Model Vicseka

Model Vicseka to model matematyczny używany do opisu materii aktywnej. Jedną z motywacji badania materii czynnej przez fizyków jest bogata fenomenologia związana z tą dziedziną. Ruch zbiorowy i rojenie należą do najczęściej badanych zjawisk. Spośród ogromnej liczby modeli, które zostały opracowane w celu uchwycenia takiego zachowania z opisu mikroskopowego, najbardziej znany jest model wprowadzony przez Tamása Vicseka i in. w 1995.

Fizycy bardzo interesują się tym modelem, ponieważ jest on minimalny i opisuje swoistą uniwersalność . Składa się z punktowych, samobieżnych cząstek , które ewoluują ze stałą prędkością i wyrównują swoją prędkość z prędkością swoich sąsiadów w obecności hałasu. Taki model pokazuje kolektywny ruch przy dużej gęstości cząstek lub niskim poziomie szumów na wyrównaniu.

Model (opis matematyczny)

Ponieważ ten model ma być minimalny, zakłada, że ​​flokowanie jest spowodowane połączeniem dowolnego rodzaju napędu własnego i efektywnego wyrównania.

Osobnik jest opisany przez jego położenie $i$ kąt określający kierunek jego prędkości $displaystyle \ Theta _ {i} (t)}$$\ mathbf {r} _ {i$$Displaystyle$ w czasie ${\ displaystyle t}$ . Dyskretna ewolucja czasowa jednej cząstki jest określona przez dwa równania:

1. W każdym kroku czasowym każdy agent wyrównuje się z sąsiadami w określonej odległości z niepewnością spowodowaną hałasem $\ Displaystyle \ Delta$$t}$${\ Displaystyle \ eta _ {i }(t)}$ :
   • ${\ Displaystyle \ Theta _ {i} (t + \ Delta t) = \ langle \ Theta _ {j} \ rangle _ {| r_ {i} -r_ {j} | <r} + \ eta _ {To)}$
2. Następnie cząstka porusza się ze stałą prędkością $t$ nowym kierunku
   • ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {i} (t + \ Delta t) = \ mathbf {r} _ {i} (t) + v \ Delta t {\ rozpocząć {pmatrix} \ cos \ Theta _ {i} (t)\\\sin \Theta _{i}(t)\end{pmatrix}}}$

W tych równaniach ${\ Displaystyle \ langle \ Theta _ {j} \ rangle _ {| r_ {i} -r_ {j} | <r}}$ oznacza średni kierunek prędkości cząstek (w tym cząstki ${\ displaystyle i}$ ) w okręgu o promieniu $displaystyle$ cząsteczkę $i}$ .

$displaystyle$ parametry: gęstość cząstek, amplitudę szumu na wyrównaniu i stosunek odległości podróży interakcji $r}$ . Na podstawie tych dwóch prostych reguł iteracji opracowano różne teorie ciągłe, takie jak teoria Toner Tu, która opisuje system na poziomie hydrodynamicznym. Opracowano teorię kinetyczną podobną do Enskoga, która jest ważna przy dowolnej gęstości cząstek. Teoria ta ilościowo opisuje powstawanie stromych fal gęstości, zwanych także falami inwazyjnymi, w pobliżu przejścia do ruchu kolektywnego.

Fenomenologia

Ten model pokazuje przejście fazowe od ruchu nieuporządkowanego do ruchu uporządkowanego na dużą skalę. Przy dużym szumie lub małej gęstości cząstki średnio nie są wyrównane i można je opisać jako nieuporządkowany gaz. Przy niskim poziomie szumów i dużej gęstości cząstki są globalnie wyrównane i poruszają się w tym samym kierunku ( ruch zbiorowy ). Ten stan jest interpretowany jako ciecz uporządkowana. Przejście między tymi dwiema fazami nie jest ciągłe, w rzeczywistości diagram fazowy układu przedstawia przejście fazowe pierwszego rzędu z separacją mikrofaz. W obszarze współistnienia w środowisku gazowym pojawiają się pasma cieczy o skończonych rozmiarach i poruszają się wzdłuż ich kierunku poprzecznego. Niedawno odkryto nową fazę: uporządkowaną polarnie morza krzyżowego fal gęstości z nieodłącznie wybranym kątem krzyżowania się. Ta spontaniczna organizacja cząstek jest uosobieniem zbiorowego ruchu .

Rozszerzenia

Od momentu pojawienia się w 1995 roku model ten jest bardzo popularny w społeczności fizyków; wielu naukowców pracowało nad nim i rozszerzyło go. Na przykład można wyodrębnić kilka klas uniwersalności z prostych argumentów symetrii dotyczących ruchu cząstek i ich wyrównania.

Ponadto w rzeczywistych systemach można uwzględnić wiele parametrów, aby uzyskać bardziej realistyczny opis, na przykład przyciąganie i odpychanie między czynnikami (cząstki o skończonych rozmiarach), chemotaksję (układy biologiczne), pamięć, nieidentyczne cząstki, otaczającą ciecz .

Aby ułatwić analizę modelu Vicseka, opracowano prostszą teorię, model Active Ising.