooka oraz jeden autorstwa Iacoba, McLeana i Hua.
• Jones, Madeline (1966). Tajemnicze Flexagony: wprowadzenie do fascynującej nowej koncepcji składania papieru . Wydawcy koronni.
•   Mitchell, David (2000). Magia Flexagonów – Papierowe ciekawostki do wycięcia i wykonania . Tarquin. ISBN 1-899618-28-7 .
•   Pook, Les (2006). Flexagony na lewą stronę . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-81970-9 .
•   Pook, Les (2009). Poważna zabawa z Flexagonami, kompendium i przewodnik . Skoczek. ISBN 978-90-481-2502-9 .

Linki zewnętrzne

• My Flexagon Experiences autorstwa Harolda V. McIntosha - zawiera informacje historyczne i teorię
• Portal Flexagon - Witryna Robina Moseleya zawiera wzorce dla wielu różnych fleksagonów.
• Flexagony
• Flexagons - witryna Scotta Shermana z różnorodnymi fleksagonami o różnych kształtach.

• Strona MathWorld na temat tetrafleksagonów , w tym trzy sieci

• Flexagons - artykuł z 1962 r. Autorstwa Antony'ego S. Conrada i Daniela K. Hartline'a (RIAS)
• Wpis MathWorld na Hexaflexagons
• Yutaka Nishiyama (2010). „Ogólne rozwiązanie wielokrotnego składania sześciokątów” IJPAM, tom. 58, nr 1, 113-124. „19 twarzy Flexagonów”
• Film Vi Hart o Hexaflexagons część 1 część 2