Wielowymiarowy rozkład Pareto

W statystyce wielowymiarowy rozkład Pareto jest wielowymiarowym rozszerzeniem jednowymiarowego rozkładu Pareto .

Istnieje kilka różnych typów jednowymiarowych rozkładów Pareto, w tym typy Pareto I-IV i Feller-Pareto . Dla wielu z tych typów zdefiniowano wielowymiarowe rozkłady Pareto.

Dwuwymiarowe rozkłady Pareto

Dwuwymiarowy rozkład Pareto pierwszego rodzaju

Mardia (1962) zdefiniował rozkład dwuwymiarowy z skumulowaną funkcją dystrybucji (CDF) określoną przez

${\ Displaystyle F (x_ {1}, x_ {2}) = 1 - \ suma _ {i = 1} ^ {2} \ lewo ({\ Frac {x_ {i}}} {\ theta _ { i}}}\right)^{-a}+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}}{\theta _{i}}}-1\right )^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,2;a>0,}$

i funkcja gęstości stawów

${\ Displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}) = (a + 1) a (\ teta _ {1} \ teta _ {2}) ^ {a + 1} (\ teta _ {2}x_{1}+\theta_{1}x_{2}-\theta_{1}\theta_{2})^{-(a+2)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2;a>0.}$

Rozkłady krańcowe to rozkłady Pareto typu 1 z funkcjami gęstości

${\ Displaystyle f (x_ {i}) = a \ theta _ {i} ^{a}x_{i}^{-(a+1)},\qquad x_{i}\geq \theta _{i}>0,i=1,2.}$

Średnie i wariancje rozkładów krańcowych to

${\ Displaystyle E [X_ {i}] = {\ Frac {a \ theta _ {i}} {a-1}}, a> 1; \ quad Var (X_ {i}) = {\ Frac {a \ theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},a>2;\quad i=1,2,}$

a dla a > 2, X ₁ i X ₂ są dodatnio skorelowane z

${\ Displaystyle \ operatorname {cov} (X_ {1}, X_ {2}) = {\ Frac {\ theta _ {1} \ theta _ {2}} {(a-1) ^ {2} (a- 2)}},{\text{i }}\nazwa_operatora {cor} (X_{1},X_{2})={\frac {1}{a}}.}$

Dwuwymiarowy rozkład Pareto drugiego rodzaju

Arnold sugeruje przedstawienie dwuwymiarowego komplementarnego CDF typu I Pareto przez

${\ Displaystyle {\ overline {F} }(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\theta _{i}}{\theta _ {i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i},i=1,2.}$

Jeśli pozwoli się, aby parametr lokalizacji i skali się różniły, komplementarny CDF jest

${\ Displaystyle {\ overline {F} }(x_{1},x_{2})=\left(1+\sum _{i=1}^{2}{\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _ {i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},i=1,2,}$

który ma jednowymiarowe rozkłady krańcowe Pareto typu II. Rozkład ten nazywany jest przez Arnolda wielowymiarowym rozkładem Pareto typu II . (Ta definicja nie jest równoważna z dwuwymiarowym rozkładem Pareto drugiego rodzaju Mardii).

Dla a > 1 średnie krańcowe to

${\ Displaystyle E [X_ {i}] = \ mu _ {i} + {\ Frac {\ sigma _ {i}} {a-1}},\qquad i=1,2,}$

podczas gdy dla a > 2 wariancje, kowariancje i korelacje są takie same jak dla wielowymiarowego Pareto pierwszego rodzaju.

Wielowymiarowe rozkłady Pareto

Wielowymiarowy rozkład Pareto pierwszego rodzaju

Wielowymiarowy rozkład Pareto pierwszego rodzaju Mardii ma łączną funkcję gęstości prawdopodobieństwa określoną przez

${\ Displaystyle f (x_ {1}, \ kropki, x_ {k}) = a (a + 1) \ cdots (a + k- 1)\left(\prod _{i=1}^{k}\theta _{i}\right)^{-1}\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac { x_{i}}{\theta _{i}}}-k+1\right)^{-(a+k)},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,a>0 ,\qquad (1)}$

Rozkłady krańcowe mają taką samą postać jak (1), a jednowymiarowe rozkłady krańcowe mają rozkład Pareto typu I. Uzupełniający CDF jest

${\ Displaystyle {\ overline {F}} (x_ {1}, \ kropki, x_ {k}) = \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {k} {\ Frac {x_ {i}}} \theta _{i}}}-k+1\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0. \quad (2)}$

Średnie krańcowe i wariancje są podane przez

${\ Displaystyle E [X_ {i}] = {\ Frac {a \ theta _ {i}} {a-1}}, {\ tekst {dla}} a> 1, {\ tekst {i}} Var ( X_{i})={\frac {a\theta _{i}^{2}}{(a-1)^{2}(a-2)}},{\text{dla}}a>2 .}$

Jeśli a > 2 kowariancje i korelacje są dodatnie z

${\ Displaystyle \ operatorname {cov} (X_ {i}, X_ {j}) = {\ Frac {\ theta _ {i} \ theta _ {j}} {(a-1) ^ {2} (a- 2)}},\qquad \nazwa_operatora {cor} (X_{i},X_{j})={\frac {1}{a}},\qquad i\neq j.}$

Wielowymiarowy rozkład Pareto drugiego rodzaju

Arnold sugeruje reprezentację wielowymiarowego komplementarnego CDF typu I Pareto przez

${\ Displaystyle {\ overline {F}} (x_ {1}, \ kropki, x_ {k}) = \ lewo (1 + \ suma _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {x_ {i} -\theta _{i}}{\theta _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\theta _{i}>0,\quad i=1,\dots k.}$

Jeśli pozwoli się, aby parametr lokalizacji i skali się różniły, komplementarny CDF jest

${\ Displaystyle {\ overline {F}} (x_ {1}, \ kropki, x_ {k}) = \ lewo (1 + \ suma _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {x_ {i} -\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{-a},\qquad x_{i}>\mu _{i},\quad i=1,\dots ,k ,\qquad (3)}$

który ma rozkłady krańcowe tego samego typu (3) i jednowymiarowe rozkłady krańcowe typu II Pareto . Rozkład ten nazywany jest przez Arnolda wielowymiarowym rozkładem Pareto typu II .

Dla a > 1 średnie krańcowe to

${\ Displaystyle E [X_ {i}] = \ mu _ {i} + {\ Frac {\ sigma _ {i }}{a-1}},\qquad i=1,\kropki ,k,}$

podczas gdy dla a > 2 wariancje, kowariancje i korelacje są takie same jak dla wielowymiarowego Pareto pierwszego rodzaju.

Wielowymiarowy rozkład Pareto czwartego rodzaju

Losowy wektor X ma k -wymiarowy wielowymiarowy rozkład Pareto czwartego stopnia, jeśli jego łączna funkcja przeżycia jest taka

${\ Displaystyle {\ overline {F}} (x_ {1}, \ kropki, x_ {k}) = \ lewo (1 + \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ left({\frac {x_{i}-\mu _{i}}{\sigma _{i}}}\right)^{1/\gamma _{i}}\right)^{-a}, \qquad x_{i}>\mu _{i},\sigma _{i}>0,i=1,\dots ,k;a>0.\qquad (4)}$

K 1 _- wymiarowe rozkłady krańcowe ( k ₁ < k ) są tego samego typu co (4), a jednowymiarowe rozkłady krańcowe są typu IV Pareto.

Wielowymiarowy rozkład Fellera – Pareto

Losowy wektor X ma k -wymiarowy rozkład Fellera – Pareto, jeśli

${\ Displaystyle X_ {i} = \ mu _ {i} + (W_ {i} / Z) ^ {\gamma _{i}},\qquad i=1,\kropki,k,\qquad (5)}$

Gdzie

${\ Displaystyle W_ {i} \ sim \ Gamma (\ beta _ {i}, 1), \quad i=1,\kropki ,k,\qquad Z\sim \Gamma (\alpha ,1)}$

są niezależnymi zmiennymi gamma. Rozkłady krańcowe i rozkłady warunkowe są tego samego typu (5); to znaczy są to wielowymiarowe rozkłady Fellera – Pareto. Jednowymiarowe rozkłady krańcowe są Fellera-Pareto .