Równanie czasu

Równanie czasu – powyżej osi zegar słoneczny pojawi się szybko w stosunku do zegara pokazującego lokalny czas średni, a poniżej osi zegar słoneczny pojawi się wolno .

Ten wykres pokazuje, o ile minut zegar jest do przodu (+) lub do tyłu (-) względem pozornego słońca. Zobacz sekcję „ Znak równania czasu ” poniżej.

Równanie czasu opisuje rozbieżność między dwoma rodzajami czasu słonecznego . Słowo równanie jest używane w średniowiecznym znaczeniu „pogodzenia różnicy”. Dwa różne czasy to pozorny czas słoneczny , który bezpośrednio śledzi dobowy ruch Słońca , oraz średni czas słoneczny , który śledzi teoretyczny średni ruch Słońca wzdłuż równika niebieskiego . Pozorny czas słoneczny można uzyskać, mierząc aktualną pozycję ( kąt godzinowy ) Słońca, wskazywaną (z ograniczoną dokładnością) przez zegar słoneczny . Średni czas słoneczny dla tego samego miejsca byłby czasem wskazywanym przez stały zegar ustawiony w taki sposób, że w ciągu roku jego różnice w stosunku do pozornego czasu słonecznego miałyby średnią zerową.

Równanie czasu to wschodnia lub zachodnia składowa analemmy , krzywej reprezentującej przesunięcie kątowe Słońca od jego średniego położenia na sferze niebieskiej widzianej z Ziemi. Równania wartości czasu dla każdego dnia roku, opracowywane przez obserwatoria astronomiczne , były szeroko wymieniane w almanachach i efemerydach .

Koncepcja

Zegar z tarczą pomocniczą wyświetlającą równanie czasu. Piazza Dante, Neapol (1853).

W ciągu roku równanie czasu zmienia się, jak pokazano na wykresie; jego zmiana z roku na rok jest niewielka. Czas pozorny i zegar słoneczny mogą być do przodu (szybko) nawet o 16 min 33 s (około 3 listopada) lub do tyłu (wolno) nawet o 14 min 6 s (około 11 lutego). Równanie czasu ma zera w pobliżu 15 kwietnia, 13 czerwca, 1 września i 25 grudnia. Pomijając bardzo powolne zmiany orbity i rotacji Ziemi, zdarzenia te powtarzają się w tym samym czasie każdego roku tropikalnego . Jednak ze względu na niecałkowitą liczbę dni w roku daty te mogą różnić się o mniej więcej jeden dzień z roku na rok.

Wykres równania czasu jest ściśle przybliżony przez sumę dwóch krzywych sinusoidalnych, jednej z okresem roku, a drugiej z okresem pół roku. Krzywe odzwierciedlają dwa efekty astronomiczne, z których każdy powoduje inną niejednorodność pozornego dziennego ruchu Słońca względem gwiazd:

• nachylenie ekliptyki (płaszczyzny rocznego ruchu orbitalnego Ziemi wokół Słońca), która jest nachylona o około 23,44 stopnia w stosunku do płaszczyzny równika Ziemi ; I
• ekscentryczność orbity Ziemi wokół Słońca, która wynosi około 0,0167 .

Równanie czasu jest stałe tylko dla planety o zerowym nachyleniu osi i zerowej ekscentryczności orbity . Dwa przykłady planet z dużymi równaniami czasu to Mars i Uran. Na Marsie różnica między czasem słonecznym a czasem zegarowym może wynosić nawet 50 minut, ze względu na znacznie większą ekscentryczność jego orbity. Planeta Uran , która ma niezwykle duże nachylenie osi, ma równanie czasu, które sprawia, że ​​jej dni zaczynają się i kończą kilka godzin wcześniej lub później, w zależności od tego, gdzie znajduje się na swojej orbicie.

Znak równania czasu

Obserwatorium Marynarki Wojennej Stanów Zjednoczonych stwierdza, że ​​​​„Równanie czasu to różnica pozornego czasu słonecznego minus średni czas słoneczny ”, tj. jeśli słońce wyprzedza zegar, znak jest dodatni, a jeśli zegar wyprzedza słońce, znak jest ujemny . Równanie czasu jest pokazane na górnym wykresie powyżej dla okresu nieco ponad roku. Dolny wykres (który obejmuje dokładnie jeden rok kalendarzowy) ma te same wartości bezwzględne, ale znak jest odwrócony, ponieważ pokazuje, jak daleko zegar wyprzedza słońce. Publikacje mogą używać obu formatów - w świecie anglojęzycznym to pierwsze użycie jest bardziej powszechne, ale nie zawsze jest przestrzegane. Każdy, kto korzysta z opublikowanej tabeli lub wykresu, powinien najpierw sprawdzić użycie znaku. Często jest tam notatka lub podpis, który to wyjaśnia. W przeciwnym razie użycie można określić, wiedząc, że w ciągu pierwszych trzech miesięcy każdego roku zegar wyprzedza zegar słoneczny. Przydatny może być mnemonik „NYSS” (wymawiane jako „miły”), oznaczający „nowy rok, powolny zegar słoneczny ” . Niektóre opublikowane tabele unikają dwuznaczności, nie używając znaków, ale pokazując zamiast tego wyrażenia takie jak „zegar słoneczny szybko” lub „wolny zegar słoneczny”.

W tym artykule i innych w angielskiej Wikipedii dodatnia wartość równania czasu oznacza, że ​​zegar słoneczny wyprzedza zegar.

Historia

Wyrażenie „równanie czasu” pochodzi od średniowiecznego łacińskiego aequātiō diērum , oznaczającego „równanie dni” lub „różnicę dni”. Słowo aequātiō (i równanie średnioangielskie ) było używane w astronomii średniowiecznej do zestawienia różnicy między wartością obserwowaną a wartością oczekiwaną (jak w równaniu środka, równaniu równonocy, równaniu epicyklu). Gerald J. Toomer używa średniowiecznego terminu „równanie” z łacińskiego aequātiō na określenie różnicy Ptolemeusza między średnim czasem słonecznym a pozornym czasem słonecznym. Definicja równania Johannesa Keplera to „różnica między liczbą stopni i minut średniej anomalii a stopniami i minutami skorygowanej anomalii” .

Różnica między pozornym czasem słonecznym a czasem średnim była rozpoznawana przez astronomów od starożytności, ale przed wynalezieniem dokładnych zegarów mechanicznych w połowie XVII wieku zegary słoneczne były jedynymi niezawodnymi zegarami, a pozorny czas słoneczny był ogólnie przyjętym standardem. Czas średni wyparł czas pozorny w krajowych almanachach i efemerydach dopiero na początku XIX wieku.

Wczesna astronomia

Nieregularny dzienny ruch Słońca był znany Babilończykom.

Księga III Almagestu Ptolemeusza ( II wiek) dotyczy głównie anomalii Słońca, a równanie czasu zestawił w swoich tabelach Handy Tables . Ptolemeusz omawia poprawkę potrzebną do przeliczenia południka przecięcia Słońca na średni czas słoneczny i bierze pod uwagę nierównomierny ruch Słońca wzdłuż ekliptyki oraz poprawkę południka dla długości ekliptyki Słońca. Twierdzi, że maksymalna poprawka wynosi 8 + 1 ⁄ 3 stopni czasowych lub 5 ⁄ 9 godziny (Księga III, rozdział 9). Jednak nie uważał tego efektu za istotny dla większości obliczeń, ponieważ był on nieistotny dla wolno poruszających się świateł i zastosował go tylko do najszybciej poruszającego się światła, Księżyca.

Opierając się na dyskusji Ptolemeusza w Almagest , wartości równania czasu (arab. taʿdīl al-ayyām bi layālayhā ) były standardem dla tabel ( zij ) w dziełach średniowiecznej astronomii islamskiej .

Wczesny okres nowożytny

Zobacz też: Zegar równań

Opis pozornego i średniego czasu został podany przez Nevila Maskelyne'a w Nautical Almanach z 1767 roku: „Czas pozorny to czas wydedukowany bezpośrednio ze Słońca, czy to z obserwacji jego przejścia przez południk, czy z obserwowanego wschodu lub zachodu . Tym razem różni się od pokazywanego przez zegary i zegarki dobrze uregulowane na lądzie, który nazywa się czasem zrównanym lub średnim”. Następnie powiedział, że na morzu pozorny czas znaleziony na podstawie obserwacji Słońca musi zostać skorygowany równaniem czasu, jeśli obserwator potrzebuje czasu średniego.

Pierwotnie uważano, że właściwy czas to ten, który wskazuje zegar słoneczny. Kiedy wprowadzono dobre zegary mechaniczne, zgadzały się one z zegarami słonecznymi tylko w pobliżu czterech dat rocznie, więc równanie czasu zostało użyte do „skorygowania” ich odczytów w celu uzyskania czasu słonecznego. Niektóre zegary, zwane zegarami równań , zawierały wewnętrzny mechanizm do wykonywania tej „korekty”. Później, gdy zegary stały się dominującymi dobrymi czasomierzami, nieskorygowany czas zegarowy, tj. „czas średni”, stał się przyjętym standardem. Odczyty zegarów słonecznych, kiedy były używane, były wówczas i często nadal są korygowane za pomocą równania czasu, używanego w odwrotnym kierunku niż poprzednio, aby uzyskać czas zegarowy. Dlatego wiele zegarów słonecznych ma wyryte tabele lub wykresy równania czasu, aby umożliwić użytkownikowi dokonanie tej korekty.

Równanie czasu było historycznie używane do ustawiania zegarów . Pomiędzy wynalezieniem dokładnych zegarów w 1656 r. a pojawieniem się komercyjnych usług dystrybucji czasu około 1900 r. Istniało kilka powszechnych lądowych sposobów ustawiania zegarów. Zegar słoneczny odczytywano i korygowano za pomocą tabeli lub wykresu równania czasu. odnotowywano tranzyt słońca przez południk ( moment, w którym słońce wydaje się być na południe lub na północ od obserwatora); zegar został następnie ustawiony na południe i przesunięty o liczbę minut określoną przez równanie czasu dla tej daty. Trzecia metoda nie wykorzystywała równania czasu; zamiast tego wykorzystał gwiazd , aby określić czas gwiazdowy , wykorzystując związek między czasem gwiazdowym a średnim czasem słonecznym .

Pierwsze tablice przedstawiające równanie czasu w zasadniczo poprawny sposób zostały opublikowane w 1665 r. przez Christiaana Huygensa . Huygens, zgodnie z tradycją Ptolemeusza i ogólnie astronomów średniowiecznych, ustalił swoje wartości dla równania czasu tak, aby wszystkie wartości były dodatnie przez cały rok.

Kolejny zestaw tabel został opublikowany w latach 1672–73 przez Johna Flamsteeda , który później został pierwszym astronomem królewskim nowego Królewskiego Obserwatorium w Greenwich . Wydaje się, że były to pierwsze w zasadzie poprawne tabele, które dały dzisiejsze znaczenie średniego czasu (wcześniej, jak wspomniano powyżej, znak równania był zawsze dodatni i wynosił zero, gdy pozorny czas wschodu słońca był najwcześniejszy w stosunku do zegara czas wschodu słońca). Flamsteed przyjął konwencję zestawiania i nazywania poprawki w tym sensie, że miała być zastosowana do czasu pozornego, aby podać czas średni.

Równanie czasu, prawidłowo oparte na dwóch głównych składowych nieregularności pozornego ruchu Słońca, zostało ogólnie przyjęte dopiero po tablicach Flamsteeda z lat 1672–73, opublikowanych wraz z pośmiertnym wydaniem dzieł Jeremiaha Horrocksa .

Robert Hooke (1635-1703), który matematycznie przeanalizował przegub uniwersalny , jako pierwszy zauważył, że geometria i opis matematyczny (nieświeckiego) równania czasu i przegubu uniwersalnego są identyczne, i zaproponował użycie uniwersalnego wspólne w budowie „mechanicznego zegara słonecznego”.

XVIII i początek XIX wieku

Poprawki w tabelach Flamsteeda z lat 1672–1673 i 1680 dały średni czas obliczony zasadniczo poprawnie i bez potrzeby dalszego przesunięcia. Ale wartości liczbowe w tabelach równania czasu nieco się zmieniły od tego czasu z powodu trzech czynników:

• ogólna poprawa dokładności wynikająca z udoskonaleń astronomicznych technik pomiarowych,
• powolne wewnętrzne zmiany w równaniu czasu, zachodzące w wyniku niewielkich długoterminowych zmian nachylenia i ekscentryczności Ziemi (wpływające np. na odległość i daty peryhelium ) oraz
• włączenie małych źródeł dodatkowej zmienności w pozornym ruchu Słońca, nieznanych w XVII wieku, ale odkrytych od XVIII wieku, w tym wpływu Księżyca, Wenus i Jowisza.

Zegar słoneczny wykonany w 1812 roku przez firmę Whitehurst & Son , z kołową podziałką pokazującą równanie korekty czasu. To jest teraz na wystawie w Muzeum Derby i Galerii Sztuki .

Od 1767 do 1833 r. British Nautical Almanac and Astronomical Ephemeris zestawiało równanie czasu w sensie „dodaj lub odejmij (zgodnie z zaleceniami) liczbę minut i sekund podaną do lub od czasu pozornego, aby uzyskać czas średni”. Czasy w Almanachu były podane w pozornym czasie słonecznym, ponieważ czas na statku był najczęściej określany na podstawie obserwacji Słońca. Ta operacja byłaby wykonywana w nietypowym przypadku, gdy potrzebny był średni czas słoneczny obserwacji. W wydaniach od 1834 roku cały czas podawany był w średnim czasie słonecznym, gdyż do tego czasu czas na statku był coraz częściej określany przez chronometry morskie . Instrukcje polegały w konsekwencji na dodawaniu lub odejmowaniu (zgodnie z zaleceniami) podanej liczby minut do lub od średniego czasu, aby uzyskać widoczny czas. Więc teraz dodawanie odpowiadało temu, że równanie było dodatnie, a odejmowanie odpowiadało temu, że było ujemne.

Ponieważ pozorny dzienny ruch Słońca to jeden obrót dziennie, czyli o 360° co 24 godziny, a samo Słońce pojawia się na niebie jako dysk o średnicy około 0,5°, proste zegary słoneczne można odczytać z maksymalną dokładnością około jednego minuta. Ponieważ równanie czasu ma zakres około 33 minut, nie można zignorować różnicy między czasem zegarowym a czasem zegarowym. Oprócz równania czasu należy również zastosować poprawki ze względu na odległość od lokalnego południka strefy czasowej i czasu letniego , jeśli taki istnieje.

Niewielki wzrost średniej doby słonecznej spowodowany spowolnieniem obrotu Ziemi o około 2 ms na dobę na stulecie, który obecnie kumuluje się do około 1 sekundy na rok, nie jest uwzględniany w tradycyjnych definicjach równania czasu, gdyż jest on niezauważalny na poziomie dokładności zegarów słonecznych.

Główne składowe równania

Ekscentryczność orbity Ziemi

Równanie czasu (czerwona linia ciągła) i jego dwie główne składowe wykreślone oddzielnie, część wynikająca z nachylenia ekliptyki (linia przerywana fioletowa) i część wynikająca ze zmiennej pozornej prędkości Słońca wzdłuż ekliptyki z powodu ekscentryczności orbity Ziemi (ciemnoniebieska kreska i kropka)

Ziemia krąży wokół słońca. Widziane z Ziemi Słońce wydaje się okrążać Ziemię przez gwiazdy tła w ciągu jednego roku. Gdyby Ziemia krążyła wokół Słońca ze stałą prędkością, po orbicie kołowej w płaszczyźnie prostopadłej do osi Ziemi, to Słońce miałoby kulminację każdego dnia dokładnie o tej samej godzinie i doskonale odmierzałoby czas (poza bardzo małym efektem spowolnienia ruchu obrotowego Ziemi). Ale orbita Ziemi jest elipsą, która nie ma środka na Słońcu, a jej prędkość waha się między 30,287 a 29,291 km/s, zgodnie z prawami ruchu planet Keplera , a jej prędkość kątowa również się zmienia, dlatego Słońce wydaje się poruszać szybciej (w stosunku do gwiazd tła) w peryhelium (obecnie około 3 stycznia) i wolniej w aphelium pół roku później.

W tych skrajnych punktach efekt ten zmienia pozorny dzień słoneczny o 7,9 s/dzień od jego średniej. W związku z tym mniejsze dzienne różnice w prędkości w inne dni kumulują się do tych punktów, odzwierciedlając przyspieszenie i spowolnienie planety w porównaniu ze średnią. W rezultacie ekscentryczność orbity Ziemi wnosi do równania czasu okresową zmianę, która jest (w przybliżeniu pierwszego rzędu) falą sinusoidalną o amplitudzie 7,66 min i okresie jednego roku. Punkty zerowe osiągane są w peryhelium (początek stycznia) i aphelium (początek lipca); skrajne wartości występują na początku kwietnia (ujemne) i na początku października (dodatnie).

Nachylenie ekliptyki

Słońce i planety w lokalnym pozornym południu (Ekliptyka na czerwono, Słońce i Merkury na żółto, Wenus na biało, Mars na czerwono, Jowisz na żółto z czerwoną plamą, Saturn na biało z pierścieniami).

Nawet gdyby orbita Ziemi była kołowa, postrzegany ruch Słońca wzdłuż naszego równika niebieskiego nadal nie byłby jednorodny. Jest to konsekwencją nachylenia osi obrotu Ziemi w stosunku do płaszczyzny jej orbity lub równoważnie nachylenia ekliptyki ( ścieżki, którą wydaje się podążać Słońce w sferze niebieskiej ) w stosunku do równika niebieskiego . Rzut tego ruchu na nasz równik niebieski , wzdłuż którego mierzy się „czas zegarowy”, osiąga maksimum w przesileniach , kiedy roczny ruch Słońca jest równoległy do ​​równika (powodując wzmocnienie postrzeganej prędkości) i daje głównie zmianę w rektascensji . Jest to minimum w równonocy , kiedy pozorny ruch Słońca jest bardziej nachylony i powoduje większą zmianę deklinacji , pozostawiając mniej składowej rektascensji , która jest jedyną składową wpływającą na długość dnia słonecznego. Praktyczną ilustracją nachylenia jest to, że dzienne przesunięcie cienia rzucanego przez Słońce na zegarze słonecznym nawet na równiku jest mniejsze w pobliżu przesileń i większe w pobliżu równonocy. Gdyby ten efekt działał sam, dni miałyby długość do 24 godzin i 20,3 sekundy (mierzone od południa do południa Słońca) w pobliżu przesilenia i aż o 20,3 sekundy krótsze niż 24 godziny w pobliżu równonocy.

Na rysunku po prawej stronie widzimy miesięczną zmianę pozornego nachylenia płaszczyzny ekliptyki w słoneczne południe, widziane z Ziemi. Ta zmienność wynika z pozornej precesji obracającej się Ziemi w ciągu roku, jak widać ze Słońca w słoneczne południe.

Z punktu widzenia równania czasu nachylenie ekliptyki skutkuje wkładem do równania czasu zmienności fali sinusoidalnej o amplitudzie 9,87 minuty i okresie pół roku. Punkty zerowe tej sinusoidy osiągane są w równonocy i przesileniach, natomiast ekstrema na początku lutego i sierpnia (ujemne) oraz na początku maja i listopada (dodatnie).

Efekty świeckie

Dwa wyżej wymienione czynniki mają różne długości fal, amplitudy i fazy, więc ich łączny udział jest falą nieregularną. W epoce 2000 są to wartości (w minutach i sekundach z datami UT ):

Punkt	Wartość	Data
minimum	−14 min 15 sek	11 lutego
zero	0 0 min 0 sek	15 kwietnia
maksymalny	+3 min 41 sek	14 maja
zero	0 0 min 0 sek	13 czerwca
minimum	−6 min 30 sek	26 lipca
zero	0 0 min 0 sek	1 września
maksymalny	+16 min 25 sek	3 listopada
zero	0 0 min 0 sek	25 grudnia

ET = pozorny − średni. Pozytywne oznacza: Słońce biegnie szybko i osiąga punkt kulminacyjny wcześniej lub zegar słoneczny wyprzedza średni czas. Występuje niewielka roczna zmienność ze względu na obecność lat przestępnych, resetująca się co 4 lata. Dokładny kształt równania krzywej czasu i związana z nim analemma powoli zmieniają się na przestrzeni wieków z powodu świeckich różnic zarówno w ekscentryczności, jak i nachyleniu. W tej chwili obie powoli maleją, ale rosną i maleją w skali czasu setek tysięcy lat.

W krótszych skalach czasowych (tysiące lat) ważniejsze będą przesunięcia dat równonocy i peryhelium. Ta pierwsza jest spowodowana precesją i przesuwa równonoc do tyłu w porównaniu z gwiazdami. Ale można to zignorować w obecnej dyskusji, ponieważ nasz kalendarz gregoriański jest skonstruowany w taki sposób, aby zachować datę równonocy wiosennej na 20 marca (przynajmniej z wystarczającą dokładnością dla naszego celu tutaj). Przesunięcie peryhelium jest do przodu, około 1,7 dnia na stulecie. W 1246 roku peryhelium miało miejsce 22 grudnia, w dniu przesilenia, więc dwie składowe fale miały wspólne punkty zerowe, a równanie krzywej czasu było symetryczne: w Algorytmach Astronomicznych Meeus podaje ekstrema lutowe i listopadowe 15 m 39 s oraz maj i Lipcowe 4m 58s. Wcześniej minimum lutowe było większe niż maksimum listopadowe, a maksimum majowe większe niż minimum lipcowe. W rzeczywistości w latach przed -1900 (1901 pne) maksimum majowe było większe niż maksimum listopadowe. W roku -2000 (2001 p.n.e.) majowe maksimum wynosiło +12 minut i kilka sekund, podczas gdy listopadowe maksimum wynosiło niecałe 10 minut. Sekularna zmiana jest oczywista, gdy porówna się aktualny wykres równania czasu (patrz poniżej) z wykresem sprzed 2000 lat, np. skonstruowanym na podstawie danych Ptolemeusza.

Reprezentacja graficzna

Animacja przedstawiająca równanie czasu i ścieżkę analemmy w ciągu jednego roku.

Praktyczne użycie

Jeśli gnomon (obiekt rzucający cień) nie jest krawędzią, ale punktem (np. dziurą w talerzu), cień (lub plama światła) zarysuje krzywą w ciągu dnia. Jeśli cień rzuci się na płaską powierzchnię, krzywa ta będzie przekrojem stożkowym (zwykle hiperbolą), ponieważ okrąg ruchu Słońca wraz z punktem gnomonowym określają stożek. Podczas równonocy wiosennej i jesiennej stożek degeneruje się do płaszczyzny, a hiperbola do linii. Z inną hiperbolą dla każdego dnia, na każdej hiperboli można umieścić znaczniki godzinowe, które zawierają wszelkie niezbędne poprawki. Niestety każda hiperbola odpowiada dwóm różnym dniom, po jednym w każdej połowie roku i te dwa dni będą wymagały różnych korekt. Wygodnym kompromisem jest narysowanie linii dla „średniego czasu” i dodanie krzywej pokazującej dokładne położenie punktów cienia w południe w ciągu roku. Ta krzywa przybierze postać ósemki i jest znana jako analemma . Porównując analemę ze średnią linią południową, można określić wielkość korekty, która ma być zastosowana ogólnie w tym dniu.

Równanie czasu jest używane nie tylko w połączeniu z zegarami słonecznymi i podobnymi urządzeniami, ale także w wielu zastosowaniach energii słonecznej . Maszyny takie jak trackery słoneczne i heliostaty muszą poruszać się w sposób, na który wpływa równanie czasu.

Czas cywilny to lokalny średni czas dla południka, który często przebiega w pobliżu środka strefy czasowej i może być dalej zmieniany przez czas letni . Kiedy ma być znaleziony pozorny czas słoneczny, który odpowiada danemu czasowi cywilnemu, należy wziąć pod uwagę różnicę długości geograficznej między interesującym miejscem a południkiem strefy czasowej, czas letni i równanie czasu.

Obliczanie równania czasu

Równanie czasu uzyskuje się z opublikowanej tabeli lub wykresu. Dla dat w przeszłości takie tabele są tworzone na podstawie pomiarów historycznych lub obliczeń; dla przyszłych dat, oczywiście, tabele można tylko obliczyć. W urządzeniach takich jak heliostaty sterowane komputerowo komputer jest często programowany do obliczania równania czasu. Obliczenia mogą być numeryczne lub analityczne. Te pierwsze opierają się na numerycznym całkowaniu różniczkowych równań ruchu, uwzględniając wszystkie istotne efekty grawitacyjne i relatywistyczne. Wyniki są dokładne z dokładnością lepszą niż 1 sekunda i są podstawą współczesnych danych almanachowych. Te ostatnie opierają się na rozwiązaniu, które obejmuje tylko oddziaływanie grawitacyjne między Słońcem a Ziemią, prostszym niż to pierwsze, ale nie tak dokładnym. Jego dokładność można poprawić, wprowadzając niewielkie poprawki.

Poniższa dyskusja opisuje dość dokładny (zgodny z danymi z almanachu z dokładnością do 3 sekund w szerokim zakresie lat) algorytm równania czasu, który jest dobrze znany astronomom. Pokazuje również, jak uzyskać prosty przybliżony wzór (z dokładnością do 1 minuty w dużym przedziale czasu), który można łatwo obliczyć za pomocą kalkulatora, i zapewnia proste wyjaśnienie zjawiska, które zostało użyte wcześniej w tym artykule.

Opis matematyczny

Dokładna definicja równania czasu to

${\ Displaystyle \ operatorname {EOT} = \ operatorname {GHA} -\ operatorname {GMHA}}$

Wielkości występujące w tym równaniu to

• EOT, różnica czasu między pozornym czasem słonecznym a średnim czasem słonecznym ;
• kąt godzinny Greenwich pozornego (rzeczywistego) Słońca;
• GMHA = czas uniwersalny - przesunięcie, średni kąt godzinowy Greenwich średniego (fikcyjnego) słońca.

Tutaj czas i kąt to wielkości, które są powiązane takimi czynnikami, jak: 2 π radianów = 360° = 1 dzień = 24 godziny. Różnica, EOT, jest mierzalna, ponieważ GHA jest kątem, który można zmierzyć, a czas uniwersalny , UT, jest skalą do pomiaru czasu. Przesunięcie o π = 180° = 12 godzin od UT jest potrzebne, ponieważ UT wynosi zero o średniej północy, podczas gdy GMHA = 0 o średniej w południe. Zarówno GHA, jak i GMHA, podobnie jak wszystkie kąty fizyczne, mają matematyczną, ale nie fizyczną nieciągłość w swoim odpowiednim (pozornym i średnim) południu. Pomimo matematycznych nieciągłości składowych, EOT definiuje się jako funkcję ciągłą, dodając (lub odejmując) 24 godziny w małym przedziale czasu między nieciągłościami w GHA i GMHA.

Zgodnie z definicjami kątów na sferze niebieskiej GHA = GAST − α (patrz kąt godzinny ) gdzie:

• czas gwiezdny Greenwich (kąt między pozorną równonocą wiosenną a południkiem w płaszczyźnie równika). Jest to znana funkcja UT.
• α to rektascensja pozornego Słońca (kąt między pozorną równonocą wiosenną a rzeczywistym Słońcem w płaszczyźnie równika).

Po podstawieniu do równania czasu, tak

$\ Displaystyle \ operatorname {EOT} = \ operatorname {GAST} -\ alfa - \ operatorname {UT} + \ operatorname {przesunięcie}$

Podobnie jak w powyższym wzorze na GHA, można zapisać GMHA = GAST − α _M , gdzie ostatni wyraz to rektascensja średniego Słońca. Równanie jest często zapisywane w tych terminach jako

${\ Displaystyle \ operatorname {EOT} = \ alfa _ {M} - \ alfa}$

gdzie α _M = GAST − UT + przesunięcie . W tym sformułowaniu pomiar lub obliczenie EOT w określonej wartości czasu zależy od pomiaru lub obliczenia α w tym czasie. Zarówno α , jak i α _M wahają się od 0 do 24 godzin w ciągu roku. Pierwsza ma nieciągłość w czasie zależnym od wartości UT, druga ma ją w nieco późniejszym czasie. W konsekwencji obliczony w ten sposób EOT ma dwie sztuczne nieciągłości. Oba można usunąć, odejmując od wartości EOT 24 godziny w małym przedziale czasu po nieciągłości w α i przed nieciągłością w α _M . Wynikowy EOT jest ciągłą funkcją czasu.

Inną definicją, oznaczoną jako E w celu odróżnienia od EOT, jest

${\ Displaystyle E = \ operatorname {GMST} - \ alfa - \ operatorname {UT} + \ operatorname {przesunięcie}$

Tutaj GMST = GAST − eqeq , to średni czas gwiezdny Greenwich (kąt między średnią równonocy wiosennej a średnim Słońcem w płaszczyźnie równika). Dlatego GMST jest przybliżeniem GAST (a E jest przybliżeniem EOT); eqeq nazywa się równaniem równonocy i wynika z chybotania lub nutacji osi obrotu Ziemi wokół jej ruchu precesyjnego. Ponieważ amplituda ruchu nutacyjnego wynosi tylko około 1,2 s (18 ″ długości geograficznej), różnicę między EOT i E można zignorować, chyba że ktoś jest zainteresowany dokładnością poniżej sekundy.

Trzecia definicja, oznaczona jako Δ t w celu odróżnienia jej od EOT i E , a obecnie nazywana równaniem czasu efemeryd (przed obecnym rozróżnieniem między EOT, E i Δ t to drugie było znane jako równanie czasu) Jest

${\ Displaystyle \ Delta t = \ Lambda - \ alfa}$

tutaj Λ jest długością ekliptyczną średniego Słońca (kąt od średniej równonocy wiosennej do średniego Słońca w płaszczyźnie ekliptyki ) .

Różnica Λ - (GMST - UT + przesunięcie) wynosi 1,3 s od 1960 do 2040. Dlatego w tym ograniczonym przedziale lat Δ t jest przybliżeniem EOT, którego błąd mieści się w zakresie od 0,1 do 2,5 s w zależności od poprawki długości geograficznej w równanie równonocy; do wielu celów, na przykład do korygowania zegara słonecznego, ta dokładność jest więcej niż wystarczająca.

Obliczenia rektascensji

Rektascensję, a tym samym równanie czasu, można obliczyć na podstawie Newtonowskiej teorii ruchu ciał niebieskich, w której ciała (Ziemia i Słońce) opisują eliptyczne orbity wokół ich wspólnego środka masy. Korzystając z tej teorii, równanie czasu staje się

${\ Displaystyle \ Delta t = M + \ lambda _ {p} - \ alfa}$

gdzie pojawiają się nowe kąty

• M = 2π( t - t _p ) / t _Y , jest średnią anomalią , kątem między perycentrum eliptycznej orbity a średnim Słońcem; jego zakres wynosi od 0 do 2 π przy wzroście t od t _p do t _p + t _Y ;
• t _Y = 365,259 6358 dni to długość czasu w roku anomalistycznym : odstęp czasu między dwoma kolejnymi przejściami perycentrum;
• λ _p = Λ - M , jest długością ekliptyki perycentrum;
• t to czas dynamiczny , zmienna niezależna w teorii. Tutaj przyjmuje się, że jest on identyczny z czasem ciągłym opartym na UT (patrz wyżej), ale w bardziej precyzyjnych obliczeniach ( E lub EOT) należy uwzględnić niewielką różnicę między nimi, a także rozróżnienie między UT1 a UTC.
• t _p jest wartością t w perycentrum.

Aby zakończyć obliczenia, wymagane są trzy dodatkowe kąty:

• E , ekscentryczna anomalia Słońca (zauważ, że różni się od M );
• ν , prawdziwa anomalia Słońca ;
• λ = ν + λ _p , rzeczywista długość geograficzna Słońca na ekliptyce.

Sfera niebieska i eliptyczna orbita Słońca widziana przez geocentrycznego obserwatora patrzącego prostopadle do ekliptyki, przedstawiająca 6 kątów ( M , λ _p , α , ν , λ , E ) potrzebnych do obliczenia równania czasu. Ze względu na przejrzystość rysunki nie są wykonane w skali.

Wszystkie te kąty są pokazane na rysunku po prawej stronie, który pokazuje sferę niebieską i eliptyczną orbitę Słońca widzianą z Ziemi (taką samą jak orbita Ziemi widziana ze Słońca). Na tej figurze ε jest nachyleniem , podczas gdy e = √ 1 − ( b / a ) ² jest mimośrodem elipsy.

Mając teraz wartość 0 ≤ M ≤ 2π , można obliczyć α ( M ) za pomocą następującej dobrze znanej procedury:

Najpierw, mając M , oblicz E z równania Keplera :

${\ Displaystyle M = Ee \ sin {E}}$

Chociaż tego równania nie można dokładnie rozwiązać w postaci zamkniętej, wartości E ( M ) można uzyskać z nieskończonych (potęgowych lub trygonometrycznych) szeregów, metod graficznych lub numerycznych. Alternatywnie, zauważ, że dla e = 0 , E = M i przez iterację:

${\ Displaystyle E \ około M + e \ sin {M}}$

To przybliżenie można poprawić, dla małych e , ponownie iterując,

${\ Displaystyle E \ około M + e \ sin {M} + {\ Frac {1} {2}} e ^ {2} \ sin { 2M}}$ ,

a ciągła iteracja daje kolejno wyrazy wyższego rzędu rozszerzenia szeregu potęgowego w e . Dla małych wartości e (znacznie mniejszych niż 1) dwa lub trzy wyrazy szeregu dają dobre przybliżenie E ; im mniejsze e , tym lepsze przybliżenie.

Następnie, znając E , oblicz prawdziwą anomalię ν z relacji orbity eliptycznej

${\ Displaystyle \ nu = 2 \ arctan \ lewo ({\ sqrt {\ Frac {1 + e} {1-e}}} \ tan {\tfrac {1}{2}}E\prawo)}$

Właściwą gałęzią funkcji wielowartościowej arctan x , której należy użyć, jest ta, która sprawia, że ​​ν jest funkcją ciągłą E ( M ) począwszy od ν _{E =0} = 0 . Zatem dla 0 ≤ E < π użyj arctan x = arctan x , a dla π < E ≤ 2π użyj arctan x = arctan x + π . Przy określonej wartości E = π , dla której argument tan jest nieskończony, użyj ν = E . Tutaj arctan x jest główną gałęzią, | arctan x | < π / 2 ; funkcja zwracana przez kalkulatory i aplikacje komputerowe. Alternatywnie, tę funkcję można wyrazić za pomocą jej szeregu Taylora w e , którego pierwsze trzy wyrazy to:

${\ Displaystyle \ nu \ około E + e \ sin {E} + {\ Frac {1} {4}} e ^ {2} \ sin {2E}}$ .

Dla małych e to przybliżenie (lub nawet tylko pierwsze dwa wyrazy) jest dobre. Połączenie przybliżenia dla E ( M ) z przybliżeniem dla ν ( E ) daje

${\ Displaystyle \ nu \ około M + 2e \ sin {M} + {\ Frac {5} {4}} e ^ {2} \ grzech {2M}}$ .

Zależność ν ( M ) nazywana jest równaniem środka ; zapisane tutaj wyrażenie jest przybliżeniem drugiego rzędu w e . Dla małej wartości e charakteryzującej orbitę Ziemi daje to bardzo dobre przybliżenie dla ν ( M ) .

Następnie, znając ν , oblicz λ z jego definicji:

${\ Displaystyle \ lambda = \ nu + \ lambda _ {p}}$

Wartość λ zmienia się nieliniowo wraz z M , ponieważ orbita jest eliptyczna, a nie kołowa. Z przybliżenia dla ν :

${\ Frac {5} 4}}e^{2}\sin {2M}}$ .

Wreszcie, znając λ , oblicz α z zależności dla trójkąta prostokątnego na sferze niebieskiej pokazanej powyżej

${\ Displaystyle \ alfa = \ arctan \ lewo (\ cos {\ varepsilon} \ tan {\ lambda} \ prawej)}$

Zauważ, że kwadrant α jest taki sam jak λ , dlatego zmniejsz λ do zakresu od 0 do 2 π i napisz

${\ Displaystyle \ alfa = \ arctan \ lewo (\ cos {\ varepsilon} \ tan {\ lambda} + k \ pi \ po prawej)}$ ,

gdzie k wynosi 0, jeśli λ jest w ćwiartce 1, wynosi 1, jeśli λ jest w ćwiartce 2 lub 3, i wynosi 2, jeśli λ jest w ćwiartce 4. Dla wartości, przy których tan jest nieskończony, α = λ .

Chociaż przybliżone wartości α można uzyskać z obciętych szeregów Taylora, takich jak te dla ν , bardziej efektywne jest użycie równania

${\ Displaystyle \ alfa = \ lambda - \ arcsin \ lewo (y \ sin \ lewo (\ alfa + \ lambda \ prawo) \ prawo)}$

gdzie y = tan ² ( ε / 2 ) . Zauważ, że dla ε = y = 0 , α = λ i dwukrotnej iteracji:

${\ Displaystyle \ alfa \ około \ lambda -y \ sin {2 \ lambda} + {\ Frac {1} {2}} y ^ { 2}\sin {4\lambda}}$ .

Równanie czasu

Równanie czasu uzyskuje się przez podstawienie wyniku obliczeń rektascensji do równania wzoru na czas. Tutaj stosuje się Δ t ( M ) = M + λ _p - α [ λ ( M )] ; po części dlatego , że nie uwzględniono małych poprawek (rzędu 1 sekundy), które uzasadniałyby użycie E , a po części dlatego, że celem jest uzyskanie prostego wyrażenia analitycznego. Użycie przybliżeń dwuczłonowych dla λ ( M ) i α ( λ ) pozwala na zapisanie Δ t jako jawnego wyrażenia dwóch wyrazów, które jest oznaczone jako Δ t _ey , ponieważ jest to przybliżenie pierwszego rzędu w e iw y .

${\ Displaystyle \ Delta t_ {ey} = - 2e\sin {M}+y\sin \left(2M+2\lambda _{p}\right)=-7,659\sin {M}+9,863\sin \left(2M+3,5932\right)}$ minut

To równanie zostało po raz pierwszy wyprowadzone przez Milne'a, który napisał je w postaci λ = M + λ _p . Zapisane tutaj wartości liczbowe wynikają z zastosowania wartości parametrów orbity e = 0,016 709 , ε = 23,4393 ° = 0,409 093 radianów oraz λ _p = 282,9381 ° = 4,938 201 radianów odpowiadających epoce 1 stycznia 2000 r. o godzinie 12.00 UT1 . Przy obliczaniu wyrażenia liczbowego na Δ t _ey , jak podano powyżej, kalkulator musi być w trybie radianowym, aby uzyskać prawidłowe wartości, ponieważ wartość 2 λ _p − 2π w argumencie drugiego wyrazu jest tam zapisana w radianach. Można również zapisać przybliżenia wyższego rzędu, ale z konieczności mają one więcej wyrazów. Na przykład przybliżenie drugiego rzędu zarówno w e, jak i y składa się z pięciu wyrazów

${\ Displaystyle \ Delta t_ {e ^ {2} y ^ {2}} = \ Delta t_ {ey} - {\ Frac {5} {4}} e ^ {2} \ sin {2M} + 4ey \sin {M}\cos \left(2M+2\lambda _{p}\right)-{\frac {1}{2}}y^{2}\sin \left(4M+4\lambda _{ p}\prawo)}$

To przybliżenie ma potencjał dużej dokładności, jednak aby osiągnąć to w szerokim zakresie lat, parametry e , ε i λ _p muszą mieć możliwość zmiany w czasie. Powoduje to dodatkowe komplikacje obliczeniowe. Zaproponowano inne przybliżenia, na przykład które α _{, ^Δte} , . _oraz które wykorzystuje równanie środka pierwszego rzędu, ale bez żadnego innego przybliżenia do określenia Δte2 , wykorzystuje równanie środka drugiego rzędu

Zmienną czasową M można zapisać albo jako n , liczbę dni po peryhelium, albo D , liczbę dni po określonej dacie i godzinie (epoce):

${\ Displaystyle M = {\ Frac {2 \ pi} {t_ {Y}}} n} dni$ = $\ Displaystyle = M_ {D} + {\ frac {2 \ pi} {t_ {Y}}} D}$ dni $\ Displaystyle = 6,240 \ 040 \ 77 + 0,017 \ 201 \ 97D}$

Tutaj M _D jest wartością M w wybranej dacie i czasie. Dla podanych tutaj wartości, w radianach, MD _. jest wartością mierzoną dla rzeczywistego Słońca w epoce, 1 stycznia 2000 r. o godzinie 12:00 UT1, a D to liczba dni, które upłynęły od tej epoki W perycentrum M = 2π , więc rozwiązanie daje D = D _p = 2,508 · 109 . To umieszcza perycentrum 4 stycznia 2000 r. O godzinie 00:11:41, podczas gdy rzeczywiste perycentrum, zgodnie z wynikami z Multiyear Interactive Computer Almanac (w skrócie MICA), 3 stycznia 2000 r. O godzinie 05:17:30. Ta duża rozbieżność ma miejsce, ponieważ różnica między promieniem orbity w dwóch lokalizacjach wynosi tylko 1 część na milion; innymi słowy, promień jest bardzo słabą funkcją czasu w pobliżu perycentrum. W praktyce oznacza to, że nie można uzyskać bardzo dokładnego wyniku dla równania czasu, używając n i dodając rzeczywistą datę perycentrum dla danego roku. Jednak dużą dokładność można osiągnąć, stosując sformułowanie w postaci D .

Krzywe Δ t i Δ t _ey wraz z symbolami umiejscawiającymi wartości dobowe w południe (w odstępach 10-dniowych) uzyskane z Wieloletniego Interaktywnego Almanachu Komputerowego vs d dla roku 2000

Gdy D > D _p , M jest większe niż 2 π i należy odjąć od tego wielokrotność 2 π (która zależy od roku), aby mieściła się w przedziale od 0 do 2 π . Podobnie dla lat przed 2000 należy dodać wielokrotności 2 π . Na przykład w roku 2010 D waha się od 3653 w dniu 1 stycznia w południe do 4017 w dniu 31 grudnia w południe; odpowiednie M wynoszą 69,078 9468 i 75,340 4748 i są redukowane do zakresu od 0 do 2 π przez odjęcie odpowiednio 10 i 11 razy 2 π . Zawsze można zapisać D = n _Y + d , gdzie n _Y to liczba dni od epoki do południa 1 stycznia żądanego roku, a 0 ≤ d ≤ 364 (365, jeśli obliczenia dotyczą roku przestępnego).

Wynik obliczeń jest zwykle podawany jako zestaw wartości tabelarycznych lub wykres równania czasu w funkcji d . Porównanie wykresów Δ t , Δ t _ey i wyników z MICA dla roku 2000 pokazano na rysunku po prawej stronie. Wykres Δ t _ey wydaje się być zbliżony do wyników uzyskanych przez MICA, błąd bezwzględny, Err = | Δ t _ey − MICA2000 | , wynosi mniej niż 1 minutę w ciągu roku; jego największa wartość wynosi 43,2 sekundy i występuje w dniu 276 (3 października). Wykres Δ t jest nie do odróżnienia od wyników MICA, największy błąd bezwzględny między nimi wynosi 2,46 s w dniu 324 (20 listopada).

Uwaga o ciągłości równania czasu

Do wyboru odpowiedniej gałęzi zależności arctan ze względu na ciągłość funkcji pomocna jest zmodyfikowana wersja funkcji arcus tangens. Wprowadza wcześniejszą wiedzę o wartości oczekiwanej przez parametr. Zmodyfikowana funkcja arcus tangens jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle \ arctan _ {\ eta} x = \ arctan x + \ pi \ nazwa operatora {okrągły} {\ lewo ({\ frac {\eta -\arctan x}{pi}}\right)}}$ .

Daje wartość jak najbardziej zbliżoną do η . Funkcja zaokrągla do najbliższej liczby całkowitej.

Zastosowanie tego daje:

${\ Displaystyle \ Delta t (M) = M + \ lambda _ {p} - \ arctan _ {M + \ lambda _{p}}\left(\cos {\varepsilon}\tan {\lambda}\right)}$ .

Parametr M + λ _p ustala tutaj, aby ustawić Δ t na najbliższą zeru wartość, która jest pożądaną wartością.

Efekty świeckie

Różnicę między wynikami MICA i Δ t sprawdzano co 5 lat w przedziale od 1960 do 2040. W każdym przypadku maksymalny błąd bezwzględny był mniejszy niż 3 s; największa różnica, 2,91 s, wystąpiła 22 maja 1965 r. (dzień 141). Jednak aby osiągnąć ten poziom dokładności w tym przedziale lat, konieczne jest uwzględnienie sekularnej zmiany parametrów orbity w czasie. Równania opisujące tę odmianę to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e & = 1,6709\razy 10^{-2}-4,193\razy 10^{-5}\lewo({\frac {D}{36\,525}}\prawo)-1,26\razy 10^{-7}\lewo ({\frac {D}{36525}}\right)^{2}\\\varepsilon &=23.4393-0.013\left({\frac {D}{36\,525}}\right)-2\razy 10^{-7}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}+5\times 10^{-7}\left({\frac {D}{36 \,525}}\right)^{3}{\mbox{stopni}}\\\lambda _{\mathrm {p}}&=282,938\,07+1,7195\left({\frac {D}{36 \,525}}\right)+3,025\times 10^{-4}\left({\frac {D}{36\,525}}\right)^{2}{\mbox{ stopni}}\end {wyrównany}}}$

Zgodnie z tymi zależnościami w ciągu 100 lat ( D = 36 525 ) λ _p wzrasta o około 0,5% (1,7°), e maleje o około 0,25%, a ε maleje o około 0,05%.

W rezultacie liczba obliczeń wymaganych do dowolnego przybliżenia równania czasu wyższego rzędu wymaga ich wykonania przez komputer, jeśli chce się osiągnąć ich naturalną dokładność w szerokim zakresie czasu. W takim przypadku oszacowanie Δ t za pomocą komputera nie jest trudniejsze niż jakiekolwiek jego przybliżenie.

W całej tej uwadze należy zauważyć, że Δ t _ey , jak napisano powyżej, jest łatwe do oszacowania, nawet za pomocą kalkulatora, jest wystarczająco dokładne (lepsze niż 1 minuta w przedziale 80-letnim) do korygowania zegarów słonecznych i ma ładne fizyczne wyjaśnienie jako suma dwa terminy, jeden ze względu na nachylenie, a drugi z ekscentrycznością, który był używany wcześniej w artykule. Nie jest to prawdą ani dla Δ t traktowanego jako funkcja M , ani dla żadnego z jego przybliżeń wyższego rzędu.

Kalkulacja alternatywna

Inną procedurę obliczania równania czasu można wykonać w następujący sposób. Kąty są w stopniach; konwencjonalna kolejność działań .

n = 360° / 365,24 dni,

gdzie n to średnia kątowa prędkość orbitalna Ziemi w stopniach na dzień, czyli „średni dzienny ruch” .

${\ Displaystyle A = \ lewo (D + 9 \ prawo) n}$

gdzie D to data liczona w dniach rozpoczynających się 1 stycznia (tj. dni będące częścią daty porządkowej w roku). 9 to przybliżona liczba dni od przesilenia grudniowego do 31 grudnia. A to kąt, pod jakim Ziemia poruszałaby się po swojej orbicie ze swoją średnią prędkością od przesilenia grudniowego do dnia D .

${\ Displaystyle B = A + 0,0167 \ cdot {\ Frac {360 ^ {\ circ}} {\ pi}} \ sin \ lewo ( \lewo(D-3\prawo)n\prawo)}$

B to kąt, o jaki Ziemia porusza się od przesilenia do daty D , w tym poprawka pierwszego rzędu na ekscentryczność orbity Ziemi, 0,0167 . Liczba 3 to przybliżona liczba dni od 31 grudnia do obecnej daty peryhelium Ziemi . To wyrażenie dla B można uprościć, łącząc stałe do:

${\ Displaystyle B = A + 1,914 ^ {\ circ} \ cdot \ sin \ lewo (\ lewo (D-3 \ prawo) n \ prawo) }$ .

${\ Displaystyle C = {\ Frac {A- \ arctan {\ Frac {\ tan B} {\ sałata 23,44 ^ {\ circ}}}} {180 ^{\cyr}}}}$

Tutaj C jest różnicą między kątem przesuniętym ze średnią prędkością a kątem przy skorygowanej prędkości rzutowanym na płaszczyznę równika i podzieloną przez 180°, aby uzyskać różnicę w „ półobrotach ”. Wartość 23,44° to nachylenie osi Ziemi („nachylenie”) . Odejmowanie daje konwencjonalny znak równaniu czasu. Dla dowolnej danej wartości x , arctan x (czasami zapisywany jako tan ⁻¹ x ) ma wiele wartości, różniących się od siebie całkowitymi liczbami półobrotów. Wartość wygenerowana przez kalkulator lub komputer może nie być odpowiednia dla tego obliczenia. Może to spowodować, że C będzie się mylić o całkowitą liczbę półobrotów. Nadmiarowe półobroty są usuwane w następnym kroku obliczeń, dając równanie czasu:

${\ Displaystyle \ operatorname {EOT} = 720 \ lewo (C- \ nazwa operatora {nint} {C} \ prawej)}$ minut

Wyrażenie nint( C ) oznacza liczbę całkowitą najbliższą C . Na komputerze można to zaprogramować np. jako LCAŁK(C + 0.5) . Jego wartość wynosi 0, 1 lub 2 w różnych porach roku. Odjęcie tego pozostawia małą dodatnią lub ujemną ułamkową liczbę pół obrotu, którą mnoży się przez 720, czyli liczbę minut (12 godzin), w ciągu których Ziemia obraca się o pół obrotu względem Słońca, aby uzyskać równanie czasu.

W porównaniu z opublikowanymi wartościami to obliczenie ma pierwiastek błędu średniokwadratowego wynoszący zaledwie 3,7 s. Największy błąd to 6,0 s. Jest to znacznie dokładniejsze niż przybliżenie opisane powyżej, ale nie tak dokładne, jak skomplikowane obliczenia.

Dodatek o deklinacji Słońca

Główne artykuły: Deklinacja i pozycja Słońca

Wartość B w powyższym obliczeniu jest dokładną wartością długości ekliptyki Słońca (przesuniętej o 90 °), więc deklinacja Słońca δ staje się łatwo dostępna:

${\ Displaystyle \ delta = - \ arcsin \ lewo (\ sin 23,44 ^ {\ circ} \ cdot \ cos B \ prawej)}$

co jest dokładne z dokładnością do ułamka stopnia.

Zobacz też

• Azymut
• Cykle Milankovicia

Notatki i przypisy

Uwagi

Przypisy

• Helyar, AG „Sun Data” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 11 stycznia 2004 r.
• Meeus, J (1997). Kąski astronomii matematycznej . Richmond, Wirginia: Willman-Bell.
•   McCarthy, Dennis D .; Seidelmann, P. Kenneth (2009). CZAS Od ruchu obrotowego Ziemi do fizyki atomowej . Weinheim: Wiley VCH. ISBN 978-3-527-40780-4 .

Linki zewnętrzne

• Kalkulator słoneczny NOAA
• Usługi danych USNO Zarchiwizowane 29 maja 2014 r. W Wayback Machine (w tym czasy wschodu / zachodu / tranzytu Słońca i innych ciał niebieskich)
• Równanie czasu opisane na stronie internetowej Royal Greenwich Observatory
• Równanie czasu i analemma Kieron Taylor
• Artykuł Briana Tunga zawierający łącze do programu C przy użyciu dokładniejszej formuły niż większość (szczególnie przy dużych nachyleniach i mimośrodach). Program może obliczyć deklinację słoneczną, równanie czasu lub analemę.
• Wykonywanie obliczeń przy użyciu geocentrycznych modeli planetarnych Ptolemeusza z omówieniem jego wykresu ET
• Równanie czasu Longcase Clock autorstwa Johna Toppinga C.1720
• Równanie tabeli korekcji czasu Strona opisująca sposób korygowania zegara względem zegara słonecznego.
• Tempometr słoneczny – Oblicz swój czas słoneczny, w tym równanie czasu.