Emanuela Lodewijka Elte

Emanuel Lodewijk Elte (16 marca 1881 w Amsterdamie – 9 kwietnia 1943 w Sobiborze ) był holenderskim matematykiem . Jest znany z odkrywania i klasyfikowania półregularnych polytopów w wymiarach czterech i wyższych.

Ojciec Elte, Hartog Elte, był dyrektorem szkoły w Amsterdamie. Emanuel Elte poślubił Rebeccę Stork w 1912 roku w Amsterdamie, kiedy był nauczycielem w liceum w tym mieście. Do 1943 roku rodzina mieszkała w Haarlemie . Kiedy 30 stycznia tego roku w tym mieście rozstrzelano niemieckiego oficera, w odwecie stu mieszkańców Haarlemu przewieziono do obozu Vught , w tym Elte i jego rodzinę. Jako Żydzi został z żoną wywieziony dalej do Sobiboru, gdzie zostali zamordowani; dwójka jego dzieci została zamordowana w Auschwitz .

Półregularne polytopy Elte pierwszego rodzaju

Jego praca ponownie odkryła skończone półregularne polytopy Thorolda Gosseta , a ponadto pozwoliła nie tylko na regularne fasetki , ale także rekurencyjnie dopuszczając jedną lub dwie półregularne. Zostały one wyliczone w jego książce z 1912 r., The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces . Nazwał je półregularnymi polytopami pierwszego rodzaju , ograniczając swoje poszukiwania do jednego lub dwóch typów regularnych lub półregularnych k -twarzy. Te i inne polytopy zostały ponownie odkryte przez Coxetera i przemianowane na część większej klasy jednolitych polytopów . W trakcie tego procesu odkrył wszystkich głównych przedstawicieli wyjątkowej rodziny polytopów E _{n , z wyjątkiem tylko} 142 _. , które nie spełniały jego definicji półregularności

Podsumowanie półregularnych polytopów pierwszego rodzaju

N	notacja Elte	Wierzchołki	Krawędzie	Twarze	Komórki	aspekty	Symbol Schläfliego	Symbol Coxetera	Diagram Coxetera
Wielościany ( bryły Archimedesa )
3	tT	12	18	4p 3 + 4p 6			t{3,3}
	TC	24	36	6 pensów 8 + 8 pensów 3			t{4,3}
	Do	24	36	6 pensów 4 + 8 pensów 6			t{3,4}
	tD	60	90	20 pensów 3 + 12 pensów 10			t{5,3}
	tI	60	90	20 pensów 6 + 12 pensów 5			t{3,5}
	TT = O	6	12	(4+4)str 3			r{3,3} = {3 1,1 }	011
	WSPÓŁ	12	24	6 pensów 4 + 8 pensów 3			r{3,4}
	ID	30	60	20 pensów 3 + 12 pensów 5			r{3,5}
	P q	2q	4q	2p q +qp 4			t{2,q}
	AP q	2q	4q	2p q + 2qp 3			s{2,2q}
półregularne 4-politopy
4	TC 5	10	30	(10+20)str 3	5O+5T		r{3,3,3} = {3 2,1 }	021
	TC 8	32	96	64p 3 +24p 4	8CO+16T		r{4,3,3}
	tC 16 = C 24 (*)	48	96	96p 3	(16+8)O		r{3,3,4}
	TC 24	96	288	96 s. 3 + 144 s. 4	24 CO + 24 C		r{3,4,3}
	TC 600	720	3600	(1200 + 2400) s. 3	600O + 120 I		r{3,3,5}
	TC 120	1200	3600	2400 s 3 + 720 s 5	120ID+600T		r{5,3,3}
	HM 4 = C 16 (*)	8	24	32 s. 3	(8+8)T		{3,3 1,1 }	1 11
	–	30	60	20 str. 3 + 20 str. 6	(5 + 5) tT		2 t {3,3,3}
	–	288	576	192 s. 3 + 144 s. 8	(24 + 24) tC		2 t {3,4,3}
	–	20	60	40 str. 3 + 30 str. 4	10 T + 20 P 3		t 0,3 {3,3,3}
	–	144	576	384 s. 3 + 288 s. 4	48O + 192 P 3		t 0,3 {3,4,3}
	–	q 2	2 q 2	q 2 p 4 + 2 qp q	( q + q ) P. q		2t { q , 2 , q }
półregularne 5-politopy
5	S 5 1	15	60	(20+60)str 3	30T+15O	6C 5 +6tC 5	r{3,3,3,3} = {3 3,1 }	031
	S 5 2	20	90	120 pensów 3	30T+30O	(6+6)C 5	2r{3,3,3,3} = {3 2,2 }	022
	HM 5	16	80	160p 3	(80+40)T	16C 5 +10C 16	{3,3 2,1 }	1 21
	5 1 _	40	240	(80+320)str 3	160T+80O	32tC 5 +10C 16	r{3,3,3,4}
	5 2 _	80	480	(320+320)str 3	80T+200O	32tC 5 +10C 24	2r{3,3,3,4}
półregularne 6-polytopy
6	S 6 1 (*)						r{3 5 } = {3 4,1 }	041
	S 6 2 (*)						2r{3 5 } = {3 3,2 }	032
	HM 6	32	240	640p 3	(160+480)T	32S 5 +12HM 5	{3,3 3,1 }	1 31
	V 27	27	216	720p 3	1080T	72S 5 +27HM 5	{3,3,3 2,1 }	2 21
	V 72	72	720	2160p 3	2160T	(27+27)HM 6	{3,3 2,2 }	1 22
półregularne 7-polytopy
7	S 7 1 (*)						r{3 6 } = {3 5,1 }	051
	S 7 2 (*)						2r{3 6 } = {3 4,2 }	042
	S 7 3 (*)						3r{3 6 } = {3 3,3 }	033
	HM 7 (*)	64	672	2240p 3	(560+2240)T	64S 6 +14HM 6	{3,3 4,1 }	1 41
	V 56	56	756	4032p 3	10080T	576S 6 +126Cr 6	{3,3,3,3 2,1 }	3 21
	V 126	126	2016	10080p 3	20160T	576S 6 +56V 27	{3,3,3 3,1 }	2 31
	V 576	576	10080	40320p 3	(30240+20160)T	126HM 6 +56V 72	{3,3 3,2 }	1 32
półregularne 8-polytopy
8	S 8 1 (*)						r{3 7 } = {3 6,1 }	061
	S 8 2 (*)						2r{3 7 } = {3 5,2 }	052
	S 8 3 (*)						3r{3 7 } = {3 4,3 }	043
	HM 8 (*)	128	1792	7168p 3	(1792+8960)T	128S 7 +16HM 7	{3,3 5,1 }	1 51
	V 2160	2160	69120	483840p 3	1209600T	17280S 7 +240V 126	{3,3,3 4,1 }	2 41
	V 240	240	6720	60480p 3	241920T	17280S 7 +2160Cr 7	{3,3,3,3,3 2,1 }	4 21

(*) Dodano w tej tabeli jako sekwencję rozpoznaną przez Elte, ale nie wymienioną wprost

Regularne rodziny wymiarowe:

• S _n = n - simplex : S ₃ , S ₄ , S ₅ , S ₆ , S ₇ , S ₈ , ...
• M _n = n - sześcian = miara polytope: M ₃ ​​, M ₄ , M ₅ , M ₆ , M ₇ , M ₈ , ...
• HM _n = n - półsześcian = politop półśrodka: HM ₃ , HM ₄ , M ₅ , M ₆ , HM ₇ , HM ₈ , ...
• Cr _n = n - ortopleks = krzyż polytope: Cr ₃ , Cr ₄ , Cr ₅ , Cr ₆ , Cr ₇ , Cr ₈ , ...

Półregularne polytopy pierwszego rzędu:

• V _n = półregularny polytop z n wierzchołkami

Wielokąty

• Pn ₌ regularny n gon -

Wielościany:

• Regularne: T , C , O , I , D
• Obcięte: tT , tC , tO , tI , tD
• Quasiregularny (rektyfikowany): CO , ID
• Kantelowane: RCO , RID
• Obcięte quasiregularne ( omnitruncated ): tCO , tID
• Pryzmatyczny: P _n , AP _n

4-politopy:

• C _n = Regularne 4-politopy z n komórkami: C ₅ , C ₈ , C ₁₆ , C ₂₄ , C ₁₂₀ , C ₆₀₀
• rektyfikowane: tC ₅ , tC ₈ , tC ₁₆ , tC ₂₄ , tC ₁₂₀ , tC ₆₀₀

Zobacz też

• Dane Gosset-Elte