Pryzmatyczny jednolity wielościan

Antygraniastosłup pentagramowy składa się z dwóch pentagramów foremnych i 10 trójkątów równobocznych .

W geometrii pryzmatyczny jednolity wielościan jest jednolitym wielościanem o symetrii dwuściennej . Występują w dwóch nieskończonych rodzinach, jednolitych graniastosłupach i jednolitych antygraniastosłupach . Wszystkie mają swoje wierzchołki w równoległych płaszczyznach i dlatego są pryzmatoidami .

Konfiguracja wierzchołków i grupy symetrii

Ponieważ są izogonalne (przechodnie wierzchołków), ich układ wierzchołków jednoznacznie odpowiada grupie symetrii .

Różnica między grupami symetrii pryzmatycznej i antypryzmatycznej polega na tym, że D _{ph (} ma wierzchołki ustawione w jednej linii w obu płaszczyznach, co daje jej płaszczyznę odbicia prostopadłą do jej osi p-krotnej równoległej do wielokąta {p/q}); podczas gdy D _{p d} ma wierzchołki skręcone względem drugiej płaszczyzny, co daje jej obrotowe odbicie. Każdy ma p płaszczyzn odbicia, które zawierają oś p -krotnie.

Grupa symetrii D _{ph p} zawiera inwersję wtedy i tylko wtedy , gdy p jest parzyste, podczas gdy D _{p d} zawiera symetrię inwersji wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieparzyste.

Wyliczenie

Tam są:

graniastosłupy , dla każdej liczby wymiernej p/q > 2, o grupie _{ph symetrii} D ;
antygraniastosłupów , dla każdej liczby wymiernej D _{ph p} /q > 3/2, z grupą symetrii D _{p d} jeśli q jest nieparzyste, jeśli q jest parzyste.

Jeśli p/q jest liczbą całkowitą, tj. jeśli q = 1, pryzmat lub antygraniastosłup jest wypukły. (Przyjmuje się, że ułamek jest zawsze podawany w najniższych wartościach).

Antygraniastosłup o p/q <2 jest skrzyżowany lub wsteczny ; jego wierzchołek przypomina muszkę. Jeśli p/q < 3/2 nie może istnieć żaden jednolity antygraniastosłup, ponieważ figura jego wierzchołka musiałaby naruszać nierówność trójkąta . Jeśli p/q = 3/2 jednorodny antygraniastosłup jest zdegenerowany (ma zerową wysokość).

Formy według symetrii

Uwaga: Czworościan , sześcian i ośmiościan są tutaj wymienione z symetrią dwuścienną (odpowiednio jako dwukątny antygraniastosłup , kwadratowy pryzmat i trójkątny antygraniastosłup ), chociaż jeśli są jednolicie kolorowe, czworościan ma również symetrię czworościenną, a sześcian i ośmiościan również mają symetrię ośmiościenną.

Grupa symetrii	Wypukły	Formy gwiazd
re _2d [2 ⁺ ,2] (2*2)	3.3.3
D _3h [2,3] (*223)	3.4.4
re _3d [2 ⁺ ,3] (2*3)	3.3.3.3
D _4h [2,4] (*224)	4.4.4
re _4d [2 ⁺ ,4] (2*4)	3.3.3.4
D _5h [2,5] (*225)	4.4.5	4.4. 5 / 2	3.3.3. 5 / 2
re _5d [2 ⁺ ,5] (2*5)	3.3.3.5	3.3.3. 5 / 3
D _6h [2,6] (*226)	4.4.6
D _6d [2 ⁺ ,6] (2*6)	3.3.3.6
D _7h [2,7] (*227)	4.4.7	4.4. 7 / 2	4.4. 7 / 3	3.3.3. 7 / 2	3.3.3. 7 / 4
D _7d [2 ⁺ ,7] (2*7)	3.3.3.7	3.3.3. 7 / 3
D _8h [2,8] (*228)	4.4.8	4.4. 8 / 3
re _8d [2 ⁺ ,8] (2*8)	3.3.3.8	3.3.3. 8 / 3	3.3.3. 8 / 5
D _9h [2,9] (*229)	4.4.9	4.4. 9 / 2	4.4. 9 / 4	3.3.3. 9⁄2	3.3.3. 9⁄4
re _9d [2 ⁺ ,9] (2*9)	3.3.3.9	3.3.3. 9/5
D _10h [2,10] (*2.2.10)	4.4.10	4.4. 10 / 3
re _10d [2 ⁺ ,10] (2*10)	3.3.3.10	3.3.3. 10 / 3
D _11h [2,11] (*2.2.11)	4.4.11	4.4. 11⁄2	4.4. 11⁄3	4.4. 11⁄4	4.4. 11⁄5	3.3.3. 11⁄2	3.3.3. 11⁄4	3.3.3. 11⁄6
D _11d [2 ⁺ ,11] (2*11)	3.3.3.11	3.3.3. 11⁄3	3.3.3. 11⁄5	3.3.3. 11⁄7
D _12h [2,12] (*2.2.12)	4.4.12	4.4. 12 / 5
D _12d [2 ⁺ ,12] (2*12)	3.3.3.12	3.3.3. 12 / 5	3.3.3. 12 / 7
...

Zobacz też

Coxetera, Harolda Scotta MacDonalda ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954). „Jednolite wielościany”. Transakcje filozoficzne Royal Society of London. Seria A. Nauki matematyczne i fizyczne . Towarzystwo Królewskie. 246 (916): 401–450. doi : 10.1098/rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . MR 0062446 . S2CID 202575183 .
Cromwell, P.; Wielościany , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . s. 175
Skilling, John (1976), „Uniform Compounds of Uniform Polyhedra”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 79 (3): 447–457, doi : 10.1017 / S0305004100052440 , MR 0397554 .

Linki zewnętrzne

Pryzmaty i antypryzmaty George W. Hart