Rozkład K

Rozkład K

Parametry	${\ Displaystyle \ mu \ in (0, + \ infty)}$ , ${\ Displaystyle \ alfa \ w [0, + \ infty)}$ , ${\ Displaystyle \ beta \ w [0, + \ infty)}$
Wsparcie	${\ Displaystyle x \ w [0, + \ infty) \;}$
PDF	${\ Displaystyle {\ Frac {2} {\ Gamma (\ alfa) \ Gamma (\ beta)}} \, \ lewo ({\ Frac {\ alfa \ beta} {\ mu}} \ prawej) ^ {\ frac {\alpha +\beta }{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta }{2}}-1}K_{\alpha -\beta}\left(2{\sqrt {\ frac {\alpha \beta x}{\mu}}}\right),}$
Mieć na myśli	${\ Displaystyle \ mu}$
Zmienność	${\ Displaystyle \ mu ^ {2} {\ Frac {\ alfa + \ beta + 1} {\ alfa \ beta}}}$
MGF	${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {\ xi} {s}} \ prawej) ^ {\ beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2}\left({\frac {\xi}}{s}} \Prawidłowy)}$

W prawdopodobieństwie i statystyce uogólniony rozkład K to trzyparametrowa rodzina ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa. Dystrybucja powstaje przez połączenie dwóch rozkładów gamma . W każdym przypadku stosuje się ponowną parametryzację zwykłej postaci rodziny rozkładów gamma, tak aby parametry były następujące:

• średnia dystrybucji,
• zwykły parametr kształtu.

Rozkład K jest szczególnym przypadkiem rozkładu wariancji-gamma , który z kolei jest szczególnym przypadkiem uogólnionego rozkładu hiperbolicznego . Prostszy szczególny przypadek uogólnionego rozkładu K jest często określany jako rozkład K.

Gęstość

Załóżmy, że $σ$ losowa ma rozkład gamma ze średnią i parametrem kształtu , przy czym $displaystyle \ sigma$$\ displaystyle \ sigma$$}$ jest traktowana jako zmienna losowa mająca inną X { $,$$średnią$ razem ze i parametrem kształtu . Rezultat jest taki, że ${\ displaystyle X}$ ma następujące cechy funkcja gęstości prawdopodobieństwa (pdf) dla ${\ displaystyle x> 0}$ :

${\ Displaystyle f_ {X} (x; \ mu, \ alfa, \ beta) = {\ Frac {2} {\ Gamma (\ alfa) \ Gamma (\ beta)}} \, \ lewo ({\ frac { \alpha \beta }{\mu}}\right)^{\frac {\alpha +\beta}{2}}\,x^{{\frac {\alpha +\beta}{2}}-1} K_ {\alpha -\beta}\left(2{\sqrt {\frac {\alpha \beta x}{\mu}}}\right),}$

gdzie $jest$ funkcją Bessela drugiego rodzaju. Zauważ, że dla zmodyfikowanej funkcji Bessela drugiego rodzaju mamy ${\ Displaystyle K _ {\ nu} = K_ {- \ nu}}$ . W tym wyprowadzeniu rozkład K jest złożonym rozkładem prawdopodobieństwa . Jest to również rozkład produktu : jest to rozkład iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych, z których jedna ma rozkład gamma ze średnią 1 i parametrem kształtu ${ \$$displaystyle$$\ alfa}$ , drugi ma rozkład gamma ze średnią parametrem .

Prostszą formalizację rozkładu K z dwoma parametrami można uzyskać, ustawiając jako β $\ displaystyle \ beta = 1}$

${\ Displaystyle f_ {X} (x; b, v) = {\ frac {2b}{\Gamma (v)}}\left({\sqrt {bx}}\right)^{v-1}K_{v-1}(2{\sqrt {bx}}),}$

gdzie $skali$ współczynnikiem $kształtu$$_$ współczynnikiem _ drugiego rodzaju. $ustawiając$$parametrów$ uzyskać , i ${\ displaystyle b = \ beta / \ mu}$ , aczkolwiek z inną fizyczną interpretacją $displaystyle$ i $v}$ . Ta formalizacja z dwoma parametrami jest często określana jako rozkład K, podczas gdy formalizacja z trzema parametrami jest określana jako uogólniony rozkład K.

Ten rozkład wywodzi się z artykułu Erica Jakemana i Petera Puseya (1978), którzy wykorzystali go do modelowania mikrofalowego echa morskiego. Jakeman i Tough (1987) wyprowadzili rozkład z obciążonego modelu błądzenia losowego. Ward (1981) wyprowadził rozkład z iloczynu dwóch zmiennych losowych, z = ay , gdzie a ma rozkład chi, a y zespolony rozkład Gaussa . Moduł z , |z| , to ma rozkład K.

Chwile

Funkcja generująca moment jest dana przez

${\ Displaystyle M_ {X} (s) = \ lewo ({\ frac {\xi }{s}}\right)^{\beta /2}\exp \left({\frac {\xi }{2s}}\right)W_{-\delta /2,\gamma /2 }\left({\frac {\xi}} {s}}\right),}$

gdzie ${\ Displaystyle \ gamma = \ beta - \ alfa,}$${\ Displaystyle \ delta = \ alfa + \ beta -1,}$${\ Displaystyle \ xi = \ alfa \ beta / \ mu,}$ i W $\ Displaystyle W _ {- \ delta / 2, \ gamma / 2} (\ cdot)}$ the Funkcja Whittakera .

N-te momenty rozkładu K są podane przez

${\ Displaystyle \ mu _ {n} = \ xi ^ {- n} {\ Frac {\ Gamma (\ alfa + n) \ Gamma (\ beta + n)}} {\ Gamma (\ alfa) \ Gamma (\ beta )}}.}$

Zatem średnia i wariancja są podane przez

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} (X) = \ mu}$

${\ Displaystyle \ operatorname {var} (X) = \ mu ^ {2} {\ Frac {\ alfa + \ beta + 1} {\ alfa \ beta}}.}$

Inne właściwości

Wszystkie właściwości rozkładu są ${\ Displaystyle \ beta.}$$β$ i

Aplikacje

Rozkład K powstaje jako konsekwencja modelu statystycznego lub probabilistycznego stosowanego w obrazowaniu radarowym z syntetyczną aperturą (SAR). Rozkład K jest tworzony przez połączenie dwóch oddzielnych rozkładów prawdopodobieństwa , z których jeden reprezentuje przekrój poprzeczny radaru , a drugi reprezentuje plamkę charakterystyczną dla spójnego obrazowania. Jest również używany w komunikacji bezprzewodowej do modelowania złożonych efektów szybkiego zanikania i cieniowania.

Źródła

• Redding, Nicholas J. (1999), Szacowanie parametrów dystrybucji K w domenie intensywności (PDF) , Australia Południowa: DSTO Electronics and Surveillance Laboratory, s. 60, DSTO-TR-0839
• Bocquet, Stephen (2011), Obliczanie radarowego prawdopodobieństwa wykrycia w K-Distributed Sea Clutter and Noise (PDF) , Canberra, Australia: Joint Operations Division, DSTO Defence Science and Technology Organisation, s. 35, DSTO-TR-0839
•   Jakeman, E.; Pusey, PN (1978-02-27). „Znaczenie rozkładów K w eksperymentach z rozpraszaniem”. Fizyczne listy przeglądowe . Amerykańskie Towarzystwo Fizyczne (APS). 40 (9): 546–550. doi : 10.1103/physrevlett.40.546 . ISSN 0031-9007 .
•   Jakeman, E.; Twardy, RJA (1987-09-01). „Uogólniony rozkład K: model statystyczny słabego rozpraszania”. Journal of Optical Society of America A. Towarzystwo Optyczne. 4 (9): 1764-1772. doi : 10.1364/josaa.4.001764 . ISSN 1084-7529 .
•   Oddział, KD (1981). „Złożona reprezentacja bałaganu morskiego w wysokiej rozdzielczości”. Listy elektroniczne . Instytucja Inżynierii i Technologii (IET). 17 (16): 561-565. doi : 10.1049/el:19810394 . ISSN 0013-5194 .
•    Bithas, PS; Sagias, Karolina Północna; Mathiopoulos, PT; Karagiannidis, GK; Rontogiannis, AA (2006). „O analizie wydajności komunikacji cyfrowej w kanałach zanikających uogólnionych k”. Listy komunikacyjne IEEE . Instytut Inżynierów Elektryków i Elektroników (IEEE). 10 (5): 353–355. doi : 10.1109/lcomm.2006.1633320 . ISSN 1089-7798 . S2CID 4044765 .
• Długie, MW (2001). Odbicie radarowe lądu i morza (wyd. 3). Norwood, MA: Artech House. P. 560.

Dalsza lektura

•   Jakeman, E (1980-01-01). „O statystykach szumu o rozkładzie K”. Journal of Physics A: Matematyczny i ogólny . Wydawnictwo IOP. 13 (1): 31–48. doi : 10.1088/0305-4470/13/1/006 . ISSN 0305-4470 .
•   Oddział, KD; Twardy, Robert JA; Watts, Simon (2006) Sea Clutter: Scattering, K Distribution and Radar Performance , Institution of Engineering and Technology. ISBN 0-86341-503-2 .