Model Arrudy-Boyce'a

W mechanice kontinuum model Arrudy-Boyce'a jest hiperelastycznym modelem konstytutywnym używanym do opisu mechanicznego zachowania gumy i innych substancji polimerowych . Model ten opiera się na mechanice statystycznej materiału z sześciennym reprezentatywnym elementem objętości zawierającym osiem łańcuchów wzdłuż ukośnych kierunków. Zakłada się, że materiał jest nieściśliwy . Model nosi imię Ellen Arruda i Mary Cunningham Boyce , które opublikowały go w 1993 roku.

Funkcja gęstości energii odkształcenia dla nieściśliwego modelu Arrudy-Boyce'a jest dana wzorem

${\ Displaystyle W = Nk_ {B} \ theta {\ sqrt {n}} \ lewo [\ beta \ lambda _ { \text{łańcuch}}-{\sqrt {n}}\ln \left({\cfrac {\sinh \beta}{\beta}}\right)\right],}$

gdzie ${\ displaystyle n}$ to liczba segmentów łańcucha, to $Boltzmanna$ , to temperatura w kelwinach to ${ \ displaystyle$$}$ liczba łańcuchów w sieci usieciowanego polimeru,

${\ Displaystyle \ lambda _ {\ operatorname {łańcuch}} = {\ sqrt {\ tfrac {I_ {1}} {3 }}},\quad \beta ={\mathcal {L}}^{-1}\left({\cfrac {\lambda _{\text{łańcuch}}}{\sqrt {n}}}\right) ,}$

gdzie ${$$\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {- 1} (x)}$ lewego tensora deformacji Cauchy'ego-Greena i jest odwrotną funkcją Langevina , którą można przybliżyć przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {- 1} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 1,31 \ tan (1,59x) + 0,91x & {\ tekst {dla}} \ |x|< 0,841,\\{\tfrac {1}{\operatorname {sgn}(x)-x}}&{\text{for}}\ 0,841\równoważnik |x|<1.\end{przypadki}}}$

neo-Hooke'owskiego modelu bryłowego opartego na sieci Gaussa . Można wykazać, że model Gent jest prostym i dokładnym przybliżeniem modelu Arruda-Boyce'a.

Alternatywne wyrażenia dla modelu Arrudy – Boyce'a

Alternatywną formą modelu Arrudy – Boyce'a, wykorzystującą pierwsze pięć wyrazów odwrotnej funkcji Langevina, jest

${\ Displaystyle W = C_ {1} \ lewo [{\ tfrac {1} {2}} (I_ {1} -3) + {\ tfrac {1} {20N }}(I_{1}^{2}-9)+{\tfrac {11}{1050N^{2}}}(I_{1}^{3}-27)+{\tfrac {19}{7000N ^{3}}}(I_{1}^{4}-81)+{\tfrac {519}{673750N^{4}}}(I_{1}^{5}-243)\right]}$

gdzie $stałą$ . Ilość można również interpretować jako miarę ograniczającego rozciągnięcia $sieci$

Jeśli jest $_ {m}}$ , na którym sieć łańcuchów polimeru zostaje zablokowana, możemy wyrazić gęstość energii odkształcenia Arrudy – Boyce'a jako λ m {\ displaystyle \

${\ Displaystyle W = C_ {1} \ lewo [{\ tfrac {1} {2}} (I_ {1} -3) + {\ tfrac {1}{20\lambda _{m}^{2}}}(I_{1}^{2}-9)+{\tfrac {11}{1050\lambda _{m}^{4}}} (I_{1}^{3}-27)+{\tfrac {19}{7000\lambda _{m}^{6}}}(I_{1}^{4}-81)+{\tfrac { 519}{673750\lambda _{m}^{8}}}(I_{1}^{5}-243)\right]}$

Alternatywnie możemy wyrazić model Arrudy-Boyce'a w postaci

${\ Displaystyle W = C_ {1} ~ \ suma _ {i = 1} ^ {5} \ alfa _ {i }~\beta ^{i-1}~(I_{1}^{i}-3^{i})}$

gdzie ${\ Displaystyle \ beta: = {\ tfrac {1} {N}} = {\ tfrac {1} {\ lambda _ {m} ^ {2}}}}$ i ${\ Displaystyle \ alfa _ {1}: = {\ tfrac {1} {2}} ~;~~ \ alfa _ {2}: = {\ tfrac {1} {20}} ~;~~ \ alfa _ {3}:={\tfrac {11}{1050}}~;~~\alpha _{4}:={\tfrac {19}{7000}}~;~~\alpha _{5}:={ \tfrac {519}{673750}}.}$

Jeśli guma jest $można$ , zależność odkształcenia jest gradientem deformacji ${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$ . Istnieje kilka możliwości, wśród których uznano, że rozszerzenie Kaliske – Rothert jest dość dokładne. Przy takim rozszerzeniu funkcję gęstości energii odkształcenia Arrudy-Boyce'a można wyrazić jako

$\ Displaystyle W = D_ {1} \ lewo ( {\tfrac {J^{2}-1}{2}}-\ln J\right)+C_{1}~\sum _{i=1}^{5}\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~({\overline {I}}_{1}^{i}-3^{i})}$

gdzie $}$$\ overline {i}} _ {1} = {ja} _ {1} J ^{-2/3}}$ jest stałą materiałową i . Aby $zachować$$spójność$ liniową , musimy gdzie masowym _

Warunek spójności

Aby nieściśliwy model Arrudy – Boyce'a był zgodny z liniową sprężystością, z modułem ścinania materiału, musi być spełniony następujący warunek : ${\ displaystyle \ mu}$

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ częściowe W} {\ częściowe I_ {1}}} {\ biggr |} _ {I_ {1} = 3} = {\ Frac {\ mu} {2}} \,.}$

Z funkcji gęstości energii odkształcenia Arrudy – Boyce'a mamy:

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ częściowe W} {\ częściowe I_ {1}}} = C_ {1} ~ \ suma _ {i = 1} ^ {5} i ~ \ alfa _ {i} ~ \ beta ^ {i-1}~I_{1}^{i-1}\,.}$

Dlatego w ${\ Displaystyle I_ {1} = 3}$ ,

${\ Displaystyle \ mu = 2C_ {1} ~ \ suma _ {i = 1} ^ {5} ja \ \ alfa _ {i} ~ \ beta ^ {i-1} ~ I_ {1} ^ {i- 1}\,.}$

Podstawienie wartości prowadzi do warunku spójności ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$

${\ Displaystyle \ mu = C_ {1} \ lewo (1 + {\ tfrac {3} {5 \ lambda _ {m} ^ {2}}} + {\ tfrac {99} {175 \ lambda _ {m} ^{4}}}+{\tfrac {513}{875\lambda _{m}^{6}}}+{\tfrac {42039}{67375\lambda _{m}^{8}}}\right )\,.}$

Relacje naprężenie-odkształcenie

Naprężenie Cauchy'ego dla nieściśliwego modelu Arrudy-Boyce'a jest określone wzorem

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma }}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\cfrac {\częściowe W}{\częściowe I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}=-p~{ \boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}~\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_ {1}^{i-1}\right]{\boldsymbol {B}}}$

Przedłużenie jednoosiowe

Krzywe naprężenie-odkształcenie przy rozciągnięciu jednoosiowym dla modelu Arrudy-Boyce'a w porównaniu z różnymi hipersprężystymi modelami materiałowymi.

Dla rozciągnięcia jednoosiowego w $\$ -główne rozciągnięcia to λ $Displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda$ . Z nieściśliwości ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} ~ \ lambda _ {2} ~ \ lambda _ {3} = 1}$ . Stąd ${\ Displaystyle \ lambda _ {2} ^ {2} = \ lambda _ {3} ^ {2} = 1 / \ lambda}$ . Dlatego,

${\ Displaystyle I_ {1} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = \ lambda ^ {2} + {\ cfrac {2}{\lambda}}~.}$

Lewy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena można następnie wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {B}} = \ lambda ^ {2} ~ \ mathbf {n} _ {1} \ czasami \ mathbf {n} _ {1} + {\ cfrac {1} {\ lambda}} ~(\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3})~.}$

Jeśli kierunki głównych odcinków są zorientowane z wektorami bazowymi współrzędnych, mamy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {11} & = - p + 2C_ {1} \ lambda ^ {2} \ lewo [\ suma _ {i = 1} ^ {5} i ~ \ alfa _ {i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]\\\sigma _{22}&=-p+{\cfrac {2C_{1}}{\lambda }}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha_{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\ sigma _{33}~.\end{wyrównane}}}$

Jeśli mamy ${\ Displaystyle \ sigma _ {22} = \ sigma _ {33} = 0}$

${\ Displaystyle p = {\ cfrac {2C_ {1}} {\ lambda}} \ lewo [\ suma _ {i = 1} ^ {5} i ~ \ alfa _ {i} ~ \ beta ^ {i-1 }~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

Dlatego,

${\ Displaystyle \ sigma _ {11} = 2C_ {1} \ lewo (\ lambda ^ {2} - {\ cfrac {1} {\ lambda}} \ prawo) \ lewo [\ suma _ {i = 1} ^ {5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

Szczep inżynierski to ${\ Displaystyle \ lambda -1 \,}$ . Stres inżynierski jest

${\ Displaystyle T_ {11} = \ sigma _ {11}/\ lambda = 2C_ {1} \ lewo (\ lambda - {\ cfrac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ prawo) \ lewo [\ suma _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

Wydłużenie równoosiowe

$_ {2}}$ rozciągnięcia równoosiowego w kierunkach i $mathbf {n}$${ \displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda \,}$ główne rozciągnięcia to . Z nieściśliwości ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} ~ \ lambda _ {2} ~ \ lambda _ {3} = 1}$ . Stąd ${\ Displaystyle \ lambda _ {3} = 1/\ lambda ^ {2} \,}$ . Dlatego,

${\ Displaystyle I_ {1} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = 2 ~ \ lambda ^ {2} + {\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~.}$

Lewy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena można następnie wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {B}} = \ lambda ^ {2} ~ \ mathbf {n} _ {1} \ czasami \ mathbf {n} _ {1} + \ lambda ^ {2} ~ \ mathbf {n } _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{\lambda ^{4}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _ {3}~.}$

Jeśli kierunki głównych odcinków są zorientowane z wektorami bazowymi współrzędnych, mamy

${\ Displaystyle \ sigma _ {11} = 2C_ {1} \ lewo (\ lambda ^ {2} - {\ cfrac {1} {\ lambda ^ {4}}} \ prawej) \ lewo [\ suma _ {i =1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]=\sigma _{22}~.}$

Szczep inżynierski to ${\ Displaystyle \ lambda -1 \,}$ . Stres inżynierski jest

${\ Displaystyle T_ {11} = {\ cfrac {\ sigma _ {11}} {\ lambda}} = 2C_ {1} \ lewo (\ lambda - {\ cfrac {1} {\ lambda ^ {5}}} \right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]= T_{22}~.}$

Rozszerzenie planarne

Płaskie testy rozciągania są przeprowadzane na cienkich próbkach, które są ograniczone przed deformacją w jednym kierunku. $Dla$ płaskiego rozszerzenia $w$ z ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = \ lambda, ~ \ lambda _ {3} = 1}$ , główne to . Z nieściśliwości ${\ Displaystyle \ lambda _ {1} ~ \ lambda _ {2} ~ \ lambda _ {3} = 1}$ . Stąd ${\ Displaystyle \ lambda _ {2} = 1/\ lambda \,}$ . Dlatego,

${\ Displaystyle I_ {1} = \ lambda _ {1} ^ {2} + \ lambda _ {2} ^ {2} + \ lambda _ {3} ^ {2} = \ lambda ^ {2} + {\ cfrac {1}{\lambda ^{2}}}+1~.}$

Lewy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena można następnie wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {B}} = \ lambda ^ {2} ~ \ mathbf {n} _ {1} \ czasami \ mathbf {n} _ {1} + {\ cfrac {1} {\ lambda ^ { 2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}~.}$

Jeśli kierunki głównych odcinków są zorientowane z wektorami bazowymi współrzędnych, mamy

${\ Displaystyle \ sigma _ {11} = 2C_ {1} \ lewo (\ lambda ^ {2} - {\ cfrac {1} {\ lambda ^ {2}}} \ prawej) \ lewo [\ suma _ {i =1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~;~~\sigma _{22}=0 ~;~~\sigma _{33}=2C_{1}\left(1-{\cfrac {1}{\lambda ^{2}}}\right)\left[\suma _{i=1}^ {5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~.}$

Szczep inżynierski to ${\ Displaystyle \ lambda -1 \,}$ . Stres inżynierski jest

${\ Displaystyle T_ {11} = {\ cfrac {\ sigma _ {11}} {\ lambda}} = 2C_ {1} \ lewo (\ lambda - {\ cfrac {1} {\ lambda ^ {3}}} \right)\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~I_{1}^{i-1}\right]~ .}$

Proste ścinanie

Gradient odkształcenia dla prostego odkształcenia ścinającego ma postać

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {F}} = {\ boldsymbol {1}} + \ gamma ~ \ mathbf {e} _ {1} \ czasami \ mathbf {e} _ { 2}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1}, \ mathbf {e} _ {2}}$ są odniesieniami ortonormalnymi wektorami bazowymi w płaszczyźnie deformacji, a deformacja ścinania jest określona wzorem

${\ Displaystyle \ gamma = \ lambda - {\ cfrac {1} {\ lambda}} ~; ~ ~ \ lambda _ {1} = \ lambda ~; ~ ~ \ lambda _ {2} = {\ cfrac {1}{\lambda}}~;~~\lambda _{3}=1}$

W postaci macierzy gradient deformacji i lewy tensor deformacji Cauchy'ego-Greena można następnie wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ pogrubiony symbol {F}} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 i \ gamma i 0 \\ 0 i 1 i 0 \\ 0 i 0 i 1 \ koniec {bmatrix}} ~;~~{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\begin{bmatrix}1+\gamma ^{2}&\gamma &0\\\gamma &1&0\\0&0&1\end{bmacierz}}}$

Dlatego,

${\ Displaystyle I_ {1} = \ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {B}}) = 3 + \ gamma ^ {2}}$

a naprężenie Cauchy'ego jest podane przez

${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = - p ~ {\ boldsymbol {\mathit {1}}}+2C_{1}\left[\sum _{i=1}^{5}i~\alpha _{i}~\beta ^{i-1}~(3+ \gamma ^{2})^{i-1}\right]~{\boldsymbol {B}}}$

Mechanika statystyczna deformacji polimerów

Główny artykuł: Elastyczność gumy

Model Arrudy-Boyce'a opiera się na statystycznej mechanice łańcuchów polimerowych. W tym $podejściu$ każda makrocząsteczka jest opisana jako łańcuch $ma$ , z których każdy . Jeśli założymy, że początkową konfigurację łańcucha można opisać błądzeniem losowym , to początkowa długość łańcucha wynosi

${\ displaystyle r_ {0} = l {\ sqrt {N}}}$

Jeśli założymy, że jeden koniec łańcucha znajduje się na początku, to prawdopodobieństwo, że blok o rozmiarze wokół pochodzenia ${\ Displaystyle dx_ {1} dx_ {2} dx_ {3}}$$zakładając$ drugi łańcucha _ _

${\ Displaystyle p (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ cfrac {b ^ {3}} {\ pi ^ {3/2}}} ~\exp[-b^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})]~;~~b:={\sqrt { \cfrac {3}{2Nl^{2}}}}}$

Entropia konfiguracyjna pojedynczego łańcucha z mechaniki statystycznej Boltzmanna wynosi

${\ Displaystyle s = c-k_ {B} b ^ {2} r ^ {2}}$

gdzie $jest$ . Całkowita entropia w sieci łańcuchów wynosi zatem ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ Delta S = - {\ tfrac {1 }{2}}nk_{B}(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}-3)=-{\tfrac {1}{2}}nk_{B}(I_{1}-3)}$

gdzie przyjęto deformację afiniczną . Zatem energia odkształcenia zdeformowanej sieci wynosi

${\ Displaystyle W = - \ teta \ dS = {\ tfrac {1} {2}} nk_ {B} \ teta (I_ { 1}-3)}$

gdzie $jest$ .

Zobacz też

• Materiał hiperelastyczny
• Elastyczność gumy
• Teoria odkształceń skończonych
• Mechanika kontinuum
• Funkcja gęstości energii odkształcenia
• Bryła neohookowska
• Ciało stałe Mooney-Rivlin
• Yeoh (model hiperelastyczny)
• Gent (model hiperelastyczny)