Metody częściowej wiarygodności dla danych panelowych

Oszacowanie prawdopodobieństwa częściowego (zbiorczego) dla danych panelowych jest metodą quasi-maksymalnej wiarygodności dla analizy panelowej , która zakłada, że ​​gęstość y , _{dla której} podano x _{, jest} poprawnie określona dla każdego okresu, ale pozwala na błędne określenie gęstości warunkowej y _i ≔ ( y _ja1 ,...,y _iT ) dane x _ja ≔(x _i1 ,...,x _iT ) .

Opis

Konkretnie, oszacowanie częściowej wiarygodności wykorzystuje iloczyn gęstości warunkowych jako gęstość łącznego rozkładu warunkowego. Ta ogólność ułatwia stosowanie największej wiarygodności w ustawianiu danych panelowych, ponieważ pełne określenie rozkładu warunkowego y _i może być wymagające obliczeniowo. Z drugiej strony dopuszczanie błędnej specyfikacji generalnie skutkuje naruszeniem równości informacji, a zatem wymaga solidnego estymatora błędu standardowego do wnioskowania.

W poniższej ekspozycji śledzimy przebieg leczenia w Wooldridge. W szczególności wyprowadzenie asymptotyczne odbywa się przy ustawieniu stałego T i rosnącego N.

Zapisując warunkową gęstość y _it przy danych x _it jako f _t ( y _it | x _it ;θ), estymator cząstkowej największej wiarygodności rozwiązuje:

${\ Displaystyle \ max _ {\ teta \ in \ Theta} \ suma _ {i = 1 }^{N}\sum _{t=1}^{T}\log f_{t}(y_{it}\mid x_{it};\theta )}$

W tym sformułowaniu gęstość warunkową połączenia y _yi przy _; danym xi _it modeluje się jako Π _t f _t ( | x _it θ). Zakładamy, że f _t (y _it |x _it ; θ) jest poprawnie określone dla każdego t = 1,..., T oraz że istnieje θ ₀ ∈ Θ jednoznacznie maksymalizujący E[f _t (y _it │x _it ; θ)]. Nie zakłada się jednak, że gęstość warunkowa połączenia jest określona poprawnie. W pewnych warunkach regularności częściowy MLE jest spójny i asymptotycznie normalny.

Zwykłym argumentem dla M-estymatorów (szczegóły w Wooldridge ), asymptotyczna wariancja √ N ₀ (θ _MLE - θ ) wynosi A ⁻¹ BA ⁻¹ gdzie A ⁻¹ = E[ Σ _t ∇ ² _θ logf _t ( _{y to} │x _to ; θ)] ⁻¹ i B=E[( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _to │x _to ; θ) ) ( Σ _t ∇ _θ logf _t (y _to │x _to ; θ ) ) ^T ] . Jeśli łączna gęstość warunkowa y _i przy danych x _i jest poprawnie określona, ​​powyższy wzór na wariancję asymptotyczną upraszcza się, ponieważ równość informacyjna mówi B=A . Jednak, z wyjątkiem szczególnych okoliczności, gęstość stawów modelowane przez częściowe MLE nie jest poprawne. Dlatego dla poprawnego wnioskowania należy zastosować powyższy wzór na wariancję asymptotyczną. Aby równość informacji była zachowana, jednym wystarczającym warunkiem jest, aby wyniki gęstości dla każdego okresu były nieskorelowane. W dynamicznie kompletnych modelach warunek jest spełniony, a zatem obowiązuje uproszczona wariancja asymptotyczna.

Połączone QMLE dla modeli Poissona

Połączone QMLE to technika, która umożliwia oszacowanie parametrów, gdy dostępne są dane panelowe z wynikami Poissona. Na przykład, można mieć informacje o liczbie zgłoszeń patentowych przez wiele różnych firm w czasie. Połączone QMLE niekoniecznie zawiera nieobserwowane efekty (które mogą być efektami losowymi lub stałymi ), a metoda szacowania jest proponowana głównie do tych celów. Wymagania obliczeniowe są mniej rygorystyczne, zwłaszcza w porównaniu z modelami Poissona o stałych efektach , ale kompromisem jest prawdopodobnie mocne założenie, że nie nieobserwowana heterogeniczność . Połączone odnosi się do łączenia danych w różnych okresach czasu T , podczas gdy QMLE odnosi się do techniki quasi-maksymalnej wiarygodności.

Dany rozkład Poissona jest określony w następujący sposób: ${ \$$i}}$

${\ Displaystyle f (y_ {i} \ mid x_ {i}) = {\ Frac {e ^ {- \ mu _ {i}} \ mu _ {i} ^ {y_ {i}}} {y_ {i }!}}}$

punktem wyjścia dla puli QMLE Poissona jest założenie o średniej warunkowej. W szczególności zakładamy, że dla pewnego w zwartej przestrzeni parametrów B średnia warunkowa jest dana przez ${\ displaystyle b_ {0}}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {E} [y_ {t} \ mid x_ {t}] = m (x_ {t}, b_ {0}) = \ mu _ {t} {\ tekst {dla}} t = 1 ,\lddots ,T.}$

Zwarty warunek przestrzenny parametru jest narzucony, aby umożliwić zastosowanie technik M-estymacji , podczas gdy średnia warunkowa odzwierciedla fakt, że interesującym parametrem jest średnia populacji procesu Poissona. W tym konkretnym przypadku parametr rządzący procesem Poissona może zmieniać się w odniesieniu do wektora ${\ Displaystyle x_ {t} \ centerdot}$ . Funkcja m może w zasadzie zmieniać się w czasie, mimo że często określa się ją jako statyczną w czasie. Zauważ, że określona jest tylko funkcja średniej warunkowej, a my otrzymamy spójne oszacowania ${\ displaystyle b_ {0}}$ tak długo, jak ten średni warunek jest poprawnie określony. Prowadzi to do następującego warunku pierwszego rzędu, który reprezentuje prawdopodobieństwo quasi-logarytmiczne dla połączonej estymacji Poissona:

${\ Displaystyle \ ell _ {i} (b) = \ suma [ y_{it}\log(m(x_{it},b))-m(x_{it},b)]=0}$

Popularnym wyborem jest ${\ Displaystyle m = (x_ {t}, b_ {0}) = \ exp (x_ {t} b_ {0})}$ , ponieważ procesy Poissona są zdefiniowane na dodatniej linii rzeczywistej. Zmniejsza to moment warunkowy do wykładniczej funkcji indeksu, gdzie $,$ a exp jest funkcją łączenia