Lista k-jednolitych nachyleń

Przykład k - równomierne nachylenie

1-mundur (regularny)	1-jednolity (półregularny)
2-jednolita płytka	3-jednolite układanie płytek

K - jednolite układanie jest układaniem płytek na płaszczyźnie wypukłymi wielokątami foremnymi , połączonymi krawędziami, z k typami wierzchołków. 1-jednolite nachylenie obejmuje 3 regularne nachylenia i 8 półregularnych nachyleń. Jednolite kafelkowanie można zdefiniować za pomocą konfiguracji wierzchołków . Wyższe k -jednolite nachylenia są wymienione według ich liczb wierzchołków, ale generalnie nie są jednoznacznie identyfikowane w ten sposób.

Pełne listy k -jednolitych nachyleń zostały wyliczone do k = 6 . Jest 20 2-jednolitych nachyleń, 61 3-jednolitych nachyleń, 151 4-jednolitych nachyleń, 332 5-jednolitych nachyleń i 673 6-jednolitych nachyleń. W tym artykule wymieniono wszystkie rozwiązania do k = 5.

To kwadratowe kafelkowanie jest izogonalne i izoedryczne , ale nie jest jednolite, ponieważ nie jest sklejone od krawędzi do krawędzi.

Inne nachylenia regularnych wielokątów, które nie są od krawędzi do krawędzi , umożliwiają wielokąty o różnych rozmiarach i ciągłe przesuwanie pozycji kontaktu.

Klasyfikacja

3-jednolite układanie płytek nr 57 z 61 kolorowych

po bokach, żółte trójkąty, czerwone kwadraty (po wielokątach)

według 4-izoedrycznych pozycji, 3 cieniowane kolory trójkątów (po orbitach)

Takie okresowe nachylenia wypukłych wielokątów można sklasyfikować według liczby orbit wierzchołków, krawędzi i płytek. Jeśli istnieje k orbit wierzchołków, kafelkowanie jest znane jako k -jednolite lub k - izogonalne ; jeśli jest t orbit płytek, jako t - izoedryczny ; jeśli istnieje e orbit krawędzi, jak e - izotoksal .

k -jednolite nachylenia z tymi samymi figurami wierzchołków można dodatkowo zidentyfikować na podstawie symetrii ich grup tapet .

Wyliczenie

1-jednolite nachylenie obejmuje 3 regularne nachylenia i 8 półregularnych, z 2 lub więcej typami regularnych ścian wielokątów. Jest 20 2-jednolitych nachyleń, 61 3-jednolitych nachyleń, 151 4-jednolitych nachyleń, 332 5-jednolitych nachyleń i 673 6-jednolitych nachyleń. Każdy z nich można pogrupować według liczby m odrębnych figur wierzchołków, które są również nazywane m -archimedesowymi nachyleniami .

Wreszcie, jeśli liczba typów wierzchołków jest taka sama jak jednorodność ( m = k poniżej), to mówi się, że kafelkowanie jest Krotenheerdt . Ogólnie rzecz biorąc, jednorodność jest większa lub równa liczbie typów wierzchołków ( m ≥ k ), ponieważ różne typy wierzchołków z konieczności mają różne orbity, ale nie odwrotnie. Zakładając m = n = k , istnieje 11 takich nachyleń dla n = 1; 20 takich nachyleń dla n = 2; 39 takich nachyleń dla n = 3; 33 takie nachylenia dla n = 4; 15 takich nachyleń dla n = 5; 10 takich nachyleń dla n = 6; i 7 takich nachyleń dla n = 7.

k -uniform, m -liczba kafelków Archimedesa

		m -Archimedes
		1	2	3	4	5	6	Całkowity
k -mundur	1	11	0					11
	2	0	20	0				20
	3	0	22	39	0			61
	4	0	33	85	33	0		151
	5	0	74	149	94	15	0	332
	6	0	100	284	187	92	10	673
	Całkowity	11	∞	∞	∞	∞	∞	∞

1-jednolite nachylenie (regularne)

Mówi się, że kafelkowanie jest regularne , jeśli grupa symetrii kafelkowania działa przechodnie na flagi kafelka, gdzie flaga jest potrójną składającą się z wzajemnie incydentalnego wierzchołka , krawędzi i kafelka kafelka. Oznacza to, że dla każdej pary flag istnieje operacja symetrii odwzorowująca pierwszą flagę na drugą. Jest to równoważne układaniu kafelków od krawędzi do krawędzi przez przystające regularne wielokąty. Musi być sześć trójkątów równobocznych , cztery kwadraty lub trzy regularne sześciokąty w wierzchołku, dające trzy regularne teselacje.

Dalsze informacje: List_of_regular_polytopes_and_compounds § Euclidean_tilings

Regularne płytki (3)

p6m, *632		p4m, *442
3 6 (t=1, e=1)	6 3 (t=1, e=1)	4 4 (t=1, e=1)

Nachylenia m-archimedesowe i k-jednolite

Dalsze informacje: Lista wypukłych jednolitych nachyleń

Przechodniość wierzchołków oznacza, że ​​dla każdej pary wierzchołków istnieje operacja symetrii odwzorowująca pierwszy wierzchołek na drugi.

Jeśli wymóg przechodniości flagi zostanie złagodzony do przechodniości wierzchołków, przy zachowaniu warunku, że kafelkowanie jest od krawędzi do krawędzi, możliwych jest osiem dodatkowych nachyleń, znanych jako nachylenia archimedesowe , jednolite lub półregularne . Należy zauważyć, że istnieją dwie formy lustrzanego odbicia (enancjomorficzne lub chiralne ) kafelkowania 3 ^{4 ,} 6 (zadarte sześciokątne), z których tylko jedna jest pokazana w poniższej tabeli. Wszystkie inne regularne i półregularne nachylenia są achiralne.

Grünbaum i Shephard rozróżniają opis tych nachyleń jako Archimedesa jako odnoszący się tylko do lokalnej właściwości ułożenia płytek wokół każdego wierzchołka, który jest taki sam, i tak jednolity , jak odnoszący się do globalnej właściwości przechodniości wierzchołków. Chociaż dają one ten sam zestaw nachyleń na płaszczyźnie, w innych przestrzeniach występują nachylenia Archimedesa, które nie są jednolite.

1-nachylenie jednolite (półregularne)

Jednolite płytki (8)

p6m, *632
[ 3,12 2 ] (t=2, e=2)	[ 3.4.6.4 ] (t=3, e=2)	[ 4.6.12 ] (t=3, e=3)	[ (3.6) 2 ] (t=2, e=1)
[ 4,8 2 ] (t=2, e=2)	[ 3 2 .4.3.4 ] (t=2, e=2)	[ 3 3 .4 2 ] (t=2, e=3)	[ 3 4 , 6 ] (t=3, e=3)

2-jednolite płytki

Istnieje dwadzieścia (20) 2-jednolitych nachyleń płaszczyzny euklidesowej. (nazywane również nachyleniem 2- izogonalnym lub nachyleniem półregularnym ) Typy wierzchołków są wymienione dla każdego. Jeśli dwa nachylenia mają te same dwa typy wierzchołków, otrzymują indeksy dolne 1,2.

Dachówki 2-jednolite (20)

p6m, *632						p4m, *442
[3 6 ; 3 2 .4.3.4 (t=3, e=3)	[3.4.6.4; 3 2 .4.3.4 (t=4, e=4)	[3.4.6.4; 3 3 ,4 2 ] (t=4, e=4)	[3.4.6.4; 3,4 2,6 ] (t=5, e=5)	[4.6.12; 3.4.6.4] (t=4, e=4)	[3 6 ; 3 2 .4.12] (t=4, e=4)	[3.12.12; 3.4.3.12] (t=3, e=3)
p6m, *632	s6, 632	s6, 632	cm, 2*22	pm, *2222	cm, 2*22	pm, *2222
[3 6 ; 3 2 .6 2 ] (t=2, e=3)	[3 6 ; 3 4 .6] 1 (t=3, e=3)	[3 6 ; 3 4 .6] 2 (t=5, e=7)	[3 2 .6 2 ; 3 4 .6] (t=2, e=4)	[3.6.3.6; 3 2 .6 2 ] (t=2, e=3)	[3,4 2,6 ; 3.6.3.6] 2 (t=3, e=4)	[3,4 2,6 ; 3.6.3.6] 1 (t=4, e=4)
p4g, 4*2	pgg, 22×	cm, 2*22	cm, 2*22	pm, *2222	cm, 2*22
[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 1 (t=4, e=5)	[3 3 .4 2 ; 3 2 .4.3.4] 2 (t=3, e=6)	[4 4 ; 3 3 ,4 2 ] 1 (t=2, e=4)	[4 4 ; 3 3 ,4 2 ] 2 (t=3, e=5)	[3 6 ; 3 3 ,4 2 ] 1 (t=3, e=4)	[3 6 ; 3 3 ,4 2 ] 2 (t=4, e=5)

3-jednolite płytki

Istnieje 61 3-jednolitych nachyleń płaszczyzny euklidesowej. 39 to 3-archimedesowe z 3 różnymi typami wierzchołków, podczas gdy 22 ma 2 identyczne typy wierzchołków na różnych orbitach symetrii. Chavey (1989)

3-jednolite nachylenia, 3 typy wierzchołków

3-jednolite nachylenia z 3 typami wierzchołków (39)

[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4.6.12] (t=6, e=7)	[3 6 ; 3 2 4.12; 4.6.12] (t=5, e=6)	[3 2 4.12; 3.4.6.4; 3,12 2 ] (t=5, e=6)	[3.4.3.12; 3.4.6.4; 3,12 2 ] (t=5, e=6)	[3 3 4 2 ; 3 2 4.12; 3.4.6.4] (t=6, e=8)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4,12] (t=6, e=7)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3 2 4,12] (t=5, e=6)	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (t=5, e=6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3,4 2 6] (t=5, e=6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (t=5, e=6)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3.4.6.4] (t=6, e=6)	[3 6 ; 3 2 4.3.4; 3.4.6.4] (t=6, e=6)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4] (t=4, e=5)	[3 2 4.12; 3.4.3.12; 3,12 2 ] (t=4, e=7)	[3.4.6.4; 3,4 2 6; 4 4 ] (t=3, e=4)
[3 2 4.3.4; 3.4.6.4; 3,4 2 6] (t=4, e=6)	[3 3 4 2 ; 3 2 4.3.4; 4 4 ] (t=4, e=6)	[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t=5, e=7)	[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t=6, e=7)	[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t=4, e=5)
[3.4 2 6; 3.6.3.6; 4 4 ] (t=5, e=6)	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3,4 2 6] (t=5, e=8)	[3 2 6 2 ; 3,4 2 6; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[3 2 6 2 ; 3,4 2 6; 3.6.3.6] (t=5, e=7)	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3,4 2 6] (t=5, e=7)
[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (t=4, e=5)	[3 2 6 2 ; 3.6.3.6; 6 3 ] (t=2, e=4)	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (t=2, e=5)	[3 6 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ] (t=2, e=3)	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t=5, e=8)
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t=3, e=5)	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ] (t=3, e=6)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t=5, e=6)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t=4, e=4)	[3 6 ; 3 4 6; 3.6.3.6] (t=3, e=3)
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t=4, e=6)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t=5, e=7)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t=3, e=5)	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ] (t=4, e=6)

3-jednolite nachylenia, 2 typy wierzchołków (2:1)

3-jednolite nachylenie (2:1) (22)

[(3.4.6.4)2; 3,4 2 6] (t=6, e=6)	[(3 6 )2; 3 4 6] (t=3, e=4)	[(3 6 )2; 3 4 6] (t=5, e=5)	[(3 6 )2; 3 4 6] (t=7, e=9)	[3 6 ; (3 4 6)2] (t=4, e=6)
[3 6 ; (3 2 4.3.4)2] (t=4, e=5)	[(3,4 2 6)2; 3.6.3.6] (t=6, e=8)	[3.4 2 6; (3.6.3.6)2] (t=4, e=6)	[3.4 2 6; (3.6.3.6)2] (t=5, e=6)	[3 2 6 2 ; (3.6.3.6)2] (t=3, e=5)
[(3 4 6)2; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[(3 4 6)2; 3.6.3.6] (t=4, e=7)	[3 3 4 2 ; (4 4 )2] (t=4, e=7)	[(3 3 4 2 )2; 4 4 ] (t=5, e=7)	[3 3 4 2 ; (4 4 )2] (t=3, e=6)
[(3 3 4 2 )2; 4 4 ] (t=4, e=6)	[(3 3 4 2 )2; 3 2 4.3.4] (t=5, e=8)	[3 3 4 2 ; (3 2 4.3.4)2] (t=6, e=9)	[3 6 ; (3 3 4 2 )2] (t=5, e=7)	[3 6 ; (3 3 4 2 )2] (t=4, e=6)
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ] (t=6, e=7)	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ] (t=5, e=6)

4-jednolite płytki

Istnieje 151 4-jednolitych nachyleń płaszczyzny euklidesowej. Wyszukiwanie Briana Galebacha odtworzyło listę 33 4-jednolitych nachyleń Krotenheerdta z 4 różnymi typami wierzchołków, a także znalazło 85 z nich z 3 typami wierzchołków i 33 z 2 typami wierzchołków.

4-jednolite nachylenia, 4 typy wierzchołków

Istnieje 33 z 4 rodzajami wierzchołków.

4-jednolite nachylenia z 4 typami wierzchołków (33)

[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12]	[33434; 3 2 6 2 ; 3446; 46.12]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12]	[3 6 ; 33434; 334,12; 3.12 2 ]
[3 6 ; 33434; 343,12; 3.12 2 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 33434; 3464; 3446]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[334.12; 343,12; 3464; 46.12]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 4 4 ]	[3 3 4 2 ; 334,12; 343,12; 3.12 2 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; 33434; 4 4 ]	[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]

4-jednolite nachylenia, 3 typy wierzchołków (2:1:1)

Istnieje 85 z 3 rodzajami wierzchołków.

4-jednolite nachylenie (2:1:1)

[3464; (3446) 2 ; 46.12]	[3464; 3446; (46.12) 2 ]	[334.12; 3464; (3,12 2 ) 2 ]	[343,12; 3464; (3,12 2 ) 2 ]	[33434; 343,12; (3464) 2 ]
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 334.12]	[(3464) 2 ; 3446; 3636]	[3464; 3446; (3636) 2 ]	[3464; (3446) 2 ; 3636]	[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 33434]
[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 33434]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]	[3 6 ; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]	[3 6 ; (3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636]	[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2 ]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636) 2 ]	[3 3 4 2 ; 33434; (3464) 2 ]	[3 6 ; 33434; (3464) 2 ]
[3 6 ; (33434) 2 ; 3464]	[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 3464]	[(3464) 2 ; 3446; 3636]	[3 4 6; (33434) 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434) 2 ]	[(3 3 4 2 ) 2 ; 33434; 4 4 ]	[(3 3 4 2 ) 2 ; 33434; 4 4 ]	[3464; (3446) 2 ; 4 4 ]	[33434; (334.12) 2 ; 343.12]
[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 ) 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ]	[(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[(3 6 ) 2 ; 3 4 6; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636]	[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 3636]	[(3 4 6) 2 ; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3636) 2 ]	[3 2 6 2 ; (3636) 2 ; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; (3636) 2 ; 6 3 ]	[(3 2 6 2 ) 2 ; 3636; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 ) 2 ]
[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 ) 2 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 ) 2 ; 3636]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2 ]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636) 2 ]	[3 4 6; (3 3 4 2 ) 2 ; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 ) 2 ; 3636]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446) 2 ]	[3446; 3636; (4 4 ) 2 ]	[3446; 3636; (4 4 ) 2 ]	[3446; 3636; (4 4 ) 2 ]
[3446; 3636; (4 4 ) 2 ]	[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]	[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]	[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]	[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]
[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]	[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]	[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]	[(3446) 2 ; 3636; 4 4 ]	[3446; (3636) 2 ; 4 4 ]
[3446; (3636) 2 ; 4 4 ]	[3446; (3636) 2 ; 4 4 ]	[3446; (3636) 2 ; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 ) 2 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 ) 2 ; 4 4 ]	[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[(3 6 ) 2 ; 3 3 4 2 ; 4 4 ]

4-jednolite nachylenia, 2 typy wierzchołków (2:2) i (3:1)

Istnieje 33 z 2 typami wierzchołków, 12 z dwiema parami typów i 21 ze stosunkiem typów 3:1.

4-jednolite nachylenie (2:2)

[(3464) 2 ; (46.12) 2 ]	[(33434) 2 ; (3464) 2 ]	[(33434) 2 ; (3464) 2 ]	[(3 4 6) 2 ; (3636) 2 ]	[(3 6 ) 2 ; (3 4 6) 2 ]
[(3 3 4 2 ) 2 ; (33434) 2 ]	[(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ]	[(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ]	[(3 3 4 2 ) 2 ; (4 4 ) 2 ]	[(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ]
[(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ]	[(3 6 ) 2 ; (3 3 4 2 ) 2 ]

4-jednolite nachylenie (3:1)

[343,12; (3,12 2 ) 3 ]	[(3 4 6) 3 ; 3636]	[3 6 ; (3 4 6) 3 ]	[(3 6 ) 3 ; 3 4 6]	[(3 6 ) 3 ; 3 4 6]
[(3 3 4 2 ) 3 ; 33434]	[3 3 4 2 ; (33434) 3 ]	[3446; (3636) 3 ]	[3446; (3636) 3 ]	[3 2 6 2 ; (3636) 3 ]
[3 2 6 2 ; (3636) 3 ]	[3 3 4 2 ; (4 4 ) 3 ]	[3 3 4 2 ; (4 4 ) 3 ]	[(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ]	[(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ]
[(3 3 4 2 ) 3 ; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 ) 3 ]	[(3 6 ) 3 ; 3 3 4 2 ]
[(3 6 ) 3 ; 3 3 4 2 ]

5-jednolite płytki

Istnieją 332 5-jednolite nachylenia płaszczyzny euklidesowej. Wyszukiwanie Briana Galebacha zidentyfikowało 332 5-jednolite nachylenie, z 2 do 5 typami wierzchołków. Istnieje 74 z 2 typami wierzchołków, 149 z 3 typami wierzchołków, 94 z 4 typami wierzchołków i 15 z 5 typami wierzchołków.

5-jednolitych nachyleń, 5 typów wierzchołków

Istnieje 15 5-jednolitych nachyleń z 5 unikalnymi typami figur wierzchołków.

5-jednolite płytki, 5 rodzajów

[33434; 3 2 6 2 ; 3464; 3446; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 46.12]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434; 3446; 4 4 ]	[3 6 ; 33434; 3464; 3446; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; 3464; 3446; 3636]	[33434; 334,12; 3464; 3.12.12; 46.12]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446]

5-jednolite nachylenie, 4 typy wierzchołków (2:1:1:1)

Istnieje 94 5-jednolitych nachyleń z 4 typami wierzchołków.

5-jednolite nachylenie (2:1:1:1)

[3 6 ; 33434; (3446)2; 46.12]	[3 6 ; 33434; 3446; (46.12)2]	[3 6 ; 33434; 3464; (46.12)2]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (334.12)2; 3464]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 334,12; 3464]
[3 6 ; 33434; (334.12)2; 3464]	[3 6 ; 33434; 334,12; (3.12.12)2]	[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 334.12]	[3 6 ; 33434; 343,12; (3.12.12)2]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 3.12.12]
[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 3.12.12]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; 343,12; 4 4 ]	[33434; 3 2 6 2 ; (3446)2; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 33434; 4 4 ]
[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2]	[33434; 3 2 6 2 ; 3464; (3446)2]	[3 6 ; 33434; (3446)2; 3636]	[3 3 4 2 ; 33434; 3464; (3446)2]
[3 6 ; 33434; (3 2 6 2 )2; 3446]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446]	[33434; 3 2 6 2 ; (3464)2; 3446]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3464)2; 3446]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 3464]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (33434)2; 3464]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 33434; 334.12]
[3 6 ; 33434; (334.12)2; 343.12]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 33434]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (3636)2]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]
[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; 3636; 6 3 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 2 6 2 ; 6 3 ]
[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )2]	[3 6 ; 3 4 6; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]
[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )2]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; 3636; 6 3 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (6 3 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]
[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; 3636; (4 4 )2]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]
[3 2 6 2 ; 3446; (3636)2; 4 4 ]	[3 3 4 2 ; 3 2 6 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; 3446; (4 4 )2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3636; 4 4 ]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446; 3636]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3446; 3636]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; 3446; 3636]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; 3446; (3636)2]	[3 4 6; 3 3 4 2 ; (3446)2; 3636]
[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3446]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]
[3 6 ; (3 4 6)2; 3 3 4 2 ; 3446]	[3 6 ; 3 4 6; (3 3 4 2 )2; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636]	[(3 6 )2; 3 4 6; 3 3 4 2 ; 3636]

5-jednolite nachylenie, 3 typy wierzchołków (3:1:1) i (2:2:1)

Istnieje 149 5-jednolitych nachyleń, z których 60 ma kopie 3:1:1, a 89 ma kopie 2:2:1.

5-jednolite nachylenie (3:1:1)

[3 6 ; 334,12; (46.12)3]	[3464; 3446; (46.12)3]	[3 6 ; (334.12)3; 46.12]	[334.12; 343,12; (3.12.12)3]	[3 6 ; (33434)3; 343.12]
[3 2 6 2 ; 3636; (6 3 )3]	[3 4 6; 3 2 6 2 ; (6 3 )3]	[3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )3; 6 3 ]	[3 2 6 2 ; (3636)3; 6 3 ]
[3446; 3636; (4 4 )3]	[3446; 3636; (4 4 )3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]	[3446; (3636)3; 4 4 ]
[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]
[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[3446; 3636; (4 4 )3]	[3446; 3636; (4 4 )3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]	[3 6 ; 3 3 4 2 ; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )3; 3 2 6 2 ; 3446]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]	[3 2 6 2 ; 3446; (3636)3]
[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3446; (3636)3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[(3 6 )3; 3 3 4 2 ; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]	[3 6 ; (3 3 4 2 )3; 4 4 ]
[(3 3 4 2 )3; 3446; 3636]	[(3 3 4 2 )3; 3446; 3636]	[3 4 6; (3 3 4 2 )3; 3446]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636]	[3 4 6; (3 2 6 2 )3; 3636]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]
[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3 2 6 2 ]	[(3 4 6)3; 3 2 6 2 ; 3636]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]
[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[3 6 ; 3 4 6; (3636)3]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3636]	[(3 6 )3; 3 4 6; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)3; 3636]

5-jednolite nachylenie (2:2:1)

[(3446)2; (3636)2; 46.12]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 3464]	[(3 3 4 2 )2; 334,12; (3464)2]	[3 6 ; (33434)2; (3464)2]	[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]
[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]	[3 3 4 2 ; (33434)2; (3464)2]	[(33434)2; 343,12; (3464)2]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2]	[(3 2 6 2 )2; (3636)2; 6 3 ]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 33434]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (33434)2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]
[(3 2 6 2 )2; 3636; (6 3 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]
[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]
[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[3446; (3636)2; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]
[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[3 6 ; (3 3 4 2 )2; (4 4 )2]	[(3446)2; 3636; (4 4 )2]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )2; 4 4 ]	[(33434)2; 3 2 6 2 ; (3446)2]	[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2]
[3 3 4 2 ; (3 2 6 2 )2; (3446)2]	[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2]	[(3 2 6 2 )2; 3446; (3636)2]	[(3464)2; (3446)2; 3636]
[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[3 2 6 2 ; (3446)2; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]
[(3 4 6)2; (3446)2; 3636]	[(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636]	[(3 3 4 2 )2; (3446)2; 3636]	[(3 4 6)2; (3 3 4 2 )2; 3446]	[(3 4 6)2; 3 3 4 2 ; (3446)2]
[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[(3 6 )2; 3 4 6; (3 2 6 2 )2]	[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 6 3 ]	[3 6 ; (3 2 6 2 )2; (6 3 )2]
[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[3 4 6; (3 2 6 2 )2; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636]	[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[(3 4 6)2; 3 2 6 2 ; (3636)2]
[(3 4 6)2; (3 2 6 2 )2; 3636]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]
[3 6 ; (3 4 6)2; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3 2 6 2 ]	[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[3 6 ; (3 4 6)2; (3 2 6 2 )2]	[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2]
[3 4 6; (3 3 4 2 )2; (3636)2]	[(3 6 )2; 3 4 6; (3636)2]	[(3 6 )2; (3 4 6)2; 3636]	[(3 6 )2; 3 3 4 2 ; (33434)2]

5-jednolite nachylenie, 2 typy wierzchołków (4:1) i (3:2)

Istnieje 74 5-jednorodnych nachyleń z 2 typami wierzchołków, 27 z kopiami 4: 1 i 47 z kopiami 3: 2 każdego.

5-jednolite nachylenie (4:1)

[(3464)4; 46.12]	[343,12; (3.12.12)4]	[3 6 ; (33434)4]	[3 6 ; (33434)4]	[(3 6 )4; 3 4 6]
[(3 6 )4; 3 4 6]	[(3 6 )4; 3 4 6]	[3 6 ; (3 4 6)4]	[3 2 6 2 ; (3636)4]	[(3 4 6)4; 3 2 6 2 ]
[(3 4 6)4; 3 2 6 2 ]	[(3 4 6)4; 3636]	[3 2 6 2 ; (3636)4]	[3446; (3636)4]	[3446; (3636)4]
[(3 3 4 2 )4; 33434]	[3 3 4 2 ; (33434)4]
[3 3 4 2 ; (4 4 )4]	[3 3 4 2 ; (4 4 )4]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]	[(3 3 4 2 )4; 4 4 ]
[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[3 6 ; (3 3 4 2 )4]	[(3 6 )4; 3 3 4 2 ]	[(3 6 )4; 3 3 4 2 ]

Istnieje 29 5-jednolitych nachyleń z 3 i 2 unikalnymi typami figur wierzchołków.

5-jednolite nachylenie (3:2)

[(3464)2; (46.12)3]	[(3464)2; (46.12)3]	[(3464)3; (3446)2]	[(33434)2; (3464)3]	[(33434)3; (3464)2]
[(3 6 )2; (3 4 6)3]	[(3 6 )2; (3 4 6)3]	[(3 6 )3; (3 4 6)2]	[(3 6 )3; (3 4 6)2]	[(3 6 )3; (3 4 6)2]
[(3 6 )3; (3 4 6)2]	[(3 6 )2; (3 4 6)3]	[(3 6 )2; (3 4 6)3]	[(3 6 )2; (3 4 6)3]
[(3 2 6 2 )2; (3636)3]	[(3 4 6)3; (3636)2]	[(3 4 6)3; (3636)2]	[(3 4 6)2; (3636)3]
[(3446)3; (3636)2]	[(3446)2; (3636)3]	[(3446)3; (3636)2]	[(3446)2; (3636)3]	[(3446)2; (3636)3]
[(3 3 4 2 )3; (33434)2]	[(3 3 4 2 )3; (33434)2]	[(3 3 4 2 )2; (33434)3]	[(3 3 4 2 )2; (33434)3]
[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]
[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )2; (4 4 )3]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]	[(3 3 4 2 )3; (4 4 )2]
[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )2; (3 3 4 2 )3]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]
[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]	[(3 6 )3; (3 3 4 2 )2]

Wyższe nachylenia k-jednolite

k -jednolitych nachyleń zostało wyliczonych do 6. Istnieje 673 6-jednolitych nachyleń płaszczyzny euklidesowej. Wyszukiwanie Briana Galebacha odtworzyło listę 10 6-jednolitych nachyleń Krotenheerdta z 6 różnymi typami wierzchołków, a także znalazło 92 z nich z 5 typami wierzchołków, 187 z 4 typami wierzchołków, 284 z 3 typami wierzchołków i 100 z 2 typy wierzchołków.

•   Grünbaum, Branko; Pasterz, Geoffrey C. (1977). „Tilings przez regularne wielokąty”. Matematyka Mag . 50 (5): 227–247. doi : 10.2307/2689529 . JSTOR 2689529 .
•   Grünbaum, Branko; Shephard, GC (1978). „Dziewięćdziesiąt jeden rodzajów izogonalnych nachyleń w samolocie” . Trans. Jestem. Matematyka soc . 252 : 335–353. doi : 10.1090/S0002-9947-1978-0496813-3 . MR 0496813 .
•   Debroey, I.; Landuyt, F. (1981). „Równoprzechodnie nachylenia od krawędzi do krawędzi”. Geometria dedykowana . 11 (1): 47–60. doi : 10.1007/BF00183189 . S2CID 122636363 .
•   Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Płytki i wzory . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1 .
• Ren, Ding; Reay, John R. (1987). „Charakterystyka brzegowa i twierdzenie Picka w planarnych nachyleniach Archimedesa” . Dziennik teorii kombinatorycznej . Seria A. 44 (1): 110–119. doi : 10.1016/0097-3165(87)90063-X .
• Chavey, D. (1989). „Pochylenia według regularnych wielokątów - II: Katalog położeń” . Komputery i matematyka z aplikacjami . 17 : 147–165. doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9 .
•   Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, 1970 ISBN 978-0-670-52830-1
• Sommerville, Duncan MacLaren Young (1958). Wprowadzenie do geometrii n wymiarów . Publikacje Dover. Rozdział X: Zwykłe Polytopy
• Prea, P. (1997). „Sekwencje odległości i progi perkolacji w Tilings Archimedesa” . matematyka Oblicz. Modelowanie . 26 (8–10): 317–320. doi : 10.1016/S0895-7177(97)00216-1 .
• Kovic, Jurij (2011). „Wykresy typu symetrii brył platońskich i archimedesowych” . Matematyka Komuna . 16 (2): 491–507.
• Pellicer, Daniel; Williams, Gordon (2012). „Minimalne okładki Archimedesa Tilings, część 1” . Elektroniczny Dziennik Kombinatoryki . 19 (3): #P6. doi : 10.37236/2512 .
•   Dale Seymour i Jill Britton , Wprowadzenie do teselacji , 1989, ISBN 978-0866514613 , s. 50–57

Linki zewnętrzne

Euklidesowe i ogólne linki do kafelków:

• N-jednolite nachylenia , Brian Galebach
• Holenderski, Steve. „Jednolite Dachówki” . Zarchiwizowane od oryginału w dniu 2006-09-09 . Źródło 2006-09-09 .
• Mitchell, K. „Półregularne nachylenia” . Źródło 2006-09-09 .
• Weisstein, Eric W. „Teselacja” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Teselacja półregularna” . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. „Tesselacja półregularna” . MathWorld .