Semantyka wartości prawdy

W semantyce formalnej semantyka wartości prawdy jest alternatywą dla semantyki Tarskiego . Jej orędownikami byli przede wszystkim Ruth Barcan Marcus , H. Leblanc oraz J. Michael Dunn i Nuel Belnap . Nazywa się to również interpretacją podstawieniową (kwantyfikatorów) lub kwantyfikacją substytucyjną.

Ideą tej semantyki jest to, że kwantyfikator uniwersalny (odpowiednio egzystencjalny) może być odczytywany jako koniunkcja (odpowiednio dysjunkcja ) formuł, w których stałe zastępują zmienne w zakresie kwantyfikatora. Na przykład można odczytać ∀ xPx ( Pa & Pb & Pc &...) gdzie a , b , c są indywidualnymi stałymi zastępującymi wszystkie wystąpienia x w Px .

Główna różnica między semantyką wartości logicznej a standardową semantyką logiki predykatów polega na tym, że nie ma dziedzin dla semantyki wartości logicznej. Tylko klauzule prawdy dla formuł atomowych i kwantyfikacyjnych różnią się od tych ze standardowej semantyki. Podczas gdy w standardowej semantyce formuły atomowe, takie jak Pb lub Rca , są prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy (odniesienie) b jest członkiem odpowiednio rozszerzenia predykatu P , wtedy i tylko wtedy, gdy para ( c , a ) jest członkiem rozszerzenia R , w semantyce wartości logicznych wartości logiczne formuł atomowych są podstawowe. Uniwersalna (egzystencjalna) formuła jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie (niektóre) jej przypadki podstawienia są prawdziwe. Porównaj to ze standardową semantyką, która mówi, że uniwersalna (egzystencjalna) formuła jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich (niektórych) członków domeny formuła ta obowiązuje dla wszystkich (niektórych) z nich; na przykład w interpretacji) wtedy i tylko wtedy, gdy $dla$ w domenie re ZA ( k / x ) jest prawdziwe (gdzie A(k/x) jest wynikiem podstawienia k dla wszystkich wystąpień x w A ). (Tutaj zakładamy, że stałe są nazwami samymi sobie — tj. są również członkami dziedziny).

Semantyka wartości prawdy nie jest pozbawiona problemów. Po pierwsze, silne twierdzenie o zupełności i zwartości zawodzą. Aby to zobaczyć, rozważmy zbiór { F (1), F (2),...}. Oczywiście formuła jest logiczną konsekwencją ${\ Displaystyle \ forall xF (x)}$ zbioru, ale nie jest konsekwencją żadnego jego skończonego podzbioru (a zatem nie jest z niego wywnioskowalna). Wynika z tego natychmiast, że zarówno zwartość, jak i twierdzenie o silnej kompletności zawodzą w przypadku semantyki wartości prawdziwościowych. Zostało to naprawione przez zmodyfikowaną definicję konsekwencji logicznej, podaną w Dunn i Belnap 1968.

Inny problem występuje w wolnej logice . Rozważmy język z jedną indywidualną stałą c , która jest nieoznaczająca, i predykatem F oznaczającym „nie istnieje”. Wtedy ${\ displaystyle \ istnieje xFx}$ jest fałszywe, mimo że instancja podstawienia (w rzeczywistości każda taki przypadek zgodnie z tą interpretacją) jest prawdą. Aby rozwiązać ten problem, po prostu dodamy zastrzeżenie, że stwierdzenie skwantyfikowane egzystencjalnie jest prawdziwe w interpretacji przynajmniej dla jednego przypadku podstawienia, w którym stała oznacza coś, co istnieje.

Zobacz też