Latarnia Schwarza

Latarnia Schwarz na wystawie w Niemieckim Muzeum Techniki w Berlinie

W matematyce latarnia Schwarza jest wielościennym przybliżeniem walca , używanym jako patologiczny przykład trudności w określeniu obszaru gładkiej (zakrzywionej) powierzchni jako granicy obszarów wielościanów. Tworzą go ułożone w stos pierścienie trójkątów równoramiennych , ułożonych w każdym pierścieniu w ten sam wzór co antygraniastosłup . Powstały kształt można złożyć z papieru i nosi imię matematyka Hermanna Schwarza i ze względu na podobieństwo do cylindrycznej papierowej latarni . Jest również znany jako but Schwarza , wielościan Schwarza lub chińska latarnia .

Jak pokazał Schwarz, aby pole powierzchni wielościanu zbiegło się z polem powierzchni zakrzywionej, nie wystarczy po prostu zwiększyć liczbę pierścieni i liczbę trójkątów równoramiennych na pierścień. W zależności od stosunku liczby pierścieni do liczby trójkątów przypadających na pierścień, powierzchnia latarni może zbiegać się do powierzchni cylindra, do granicy dowolnie większej niż powierzchnia cylindra lub do nieskończoności - innymi słowy , obszar może się różnić. Latarnia Schwarz pokazuje, że pobieranie próbek zakrzywionej powierzchni przez blisko siebie punkty i łączenie ich małymi trójkątami jest niewystarczające, aby zapewnić dokładne przybliżenie powierzchni, w przeciwieństwie do dokładnego przybliżenia długość łuku przez wpisane łańcuchy wielokątne .

Zjawisko polegające na tym, że ściśle próbkowane punkty mogą prowadzić do niedokładnych przybliżeń powierzchni, nazwano paradoksem Schwarza . Latarnia Schwarz jest pouczającym przykładem rachunku różniczkowego i podkreśla potrzebę ostrożności przy wyborze triangulacji do zastosowań w grafice komputerowej i metodzie elementów skończonych .

Historia i motywacja

Paradoks klatki schodowej : wielokątne łańcuchy o długości zbiegają $się w$$odległości$ do ukośnego segmentu o długości się do tej samej długości.

Archimedes przybliżał obwód koła długościami wielokątów foremnych wpisanych lub opisanych. Mówiąc bardziej ogólnie, długość dowolnej gładkiej lub wyprostowanej krzywej można zdefiniować jako sumę długości wpisanych w nią łańcuchów wielokątnych . Jednak aby to działało poprawnie, wierzchołki łańcuchów wielokątów muszą leżeć na danej krzywej, a nie tylko w jej pobliżu. W przeciwnym razie w kontrprzykładzie zwanym czasem paradoksem schodów , wielokątne łańcuchy pionowych i poziomych odcinków linii o całkowitej długości mogą leżeć dowolnie blisko ukośnego odcinka linii o długości ${\ Displaystyle$ { \ sqrt {2}}} ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ nie zbiegające się do tej samej długości. Latarnia Schwarza stanowi kontrprzykład dla pola powierzchni , a nie długości, i pokazuje, że w przypadku pola wymaganie, aby wierzchołki leżały na przybliżonej powierzchni, nie wystarczy, aby zapewnić dokładne przybliżenie.

Hermanna Schwarza

Niemiecki matematyk Hermann Schwarz (1843–1921) wymyślił swoją konstrukcję pod koniec XIX wieku jako kontrprzykład dla błędnej definicji zawartej w książce JA Serret z 1868 r. Cours de calcul differentiel et integral , która błędnie stwierdza, że:

Więc une część powierzchni courbe terminée par un ${\ Displaystyle C}$ do ; nous nommerons aire de cette powierzchnia la limite vers laquelle tendencja do l'aire d'une surface polyédrale inscrite formée de Faces triangulaires et terminee par un kontur wielokątny $Displaystyle \ Gamma}$${$ ayant limite le kontur ${ \displaystyle C}$ .

$faut$ démontrer que la limite istnieje i qu'elle jest niezależny od la loi suivant laquelle décroissent les faces de la surface polyedrale inscrite

Niech część zakrzywionej powierzchni będzie ograniczona konturem do $\ displaystyle C}$ ; zdefiniujemy pole tej powierzchni jako granicę, do której zmierza obszar wpisanej powierzchni wielościennej utworzonej z trójkątnych ścian i ograniczonej wielokątnym konturem, którego granicą jest kontur $Γ$ \ displaystyle ${\ Displaystyle C}$ . $Gamma}$

Należy wykazać, że granica $i$ jest niezależna od prawa, zgodnie z którym kurczą się ściany wpisanego wielościanu.

Niezależnie od Schwarza, Giuseppe Peano znalazł ten sam kontrprzykład. W tym czasie Peano był uczniem Angelo Genocchi , który dzięki komunikacji ze Schwarzem wiedział już o trudnościach w określeniu pola powierzchni. Genocchi poinformował Charlesa Hermite'a , który w swoim kursie używał błędnej definicji Serreta. Hermite poprosił Schwarza o szczegóły, poprawił jego kurs i opublikował przykład w drugim wydaniu swoich notatek z wykładów (1883). Oryginalna notatka od Schwarza do Hermite'a została opublikowana dopiero w drugim wydaniu dzieł zebranych Schwarza w 1890 roku.

Pouczający przykład wartości dokładnych definicji w rachunku różniczkowym , latarnia Schwarz podkreśla również potrzebę ostrożności przy wyborze triangulacji do zastosowań w grafice komputerowej oraz metody elementów skończonych do symulacji naukowych i inżynierskich. W grafice komputerowej sceny są często opisywane przez trójkątne powierzchnie, a dokładne odwzorowanie oświetlenia tych powierzchni zależy od kierunku normalnych powierzchni . Zły wybór triangulacji, jak w latarni Schwarza, może spowodować powstanie powierzchni przypominającej akordeon, której normalne są dalekie od normalnych aproksymowanej powierzchni, a blisko rozmieszczone ostre fałdy tej powierzchni mogą również powodować problemy z aliasingiem .

Niepowodzenie latarni Schwarz w zbieganiu się do obszaru cylindra ma miejsce tylko wtedy, gdy zawierają one bardzo rozwarte trójkąty o kątach bliskich 180 °. W ograniczonych klasach latarni Schwarza wykorzystujących kąty ograniczone od 180 ° obszar zbiega się do tego samego obszaru co cylinder, gdy liczba trójkątów rośnie do nieskończoności. Metoda elementów skończonych w swojej najbardziej podstawowej formie przybliża funkcję gładką (często rozwiązanie problemu symulacji fizycznej w nauce lub inżynierii) za pomocą funkcji odcinkowo-liniowej na triangulacji. Przykład latarni Schwarza pokazuje, że nawet w przypadku prostych funkcji, takich jak wysokość cylindra nad płaszczyzną przechodzącą przez jego oś, i nawet jeśli wartości funkcji są dokładnie obliczane w wierzchołkach triangulacji, triangulacja z kątami bliskimi 180 ° może dawać wysoce niedokładne wyniki symulacji. To motywuje generowania siatki , dla których wszystkie kąty są ograniczone od 180°, takie jak siatki nierozwarte .

Budowa

Antypryzmat oparty na zwykłym 17-gonie. Pominięcie dwóch 17-kątnych ścian daje latarnię Schwarz z parametrami i ${\ displaystyle m = 1}$ i ${\ displaystyle n = 17}$ . Inne latarnie Schwarz z $,$ uzyskać $antygraniastosłupa$ tego

Dyskretne przybliżenie wielościenne rozważane przez Schwarza można opisać dwoma parametrami: $trójkątów$ w latarni Schwarza; i $pierścień$ liczby trójkątów na . W $n}$ . przypadku pojedynczego pierścienia ( $,$ wynikowa powierzchnia składa się z trójkątnych ścian antygraniastosłupa n { Dla większych wartości ${\ displaystyle m}$ , latarnia Schwarz jest utworzona przez ułożenie $. Aby skonstruować latarnię Schwarza, która$ antygraniastosłupów $jest$ zbliżona do danego prawego okrągłego cylindra , cylinder jest dzielony równoległymi płaszczyznami na cylindryczne pierścienie. Te pierścienie mają $okrągłe granice -$$więcej$ na końcach danego cylindra i tam W każdym kręgu ${\ displaystyle n}$ wierzchołki latarni Schwarz są rozmieszczone w równych odstępach, tworząc regularny wielokąt . Te wielokąty są obracane o kąt $}$ okręgu do drugiego, tak że każda krawędź wielokąta foremnego i najbliższy wierzchołek następnego okręgu tworzą podstawę i wierzchołek równoramiennego π / n {\ displaystyle \ pi trójkąt. Te trójkąty stykają się krawędziami, tworząc latarnię Schwarz, wielościenną powierzchnię , która jest topologicznie równoważna z walcem.

Wzór zagnieceń origami dla latarni Schwarz z ${\ displaystyle m = 16}$ i ${\ displaystyle n = 4}$

Fragment buta z obrazu Święty Florian (1473) autorstwa Francesco del Cossa , przedstawiający wyboczenie Yoshimury

Ignorując wierzchołki górny i dolny, każdy wierzchołek dotyka dwóch kątów wierzchołkowych i czterech kątów bazowych przystających trójkątów równoramiennych, tak jak w teselacji płaszczyzny za pomocą trójkątów o tym samym kształcie. W konsekwencji latarnię Schwarz można złożyć z płaskiej kartki papieru, z tą teselacją jako wzorem zagięć . Ten wzór zagnieceń został nazwany wzorem Yoshimura , po pracy Y. Yoshimury nad wzorem wyboczenia Yoshimury cylindrycznych powierzchni poddawanych ściskaniu osiowemu, który może mieć kształt podobny do latarni Schwarz.

Obszar

$dla$ i , można $dowolnego cylindra i$ konkretnego doboru parametrów za pomocą prostego zastosowania trygonometrii . Walec o promieniu $i$ długości 2 $2 \ pi r \ ell$ ma powierzchnię $Displaystyle$ Dla latarni Schwarz o parametrach ${\ displaystyle m}$ i , $równoramienne$ krótszym $każde$ cylindrem $,$ przybliżonej przez _ Długość podstawy każdego trójkąta można znaleźć ze wzoru na długość krawędzi regularnego -gonu, a mianowicie ${\ displaystyle n}$

$${\ Displaystyle 2r \ sin {\ Frac {\ pi} {n}}.}$$

Wysokość każdego } $trójkąta$ można znaleźć, stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego utworzonego wierzchołek trójkąta, środek podstawy i środek łuku koła ograniczonego punktami końcowymi h {\ displaystyle h bazy. Dwa boki tego trójkąta prostokątnego to długość ${\ Displaystyle \ ell / m}$ cylindrycznego pasma i strzałka łuku, co daje wzór

$${\ Displaystyle h ^ {2} = \ lewo ({\ Frac {\ ell}} {m}} \ prawo) ^ {2} + \ lewo (r \ lewo (1- \ cos {\ Frac {\ pi}} n}}\prawo)\prawo)^{2}.}$$

Łącząc wzór na pole każdego trójkąta od jego podstawy i wysokości oraz całkowitą liczbę trójkątów, daje latarni Schwarz całkowitą powierzchnię ${\ displaystyle 2mn}$

$${\ Displaystyle A (m, n) = 2mn \ lewo (r \ sin {\ Frac {\ pi}} {n}} \ prawo) {\ sqrt {\ lewo ({\ Frac {\ ell}} {m}} \ prawo)^{2}+r^{2}\lewo(1-\cos {\frac {\pi }{n}}\prawo)^{2}}}.}$$

Granice

Animacja zbieżności latarni Schwarza (lub jej braku) dla różnych relacji między jej dwoma parametrami

Latarnie Schwarza, dla dużych wartości obu parametrów, zbiegają się równomiernie do cylindra, do którego się zbliżają. Jednakże, ponieważ istnieją dwa wolne parametry $displaystyle$ n {\ $n}$ , ograniczający obszar latarni Schwarz, ponieważ zarówno, jak stają się dowolnie duże, ${\ displaystyle m}$ i ${\ displaystyle n}$ być oceniane w różnych rzędach, z różnymi wynikami. Jeśli zostanie naprawiony, podczas gdy $}$$n$ rośnie, a wynikowy limit jest następnie oceniany pod kątem dowolnie dużych wyborów ${\ displaystyle m}$ , otrzymuje się

$${\ Displaystyle \ lim _ {m \ do \ infty} \ lim _ {n \ do \ infty} A (m, n) = 2\pi r\ell ,}$$

właściwy obszar cylindra. W tym przypadku granica wewnętrzna jest już zbieżna do tej samej wartości, a granica zewnętrzna jest zbędna. Z geometrycznego punktu widzenia zastąpienie każdego cylindrycznego pasma pasmem bardzo ostrych trójkątów równoramiennych dokładnie przybliża jego pole.

Z drugiej strony odwrócenie kolejności granic daje

$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} \ lim _ {m \ do \ infty} A (m, n) = \ infty.}$$

każdego $pasmo$ ustalonego wyboru $każde$ , gdy rośnie , a $długość$ cylindrycznego pasma staje się dowolnie trójkąty równoramienne stają się prawie płaskie. Każdy trójkąt zbliża się do trójkąta utworzonego przez dwie kolejne krawędzie regularnego $2n}$ , a pole całego pasma trójkątów zbliża się do ${\ displaystyle 2n}$ razy pole jednego z tych płaskich trójkątów, liczba skończona. Jednak liczba $;$ tych pasm rośnie dowolnie ponieważ powierzchnia latarni rośnie w przybliżeniu proporcjonalnie $.$ , staje się również dowolnie duża

Możliwe jest również ustalenie funkcjonalnej zależności między i $zbadanie$ , gdy oba parametry rosną jednocześnie, zachowując tę $​​​​zależność$ Różne wybory tej relacji mogą prowadzić do jednego z dwóch opisanych powyżej zachowań, zbieżności do właściwego obszaru lub rozbieżności do nieskończoności. Na przykład ustawienie (dla dowolnej stałej ) $\ displaystyle$ } $= cn$$prowadzi$ granicy dla dużych $prowadzi$ we właściwym obszarze, podczas gdy ustawienie rozbieżności Trzeci typ ograniczającego zachowania uzyskuje się przez ustawienie ${\ displaystyle m=cn ^ {2}}$ . Do tego wyboru

$${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} A (cn ^ {2}, n) = 2 \ pi r {\ sqrt {\ ell ^ {2} + {\ Frac {r ^ {2} \ pi ^{4}c^{2}}{4}}}}.}$$

W tym przypadku tak sparametryzowana powierzchnia latarni Schwarza jest zbieżna, ale do wartości większej niż powierzchnia walca. Dowolny większy obszar można uzyskać, dokonując $wyboru$ stałej .

Zobacz też

• Kaleidocycle , łańcuch czworościanów połączonych od krawędzi do krawędzi jak zdegenerowana latarnia Schwarza z ${\ displaystyle n = 2}$
• Zjawisko Runge'a , kolejny przykład niepowodzenia konwergencji

Linki zewnętrzne

• Bogomolny, Aleksander. „Wyjaśnienie latarni Schwarz” . Przeciąć węzeł .
• Marks, Jean-Pierre (17 września 2016). „Latarnia Schwarza” . Matematyczne kontrprzykłady .