Dystrybucja multimodalna

„Bimodalny” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z koncepcją muzyczną, zobacz Bimodalność .

Rysunek 1. Prosty rozkład bimodalny, w tym przypadku mieszanina dwóch rozkładów normalnych o tej samej wariancji, ale różnych średnich. Rysunek przedstawia funkcję gęstości prawdopodobieństwa (pdf), która jest równoważoną średnią z plików pdf w kształcie dzwonu dwóch rozkładów normalnych. Gdyby wagi nie były równe, wynikowy rozkład nadal mógłby być bimodalny, ale z pikami o różnych wysokościach.

Rysunek 2. Rozkład bimodalny.

Rysunek 3. Dwuwymiarowy, multimodalny rozkład

Rysunek 4. Nieprzykład: rozkład unimodalny , który stałby się multimodalny, gdyby był uwarunkowany przez x lub y.

W statystyce rozkład multimodalny to rozkład prawdopodobieństwa z więcej niż jednym trybem . Pojawiają się one jako odrębne piki (lokalne maksima) w funkcji gęstości prawdopodobieństwa , jak pokazano na rysunkach 1 i 2. Dane kategorialne, ciągłe i dyskretne mogą tworzyć rozkłady multimodalne. Wśród analiz jednowymiarowych rozkłady multimodalne są zwykle bimodalne.

Terminologia

Gdy dwa tryby są nierówne, większy tryb jest znany jako tryb główny, a drugi jako tryb podrzędny. Najrzadziej występująca wartość między modami jest znana jako antymod. Różnica między modami durowymi i mollowymi jest znana jako amplituda . W szeregach czasowych główny mod nazywany jest akrofazą, a antymod – batifazą.

Klasyfikacja Galtunga

Galtung wprowadził system klasyfikacji (AJUS) dla dystrybucji:

• A: rozkład unimodalny – pik w środku
• J: unimodalny - pik na obu końcach
• U: bimodalny – piki na obu końcach
• S: bimodalny lub multimodalny – wiele pików

Ta klasyfikacja została od tego czasu nieznacznie zmodyfikowana:

• J: (zmodyfikowany) – szczyt po prawej stronie
• L: unimodalny – pik po lewej stronie
• F: bez szczytu (płaski)

W ramach tej klasyfikacji rozkłady bimodalne są klasyfikowane jako typu S lub U.

Przykłady

Rozkłady bimodalne występują zarówno w matematyce, jak iw naukach przyrodniczych.

Rozkłady prawdopodobieństwa

Ważne rozkłady bimodalne obejmują rozkład arcus sinus i rozkład beta (jeśli oba parametry a i b są mniejsze niż 1). Inne obejmują rozkład U-kwadratowy .

Stosunek dwóch rozkładów normalnych ma również rozkład bimodalny. Pozwalać

${\ Displaystyle R = {\ Frac {a + x} {b + y}}}$

gdzie a i b są stałe, a x i y mają rozkład normalnych zmiennych o średniej równej 0 i odchyleniu standardowym równym 1. R ma znaną gęstość, którą można wyrazić jako konfluentną funkcję hipergeometryczną .

Rozkład odwrotności zmiennej losowej o rozkładzie t jest bimodalny, gdy stopnie swobody są więcej niż jeden. Podobnie odwrotność zmiennej o rozkładzie normalnym ma również rozkład bimodalny.

Statystyka t wygenerowana ze zbioru danych pobranego z rozkładu Cauchy'ego jest bimodalna.

Zjawiska w przyrodzie

Przykłady zmiennych o rozkładzie bimodalnym obejmują czas między erupcjami niektórych gejzerów , kolor galaktyk , wielkość robotnic tkaczy , wiek zachorowania na chłoniaka Hodgkina , szybkość inaktywacji leku izoniazydowego u dorosłych Amerykanów, bezwzględną wielkość novae i okołodobowe wzorce aktywności tych zwierząt zmierzchowych , które są aktywne zarówno o zmierzchu , jak i o zmierzchu. W naukach o rybołówstwie multimodalne rozkłady długości odzwierciedlają różne klasy lat i dlatego mogą być wykorzystywane do szacowania rozkładu wiekowego i wzrostu populacji ryb. Osady są zwykle rozprowadzane w sposób bimodalny. Podczas pobierania próbek chodników górniczych przecinających skałę macierzystą i żyły zmineralizowane rozkład zmiennych geochemicznych byłby bimodalny. Rozkłady bimodalne są również widoczne w analizie ruchu, gdzie ruch osiąga szczyt w godzinach szczytu rano, a następnie ponownie w godzinach szczytu po południu. Zjawisko to jest również widoczne w codziennej dystrybucji wody, ponieważ zapotrzebowanie na wodę w postaci pryszniców, gotowania i korzystania z toalety osiąga szczyt w okresach porannych i wieczornych.

Ekonometria

W modelach ekonometrycznych parametry mogą mieć rozkład bimodalny.

Pochodzenie

Główny artykuł: Dystrybucja mieszanki

Matematyczny

Rozkład bimodalny zwykle powstaje jako mieszanina dwóch różnych rozkładów unimodalnych (tj. rozkładów mających tylko jeden mod). Innymi słowy, zmienna losowa X o rozkładzie bimodalnym jest zdefiniowana jako $($$1-\ alpha ),}$$prawdopodobieństwem$$\$ 1 - α gdzie Y i Z to unimodalne zmienne losowe, a ${\ Displaystyle 0 <\ alfa <1}$ jest współczynnikiem mieszaniny.

Mieszaniny z dwoma różnymi składnikami nie muszą być bimodalne, a mieszaniny dwóch składników o jednomodalnych gęstościach składników mogą mieć więcej niż dwa mody. Nie ma bezpośredniego związku między liczbą składników w mieszaninie a liczbą modów powstałej gęstości.

Poszczególne dystrybucje

Rozkłady bimodalne, pomimo ich częstego występowania w zbiorach danych, były rzadko badane . Może to wynikać z trudności w oszacowaniu ich parametrów metodami częstościowymi lub bayesowskimi. Wśród tych, które zostały zbadane są

• Bimodalny rozkład wykładniczy.
• Rozkład alfa-skośny-normalny.
• Bimodalny skośno-symetryczny rozkład normalny.
• Mieszanka rozkładów Conwaya-Maxwella-Poissona została dopasowana do bimodalnych danych liczbowych.

Bimodalność pojawia się również w naturalny sposób w rozkładzie katastrofy wierzchołkowej .

Biologia

W biologii wiadomo, że pięć czynników przyczynia się do bimodalnego rozkładu wielkości populacji :

• początkowy rozkład poszczególnych rozmiarów
• rozkład tempa wzrostu wśród osobników
• wielkość i zależność czasowa tempa wzrostu każdego osobnika
• śmiertelności, które mogą mieć różny wpływ na każdą klasę wielkości
• metylacja DNA w genomie ludzkim i mysim.

Bimodalny rozkład rozmiarów robotnic mrówek tkaczy wynika z istnienia dwóch odrębnych klas robotnic, a mianowicie robotnic głównych i robotnic drobnych.

rozkład efektów mutacji związanych z dopasowaniem, zarówno dla całych genomów , jak i poszczególnych genów , jest bimodalny, przy czym większość mutacji jest albo neutralna, albo śmiertelna, a stosunkowo niewiele ma efekt pośredni.

Właściwości ogólne

Mieszanina dwóch rozkładów unimodalnych o różnych średnich niekoniecznie jest bimodalna. Połączony rozkład wzrostu mężczyzn i kobiet jest czasami używany jako przykład rozkładu bimodalnego, ale w rzeczywistości różnica średnich wzrostów mężczyzn i kobiet jest zbyt mała w stosunku do ich odchyleń standardowych, aby uzyskać bimodalność, gdy połączy się dwie krzywe rozkładu .

Rozkłady bimodalne mają tę szczególną właściwość, że – w przeciwieństwie do rozkładów unimodalnych – średnia może być bardziej niezawodnym estymatorem próby niż mediana. Jest tak wyraźnie w przypadku, gdy rozkład ma kształt litery U, podobnie jak rozkład arcus sinus. Może to nie być prawdą, gdy rozkład ma jeden lub więcej długich ogonów.

Chwile mieszanek

Pozwalać

${\ Displaystyle f (x) = pg_ {1} (x) + (1-p) g_ {2} (x) \,}$

gdzie g _i jest rozkładem prawdopodobieństwa, a p jest parametrem mieszania.

Momenty f ( x ) są

${\ Displaystyle \ mu = p \ mu _ {1} + (1-p) \ mu _ {2}}$

${\ Displaystyle \ nu _ {2} = p [\ sigma _ {1} ^ {2} + \ delta _ {1} ^ {2} ]+(1-p)[\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{2}]}$

${\ Displaystyle \ nu _ {3} = p [S_ {1} \ sigma _ {1} ^ {3} + 3 \ delta _ {1} \ sigma _ {1} ^ {2} + \ delta _ {1 }^{3}]+(1-p)[S_{2}\sigma _{2}^{3}+3\delta _{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{ 2}^{3}]}$

${\ Displaystyle \ nu _ {4} = p [K_ {1} \ sigma _ {1} ^ { 4}+4S_{1}\delta _{1}\sigma _{1}^{3}+6\delta _{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+\delta _{ 1}^{4}]+(1-p)[K_{2}\sigma _{2}^{4}+4S_{2}\delta _{2}\sigma _{2}^{3}+ 6\delta _{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+\delta _{2}^{4}]}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ mu = \ int xf (x) \, dx}$

${\ Displaystyle \ delta _ {i} = \ mu _ {i} - \mu}$

${\ Displaystyle \ nu _ {r} = \ int (x- \ mu) ^ {r} f (x) \, dx}$

a S _i i K _i to skośność i kurtoza i- ^tego rozkładu .

Mieszanina dwóch rozkładów normalnych

Nierzadko spotyka się sytuacje, w których badacz uważa, że ​​dane pochodzą z mieszaniny dwóch rozkładów normalnych. Z tego powodu ta mieszanina została szczegółowo zbadana.

Mieszanka dwóch rozkładów normalnych ma pięć parametrów do oszacowania: dwie średnie, dwie wariancje i parametr mieszania. Mieszanina dwóch rozkładów normalnych z równymi odchyleniami standardowymi jest bimodalna tylko wtedy, gdy ich średnie różnią się co najmniej o dwukrotność wspólnego odchylenia standardowego. Oszacowania parametrów są uproszczone, jeśli można założyć, że wariancje są równe ( homoskedastyczny ).

Jeśli średnie dwóch rozkładów normalnych są równe, to rozkład złożony jest jednomodalny. Warunki unimodalności rozkładu złożonego wyprowadził Eisenberger. Warunki konieczne i wystarczające, aby mieszanina rozkładów normalnych była bimodalna, zostali zidentyfikowani przez Raya i Lindsaya.

Mieszanina dwóch w przybliżeniu równych rozkładów normalnych mas ma ujemną kurtozę, ponieważ dwa mody po obu stronach środka masy skutecznie zmniejszają ogony rozkładu.

Mieszanina dwóch rozkładów normalnych o bardzo nierównej masie ma dodatnią kurtozę, ponieważ mniejszy rozkład wydłuża ogon bardziej dominującego rozkładu normalnego.

Mieszaniny innych rozkładów wymagają oszacowania dodatkowych parametrów.

Testy na unimodalność

• Gdy składniki mieszaniny mają równe wariancje, mieszanina jest jednomodalna wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ displaystyle d \ równoważnik 1}$

Lub

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ log (1-p) - \ log (p) \ prawo \ vert \ geq 2 \ log ( d- {\sqrt {d^{2}-1}})+2d{\sqrt {d^{2}-1}},}$

gdzie p jest parametrem mieszania i

${\ Displaystyle d = {\ Frac {\ lewo \ vert \ mu _ {1} - \ mu _ {2} \ prawo \ vert } {2 \ sigma}}}$

gdzie μ ₁ i μ ₂ są średnimi dwóch rozkładów normalnych, a σ jest ich odchyleniem standardowym.

• Następujący test dla przypadku p = 1/2 został opisany przez Schillinga i in . Niech

${\ Displaystyle r = {\ Frac {\ sigma _ {1} ^ {2}} {\ sigma _ {2} ^ {2}}}.}$

Współczynnik separacji ( S ) wynosi

${\ Displaystyle S = {\ Frac {\ sqrt {-2 + 3r + 3r ^ {2} -2r ^ {3} + 2 (1-r + r ^ {2}) ^ {1,5}}} {{\ sqrt {r}}(1+{\sqrt {r}})}}.}$

Jeśli wariancje są równe, to S = 1. Gęstość mieszaniny jest jednomodalna wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle |\ mu _ {1} - \ mu _ {2} | <S | \ sigma _ {1} + \ sigma _ {2} |.}$

• Wystarczającym warunkiem unimodalności jest

${\ Displaystyle | \ mu _ {1} - \ mu _ {2} | \ równoważnik 2 \ min (\ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}).}$

• Jeśli dwa rozkłady normalne mają równe odchylenia standardowe $,$ jednomodalności jest

${\ Displaystyle |\ mu _ {1} - \ mu _ {2} | \ równoważnik 2 \ sigma {\ sqrt {1 + {\ Frac {| \ log p- \ ln (1-p) |} {2} }}}.}$

Statystyki podsumowujące

Rozkłady bimodalne są często używanym przykładem tego, jak statystyki podsumowujące, takie jak średnia , mediana i odchylenie standardowe , mogą być zwodnicze, gdy są używane w dowolnym rozkładzie. Na przykład w rozkładzie na rycinie 1 średnia i mediana byłyby bliskie zeru, mimo że zero nie jest wartością typową. Odchylenie standardowe jest również większe niż odchylenie każdego rozkładu normalnego.

Chociaż zasugerowano kilka, nie ma obecnie ogólnie przyjętej statystyki podsumowującej (lub zestawu statystyk) do ilościowego określenia parametrów ogólnego rozkładu bimodalnego. Dla mieszaniny dwóch rozkładów normalnych stosuje się zazwyczaj średnie i odchylenia standardowe oraz parametr mieszania (wagę dla kombinacji) – łącznie pięć parametrów.

Ashmana D

Statystyką, która może być przydatna, jest D Ashmana:

${\ Displaystyle D = (2 ^ {\ Frac {1} {2}}) {\ Frac {\ lewo | \ mu _ {1} - \ mu _ {2} \ prawo |}{\sqrt {(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}}}}$

gdzie μ ₁ , μ ₂ to średnie, a σ ₁ σ ₂ to odchylenia standardowe.

W przypadku mieszaniny dwóch rozkładów normalnych D > 2 jest wymagane do czystego rozdzielenia rozkładów.

van der Eijka A

Miara ta jest średnią ważoną stopnia zgodności rozkładu częstotliwości. A mieści się w zakresie od -1 (doskonała dwumodalność ) do +1 (doskonała jednomodalność ). Określa się jako

${\ Displaystyle A = U (1- {\ Frac {S-1} {K-1}})}$

gdzie U jest jednomodalnością rozkładu, S liczbą kategorii o niezerowych częstościach, a K całkowitą liczbą kategorii.

Wartość U wynosi 1, jeśli rozkład ma jedną z trzech następujących cech:

• wszystkie odpowiedzi należą do jednej kategorii
• odpowiedzi rozkładają się równomiernie we wszystkich kategoriach
• odpowiedzi są równomiernie rozłożone między dwie lub więcej sąsiadujących kategorii, a pozostałe kategorie mają zerową odpowiedź

W przypadku dystrybucji innych niż te, dane muszą być podzielone na „warstwy”. W warstwie odpowiedzi są albo równe, albo zerowe. Kategorie nie muszą być ciągłe. wartość A dla każdej warstwy ( Ai ) i określa _się średnią ważoną dla rozkładu. Wagi ( w _i ) dla każdej warstwy to liczba odpowiedzi w tej warstwie. W symbolach

$suma w_ {i} A_ {i}}$

Jednolity rozkład ma A = 0: gdy wszystkie odpowiedzi należą do jednej kategorii A = +1.

Jeden teoretyczny problem z tym indeksem polega na tym, że zakłada on, że przedziały są równomiernie rozmieszczone. Może to ograniczać jego zastosowanie.

Separacja bimodalna

Wskaźnik ten zakłada, że ​​rozkład jest mieszaniną dwóch rozkładów normalnych ze średnimi ( μ ₁ i μ ₂ ) oraz odchyleniami standardowymi ( σ ₁ i σ ₂ ):

${\ Displaystyle S = {\ Frac {\ mu _ {1} - \ mu _ {2}} {2 (\ sigma _ {1} + \ sigma _{2})}}}$

Współczynnik bimodalności

Współczynnik bimodalności Sarle'a b wynosi

${\ Displaystyle \ beta = {\ Frac {\ gamma ^ {2} + 1} {\ kappa}}}$

gdzie γ to skośność , a κ to kurtoza . Kurtoza jest tutaj zdefiniowana jako znormalizowany czwarty moment wokół średniej. Wartość b mieści się w przedziale od 0 do 1. Logika stojąca za tym współczynnikiem polega na tym, że rozkład bimodalny z lekkimi ogonami będzie miał bardzo niską kurtozę, charakter asymetryczny lub jedno i drugie – a wszystko to zwiększa ten współczynnik.

Wzór na próbkę skończoną to

${\ Displaystyle b = {\ Frac {g ^ {2} + 1} {k + {\ Frac {3 ( n-1)^{2}}{(n-2)(n-3)}}}}}$

gdzie n to liczba elementów w próbie, g to skośność próbki , a k to kurtoza nadmiaru próbki .

Wartość b dla rozkładu równomiernego wynosi 5/9. Jest to również jego wartość dla rozkładu wykładniczego . Wartości większe niż 5/9 mogą wskazywać na rozkład bimodalny lub multimodalny, chociaż odpowiednie wartości mogą również skutkować silnie skośnymi rozkładami unimodalnymi. Maksymalną wartość (1,0) osiąga tylko rozkład Bernoulliego z tylko dwiema różnymi wartościami lub suma dwóch różnych funkcji delta Diraca (rozkład bi-delta).

Rozkład tej statystyki jest nieznany. Wiąże się to ze statystyką zaproponowaną wcześniej przez Pearsona – różnicą między kurtozą a kwadratem skośności ( vide infra ).

Amplituda bimodalności

Jest to określone jako

${\ Displaystyle A_ {B} = {\ Frac {A_ {1} -A_ {an}} {A_ {1}}}}$

gdzie A1 jest amplitudą mniejszego piku, a _Aan jest amplitudą antymodu _.

A _B jest zawsze < 1. Większe wartości wskazują na wyraźniejsze piki.

Stosunek bimodalny

Jest to stosunek lewego i prawego piku. Matematycznie

${\ Displaystyle R = {\ Frac {A_ {r}} {A_ {l}}}}$

gdzie Al i Ar są odpowiednio amplitudami lewego i prawego _{piku .}

Parametr bimodalności

Ten parametr ( B ) pochodzi od Wilcocka.

${\ Displaystyle B = {\ sqrt {\ Frac {A_ {r}} {A_ {l}}}} \ suma P_ {i}}$

gdzie Al _i Ar są odpowiednio amplitudami lewego i prawego piku, a _Pi jest logarytmem do podstawy 2 proporcji rozkładu w i- _tym ^przedziale . Maksymalna wartość ΣP wynosi 1, ale wartość B może być większa.

Aby użyć tego indeksu, pobierany jest dziennik wartości. Dane są następnie dzielone na przedziały o szerokości Φ, których wartość jest równa log 2. Przyjmuje się, że szerokość pików jest czterokrotna 1/4Φ pośrodku ich wartości maksymalnych.

Wskaźniki bimodalności

Indeks Wanga

Indeks bimodalności zaproponowany przez Wanga i wsp. zakłada, że ​​rozkład jest sumą dwóch rozkładów normalnych o równych wariancjach, ale różnych średnich. Jest zdefiniowany w następujący sposób:

${\ Displaystyle \ delta = {\ Frac {|\ mu _ {1} - \ mu _ {2} |} {\ sigma}}}$

gdzie μ ₁ , μ ₂ to średnie, a σ to wspólne odchylenie standardowe.

${\ Displaystyle BI = \ delta {\ sqrt {p (1-p)}}}$

gdzie p jest parametrem mieszania.

Indeks Sturrocka

Sturrock zaproponował inny wskaźnik bimodalności.

Indeks ten ( B ) jest zdefiniowany jako

${\ Displaystyle B = {\ Frac {1} {N}} \left[\left(\sum _{1}^{N}\cos(2\pi m\gamma )\right)^{2}+\left(\sum _{1}^{N}\sin( 2\pi m\gamma )\right)^{2}\right]}$

Kiedy m = 2 i γ jest równomiernie rozłożone, B ma rozkład wykładniczy.

Ta statystyka jest formą periodogramu . Cierpi na typowe problemy z oszacowaniem i wyciekiem widmowym, typowe dla tej formy statystyki.

indeks de Michele i Accatino

Inny wskaźnik bimodalności zaproponowali de Michele i Accatino. Ich indeks ( B ) to

${\ Displaystyle B = |\ mu - \ mu _ {M} |}$

gdzie μ jest średnią arytmetyczną próbki i

${\ Displaystyle \ mu _ {M} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {L} m_ {i} x_ {i}}{\suma _{i=1}^{L}m_{i}}}}$

gdzie m _i to liczba punktów danych w i- ^tym przedziale, x _i to środek i- ^tego przedziału, a L to liczba przedziałów.

Autorzy zaproponowali wartość odcięcia 0,1 dla B , aby rozróżnić rozkład bimodalny ( B > 0,1) i unimodalny ( B < 0,1). Dla tej wartości nie przedstawiono żadnego uzasadnienia statystycznego.

Indeks Sambrooka Smitha

Kolejny indeks ( B ) zaproponowali Sambrook Smith i in

${\ Displaystyle B = | \ phi _ {2} - \ phi _ {1} | {\ Frac {p_ {2}} {p_ {1}}}}$

gdzie p ₁ i p ₂ są proporcjami zawartymi w modzie pierwotnym (tym o większej amplitudzie) i wtórnym (tym o mniejszej amplitudzie), a φ ₁ i φ ₂ są wielkościami φ modu pierwotnego i wtórnego. Rozmiar φ definiuje się jako minus jeden razy logarytm rozmiaru danych do podstawy 2. Transformacja ta jest powszechnie stosowana w badaniu osadów.

Autorzy zalecili wartość odcięcia 1,5, gdzie B jest większe niż 1,5 dla rozkładu bimodalnego i mniejsze niż 1,5 dla rozkładu unimodalnego. Nie podano statystycznego uzasadnienia dla tej wartości.

Metoda Otsu

Metoda Otsu na znalezienie progu separacji między dwoma trybami polega na minimalizacji ilości

$${\ Displaystyle {\ Frac {n_ {1} \ sigma _ {1} ^ {2} + n_ {2} \ sigma _ {2} ^ {2} }{m\sigma^{2}}}}$$

gdzie n _i to liczba punktów danych w i - ^tej subpopulacji, σ _i ² to wariancja i - ^tej subpopulacji, m to całkowita wielkość próby, a σ ² to wariancja próby. Niektórzy badacze (szczególnie w dziedzinie cyfrowego przetwarzania obrazu ) zastosowali tę wielkość szerzej jako wskaźnik wykrywania bimodalności, przy czym mała wartość wskazuje na bardziej bimodalny rozkład.

Testy statystyczne

Dostępnych jest wiele testów pozwalających określić, czy zbiór danych jest dystrybuowany w sposób bimodalny (lub multimodalny).

Metody graficzne

W badaniu osadów wielkość cząstek jest często bimodalna. Empirycznie okazało się przydatne wykreślenie częstotliwości w funkcji logarytmu (rozmiaru) cząstek. Zwykle daje to wyraźne rozdzielenie cząstek na rozkład bimodalny. W zastosowaniach geologicznych logarytm jest zwykle przyjmowany do podstawy 2. Przekształcone wartości logarytmiczne są określane jako jednostki phi (Φ). Ten system jest znany jako Krumbeina (lub phi).

Alternatywną metodą jest wykreślenie logarytmu wielkości cząstek w funkcji skumulowanej częstotliwości. Ten wykres będzie zwykle składał się z dwóch rozsądnie prostych linii z linią łączącą odpowiadającą antymodowi.

Statystyka

Przybliżone wartości dla kilku statystyk można wyprowadzić z wykresów graficznych.

${\ Displaystyle {\ mathit {Średnia}} = {\ Frac {\ phi _ {16} + \ phi _ {50} + \ phi _ {84}} {3}}}$

$_{95}-\phi _{5}}{6.6}}}$

$StdDev}} = {\ Frac {\ phi _ {84} - \ phi _ {16}}{4}}+{\frac {\$

${\ Displaystyle {\ mathit {Pochylenie}} = {\ frac {\phi _{84}+\phi _{16}-2\phi _{50}}{2(\phi _{84}-\phi _{16})}}+{\frac {\phi _{95}+\phi _{5}-2\phi _{50}}{2(\phi _{95}-\phi _{5})}}}$

${\ Displaystyle {\ mathit {Kurt}} = {\ Frac {\ fi _ {95} - \ fi _ {5}} {2,44 (\ fi _{75}-\phi_{25})}}}$

gdzie Mean to średnia, StdDev to odchylenie standardowe, Skew to skośność, Kurt to kurtoza, a φ _x to wartość zmiennej φ w x ^-tym procencie rozkładu.

Dystrybucja unimodalna vs. bimodalna

Pearson w 1894 roku jako pierwszy opracował procedurę sprawdzania, czy rozkład można rozłożyć na dwa rozkłady normalne. Ta metoda wymagała rozwiązania wielomianu dziewiątego rzędu . W kolejnym artykule Pearson podał, że dla dowolnej skośności rozkładu ² + 1 < kurtoza. Później Pearson to pokazał

${\ Displaystyle b_ {2} -b_ {1} \ geq 1}$

gdzie b ₂ to kurtoza, a b ₁ to kwadrat skośności. Równość obowiązuje tylko dla dwupunktowego rozkładu Bernoulliego lub sumy dwóch różnych funkcji delta Diraca . Są to najbardziej skrajne możliwe przypadki bimodalności. Kurtoza w obu tych przypadkach wynosi 1. Ponieważ oba są symetryczne, ich skośność wynosi 0, a różnica wynosi 1.

Baker zaproponował transformację w celu przekształcenia rozkładu bimodalnego w rozkład jednomodalny.

Zaproponowano kilka testów unimodalności i bimodalności: Haldane zasugerował jeden oparty na drugich centralnych różnicach. Larkin wprowadził później test oparty na teście F; Benett stworzył jeden na podstawie testu G Fishera . Tokeshi zaproponował czwarty test. Holzmann i Vollmer zaproponowali test oparty na współczynniku wiarygodności.

Zaproponowano metodę opartą na ocenie punktowej i testach Walda. Ta metoda umożliwia rozróżnienie rozkładów unimodalnych i bimodalnych, gdy znane są podstawowe rozkłady.

Testy antymodowe

Znane są testy statystyczne dla antymodu.

Metoda Otsu

Metoda Otsu jest powszechnie stosowana w grafice komputerowej do określania optymalnej separacji między dwoma rozkładami.

Testy ogólne

Aby sprawdzić, czy rozkład jest inny niż jednomodalny, opracowano kilka dodatkowych testów: test szerokości pasma, test zanurzenia, test nadmiaru masy, test MAP, test istnienia modu, test runt, test rozpiętości i siodło test.

Implementacja testu zanurzeniowego jest dostępna dla języka programowania R. Wartości p dla wartości statystyki dip wahają się od 0 do 1. Wartości p mniejsze niż 0,05 wskazują na znaczącą multimodalność, a wartości p większe niż 0,05, ale mniejsze niż 0,10 sugerują multimodalność o marginalnym znaczeniu.

Próba Silvermana

Silverman wprowadził metodę ładowania początkowego dla liczby trybów. Test wykorzystuje stałą przepustowość, co zmniejsza moc testu i jego interpretowalność. Pod wygładzonymi gęstościami może występować nadmierna liczba modów, których liczba podczas ładowania początkowego jest niestabilna.

Test Bajgiera-Aggarwala

Bajgier i Aggarwal zaproponowali test oparty na kurtozie rozkładu.

Przypadki specjalne

Dostępne są dodatkowe testy dla wielu szczególnych przypadków:

Mieszanina dwóch rozkładów normalnych

Badanie gęstości mieszaniny danych o dwóch rozkładach normalnych wykazało, że rozdzielenie na dwa rozkłady normalne było trudne, chyba że średnie były rozdzielone o 4–6 odchyleń standardowych.

W astronomii algorytm Kernel Mean Matching jest używany do decydowania, czy zbiór danych należy do pojedynczego rozkładu normalnego, czy do mieszaniny dwóch rozkładów normalnych.

Rozkład normalny beta

Rozkład ten jest bimodalny dla pewnych wartości parametrów is. Opisano test dla tych wartości.

Estymacja parametrów i krzywe dopasowywania

Zakładając, że wiadomo, że rozkład jest bimodalny lub wykazano, że jest on bimodalny w jednym lub kilku powyższych testach, często pożądane jest dopasowanie krzywej do danych. To może być trudne.

Metody bayesowskie mogą być przydatne w trudnych przypadkach.

Oprogramowanie

Dwa rozkłady normalne

Pakiet dla R jest dostępny do testowania bimodalności. Ten pakiet zakłada, że ​​dane są rozłożone jako suma dwóch rozkładów normalnych. Jeśli to założenie nie jest poprawne, wyniki mogą nie być wiarygodne. Zawiera również funkcje dopasowujące sumę dwóch rozkładów normalnych do danych.

Zakładając, że rozkład jest mieszaniną dwóch rozkładów normalnych, do wyznaczenia parametrów można zastosować algorytm maksymalizacji oczekiwań. Dostępnych jest do tego kilka programów, w tym Cluster i pakiet R nor1mix.

Inne dystrybucje

Pakiet mixtools dostępny dla R może testować i szacować parametry wielu różnych dystrybucji. Dostępny jest pakiet dla mieszaniny dwóch prawostronnych rozkładów gamma.

Dostępnych jest kilka innych pakietów dla R pasujących do modeli mieszanych; obejmują one flexmix, mcclust, agrmt i mixdist.

Język programowania statystycznego SAS może również pasować do różnych rozkładów mieszanych za pomocą procedury PROC FREQ.

Liczba biegaczy w parku według pory dnia (X w godzinach) w bimodalnym rozkładzie prawdopodobieństwa

Przykładowe zastosowanie oprogramowania

Program CumFreqA do dopasowywania złożonych rozkładów prawdopodobieństwa do zbioru danych (X) może podzielić zbiór na dwie części o różnym rozkładzie. Rysunek przedstawia przykład podwójnie uogólnionego lustrzanego rozkładu Gumbela , jak w przypadku dopasowania rozkładu z równaniami skumulowanej funkcji dystrybucji (CDF):

 X < 8,10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(0,092X  ^  0,01+935)}] X > 8,10 : CDF = 1 - exp[-exp{-(-0,0039X  ^  2,79+1,05)}] 

Zobacz też

• Nadmierna dyspersja